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第六章 定积分 §6.1定积分的概念 6.1.1问题的引入 1.曲边梯形的面积 我们先从分析和解决几个典型的问题入手，来看 定积分的概念是怎样从现实应用原型中抽象出来的。
引例1 曲边梯形的面积 在第二章我们给出了用极限（微积分）方法求由抛物线
y = x2 和直线 x =1 ，y 0 所围的曲边梯形的面积.
过各分点作平行 y 轴的直） 线，将曲边 梯形分成 n
个小曲边梯形 si （其面积仍记为 si ） (i =1, 2, , n);
则曲边梯形面积 S 是 n 个小曲边 梯形 面积的和，即
S s1 s2 sn.
2、近似求和, 在每个小区间 [xi1, xi ] 上任取一点i , 以小区间 [xi1, xi ] 为底， f (i) 为 高的小矩形 A（i 面积为
由极限的定义知 S 是 Bn 当 n 时的极限，即
S = lim(1 + 1 + + 1 )
n n n +1
n +(n - 1)
极限（1）的值即为题设中曲边梯形的面积 S，这个 极限看视简单，但用我们前面学过的求极限方法很难
得出结果，对由更复杂的函数如 y = ex y = sin x
等所围的曲边梯形面积的计算 问题，显然使用上述极限
这时小时段 [ti1, ti ]所走的路程 s（i 近似）为
v(i )ti
(i 1, 2, , n)
s 物体在 [T1,T2] 内所走 的路程 （近似）
s s1 s2 sn
v(1)t1 v(2 )t2 v(n )tn
3、取极限 ，当 l = max{Dti} ? 0（即每个 ti 都充分小）
f (i )xi
（6.7）
其中 f (x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，
[a, b]叫做积分区间，a 称为积分的下限，
b 称为积分的上限.
对（6.7）式我们可以这样来记忆：
微分 dx 代表 xi，表示每个
f (x) 代表
积分号
b
a
f (i )
代表
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n
lim
max{xi }0 i1
第 i 个小矩形的面积 Ai 为
Ai
=
1 [1/ n
(1+ i
- 1)] n
=
n
1 +(i -
1)
故n 小矩形的面积和为
(i =1, 2, , n)
Bn = A1 + A2 + A3 +
+
An=
1 n
+
1 n +1
+
+1 n +(n - 1)
3）取极限，当 n 越大时，Bn 越接近曲边梯形的面积 S
[1+ i - 1,1+ i ] 为底，以第 i 个小曲边梯形 的左边线长度
nn
y(1+ i - 1) =1/ (1+ i - 1) 为高）小矩形 A（i 其面积仍记为 Ai ）
n
n
近似第 i 个曲边小梯形 si (i =1, 2, , n); 则 n 小矩形的面积和 Bn A1 A2 An 近似 S.
而题中的 速度是连续变化的，不能直接使用上述路程 公式， 怎么办？ 这里我们继续用微积分思想 来处理。
解：1、无限细分，在时间间隔 [T1,T2] 中任意插入
n 1个分点 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
把 [T1,T2] 分成 n 个小时段
[t0 , t1], [t1, t2 ], , ,
上对 i 采取怎样的取法，只要当 0 时，和式
Sn 趋于确定的极限 I（极限值 I 与 i 的取法和区间[a, b]
的分法无关），我们称这个极限 I 为函数 y f (x) 在
[a, b]上定积分，记为
b
a f (x)dx
。即
b
n
a
f (x)dx lim max{xi }0 i1
xi? (1
i - 1,1+ i ), nn
S =lim (1 1 + 1 1 + + 1 1 )
n n x1 n x2
n xn
1
2
1
= lim{[F(1+ ) - F(1)]+[F(1+ ) - F(1+ )]+
n
n
n
n
+[F(2) - F(1+ n - 1)]} n
= lim{F(2) - F(1)}= ln 2 - ln1 = ln 2. n
方法计算曲边梯形面积，最后都会遇到的极限难求的问题，
怎么办？
y
y1 x
y
y1 x
x 0 12
x
0
11 2 2
将例6.1解的第2）步的小矩形 Ai 用小矩形 Di 来替换,
如图（6.3）. 其中Di 仍以
第 i 个小区间为底，其高取第
i 个小区间 [1+ i - 1,1+ i ] 中的
nn
任意一点 i 的函数值
n
f ( i )xi 无限接近面积S. 所以由极限的定义，S 为 Bn i 1 当 n ( 0) 时的极限，即
n
S

lim
n0
Bn
lim max{xi }0 i1
f ( i )xi
（6.5）
且上式对区间的任意分法和 i 的任意取法都成立。
与例6.1同理可得，若函数 f (x) 的原函数 F(x) 存在，则
把[a,b] 分成 n 个小区间
[x0 , x1] ，[x1, x2 ] , ,
它们的长度分别为
[ xn1, xn ]
x1 x1 x0 ，x2 x2 x1 , , xn xn xn1
要求当 n 时，每个小区间长度都要趋于0，即
max{x1, x2 , , xn} 0
即题设中的曲边梯形的面积 S 为 ln 2 。
更一般地，我们还可以把例6.1的将第一步的划分成 n
等分 小区间, 换成 n 个任意的小区间 x1 ，x2 ，, xn
（当 n 充分大时，每个区间 xi 长度要充分小）.
这样又得到下面更一般的曲边梯形的面积计算方法。 例2、求由连续曲线 y f (x)
n
S
lim max{xi }0 i1
f ( i )xi
F(b) F(a)
（6.6）
2、变速直线运动的路程
例6.3设某物体作直线运动，已知速度 v v(t) 是
[T1,T2] 上的连续函数，且v(t) 0 ，求物体在时间[T1,T2]
内所走的路程 s 。
解：分析：当速度不变时，有以下计算公式： 路程=速度×时间，
nn
用拉格朗日微分中值定理，
存在 xi ? (1
i - 1,1+ i ), nn
使得
F (1
i) n

