结构力学影响线

上式中， 与FP同向为正，反向为 Z Z 恒为正； （ P x） 负。乘积 FP（ 的正负号由 （ 的正负号调整。15 P x） P x）
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3. 由上式可得:
Z
P ( x) Z
令
得到
Z 1
Z P ( x)
可见，在 P 图中，令 Z 1，并将 P 图反号， 就求得 Z的影响线，并且能确定影响线的正负号 及竖标大小。
1 4
1 A
FRB影响线
B
5 4
16
例5-2-1
用机动法求下图所示伸臂梁MC及FQC的 影响线。 x A FP=1 B
d
解：
d
C
2d
d
1. 作MC的影响线 将C截面变为铰接，暴露出弯矩 M C；令该机 构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与M C 同向，就得到 P 图，见下页图。
17
2d Z
21
一组集中荷载：
M C 10 0.375 15 0.75 20 0.25 3.75 11.25 5 20kN .m
0.375 0.75 A 0.75 C
1m 1m 3m
0.25 B
1m
Mc影响线
均布荷载：
M C qydx q ydx
C C B B
加原理，A支座的反力FRA为：
FRA FP1 y1 FP 2 y2
y b)
y 1 y1 y2 FP1 FP2
FRA影响线
x
c)
A
B
6
二、 影响线定义
当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时， 表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线， 称为Z的影响线。 量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座 反力。 影响系数 Z 是Z与FP的比例系数，即：
极大值点 极小值点
若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值， 则： 当Δx>0，即荷载稍向右移， FRi tg i 0 。 当Δx<0，即荷载稍向左移， FRi tg i 0 。
29
若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值， 则： 当Δx>0，即荷载稍向右移， FRi tg i 0 。 当Δx<0，即荷载稍向左移， FRi tg i 0 。 总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动 时， FRitgi 必须变号。如何使 FRitgi变号？tg i 是常数，可以变化的只是FRi。为了使FRi变化，必 须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作 FPcr，当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时，会 引起FRi发生变化，如下图示。
2. 可任意布置的均布活荷载 可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载。 把影响线正号部分布满均布活载，可以求得 Zmax，把影响线负号部分布满均布活载，可以 求得Zmin。
24
E
A ω2
ω1 C
Mc影响线
B D ω3
q
求(Mc) max
q
q
求(Mc) min
( M C ) max q1 ( M C ) min q ( 2 3 )
yi xtg i
3 3
则Z的增量为： Z FRi yi x FRitg i
i 1 i 1
3 Z FRi tg i x i 1
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因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图 形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。 对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点 处。 Z Z 0 0 + - + - + - 0 0 + x x
Z FRi tg i 当移动荷载左右移动时，能使 x
31
变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷 载位置的步骤如下：
结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：
2
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。 此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络 图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
Z FP Z Z Z FP
Z 与Z 的量纲不同，它们相差一个荷载FP的量 纲。
7
§5-2 静力法作影响线
一、内力和支座反力的正负号
梁弯矩M的正负号：
剪力FQ的正负号：
轴力FN的正负号： 竖向反力通常以向上为正，向下为负。
8
二、简支梁的影响线
静力法作影响线： 用静力平衡方程求出 Z x 的函数关系，然后 画出函数图形就求得了影响线 。 FP=1 x C A B a b l FRA FRB
§5-4 影响线的应用
一、求各种固定荷载作用下的影响
若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠 加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的 大小。 0.375 0.75 梁截面C的弯 0.25 B A 矩MC的影响线已 0.25 0.75 C 求得如右图示， 1m 1m 1m 3m 求固定荷载作用 Mc影响线 下的MC值。
A b/l B
a/l
C
FQC影响线
23
( FQC左 )max
b FP l
a ( FQC右 )min FP l
对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分 别放在截面C和E，就得到： ymax ( M C ) max FP ymax B A D E C ( M C ) min FP ymin ymin Mc影响线
a
b
Mc影响线
11
l
b l
a l
l
FQC影响线
12
下面讨论影响线与内力图的区别。
A
x
FP=1
B
b
A a C
l
FP=1 b
B
a
ab l
C
l
a F 影响线 QC l 影响线
b l
MC影响线
ab l b
M图
a l
l
FQ图
13
内力图
§5-2 机动法作影响线
机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求 影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几 何问题。 对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确 定，所以影响线的求解十分简捷。 现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响 线为例进行说明。 x FP=1 A l/4 l B
l
lx FRA l
(0 x l )
上式是反力影响系数 FRA与移动荷载位置
参数x之间的函数关系，该函数图形就称为
反力 FRA的影响线，见上页图b)。 在影响线图形中，横坐标x表示单位移动 荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷 载在该位置时，影响系数 FRA 的大小。
5
若梁上作用有固定荷载（图c），则根据叠
由上面影响线图可得出:
Z FP1 y1 FP 2 y2 FP 3 y3 ... FP 6 y6 FPi yi
Z FR1 y1 FR 2 y2 FR 3 y3 FRi yi
因为 yi 是x的一次函数，所以Z也是x的一次函 数。若荷载右移动Δx，则竖标 yi 的增量为：
M 0 F 0
C y
M C FRB b FQC FRB
当FP=1在CB段，取AC段作隔离体： MC
A
FRA
a
M C FRA a FQC FRA
C
FQC
(a x l ) (a x l )
M 0 F 0
C y
截面C弯矩和剪力影响线如下图示。
ab l
l/4
14
1. 撤去与 FRB 相应的约束，代之以反力 Z FRB ， （） 原结构变成具有一个自由度的机构。
x
1 Z 4
FP=1
A
Z
5 Z 4
P ( x)
P图
B
Z FRB
2. 令该机构产生刚体位移，使 Z与Z方向一致， 则虚功方程为：
Z Z FP（ ） 0 P x
1. 支座反力影响