F (1
i
1) n

1 n
F (i )

1 n
1
i
（6.3）
(i =1, 2, , n)
由（6.2）式有：
S = lim 1 ( 1 + 1 + + 1 )
n n x1 x2
xn
由（6.3）式有：
s, n
v( i )ti 充分接近 物体在 [T1,T2] 内所走 的路程
i 1
由极限的定义有
n
s

lim
m ax{si }0
i 1
v(i )ti
（6.7）
且有
n
s

lim
m ax{si }0
i 1
v(i )ti
s(T2 ) s(T1)
，
其中 s(t) 是 v(t) 的一个原函数。
下面再来看一个例子。
例1、求由曲线
y=1 x
和直线 x =1 ，x = 2 ，y 0
所围曲边梯形的面积 S 解：1）无限细分，（如图6.1）即将 x 轴上的区间
[1, 2]
细分成 n
等分，分点分别为
1+ 1 ,1+ 2 , nn
,1+ (n - 1) , n
1+1 n
1+ i n
1+i
-1 n
所以（6.2）式应用时的灵活性更强。
下面我们用拉格朗日中值定理 和（6.2）式来计算
例6.2的曲边梯形的面积 S.
选取函数 y 1/ x 的一个原函数
F(x) ln x ，即
F(x) 1 x
函数 F(x) ln x 在每个小区间 [1+ i - 1,1+ i ] (i =1, 2, , n)
它们的时长分别为
[tn1, tn ]
t1 t1 t0 ， t2 t2 t1 ， , , tn tn tn1
（要求当 n 时，所有小时段的长度都要趋于0），
max{x1, x2 , , xn} 0
记物体在每小时段 [ti1, ti ](i 1, 2, , n) 所走的路程为 Si
时间间隔 [T1,T2]内的路程 s 等于每个小时段的路程之和.
即
s S1 S2 Sn
2、近似求和 ，因为速度 v v(t) 是连续函数，
所以当 n 充分大时，每个小时段 ti 的长度充分小，
这时小时段ti 内的速度变化也充分小，所以我们 可以把 ti 内的速度看成不变（近似），我们取 ti 内的任一时间点的速度 v(i ) 为代表作为 ti 内的速度，
i f (i )xi ) 近似代替第 个小曲边梯形 si (i =1, 2, , n)
则第 i 个小曲边梯形的面积 si 近似为 si f (i )xi 。
则 n 小矩形面积之和
Bn A1 A2
近似面积 S
n
An f (i )xi i 1
3)取极限， 当 n 时， 0, n个小矩形面积之和 Bn
y(
i
)

1
i
则曲边梯形的面积 S 为
11 1
1
S lim ( )
n n 1 2
n
（6.2）
其中， i
是第
i
个小区间
[1+ i - 1,1+ i ] 内的任意一点.
nn
由微积分思想易知：无论 i 取第 i 个小区间的哪一点,
（6.2）式极限值都是表示曲边梯形面积 S
( f (x) 0) a x b 和直线 x a, x b, y 0 所围 曲边梯形的面积 S.
S。
y f (x)
y
0
a 1 2
bx
解：1、无限细分，在区间 [a,b] 中插入 n 1 个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b
xi 都充分小， 即和式的极限。
中插入 n 1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a, b] 分成 n 个小区间
[x0 , x1]，[x1, x2 ]，, , [xn1, xn ]
它们的长度分别为
x1 x1 x0 ，x2 x2 x1 ，, , xn xn xn1
从前面的两个引例可以看到，无论是求曲边梯形
的面积还是求变速直线运动的路程问题，实际背景完
全不同，但都是通过“无穷细分，近似求和，取极限”
n
转化成形如 f (i )xi 的和式极限问题，由此可以抽象 i 1
出下列定积分定义。
定义6.1 设 y f (x) 在 [a, b] 上有界，在区间[a,b]
在每个小区间 [xi1, xi ] 上任取一点 i ，作函数值
f (i ) 与小区间长度 xi 的乘积 f (i )xi (i 1, 2, n)，
并作和
n
Sn f (i )xi
i 1
记 max{x1, x2, , xn}
，如果不论对
[a, b] 采取怎样的分法，也不论在小区间 [xi1, xi ]
1+
i n
每小区间长度为1 .过各分点作平行 y 轴的直线， 将曲
n
边梯形分成 n 个小曲边梯形 si （其面积仍记为 si ） (i =1, 2, , n); 则曲边梯形面积 S 是 n 个小曲边 梯形
面积的和，即 S s1 s2 sn.
2）近似求和，(如图6.2) 现以（第 i 个小区间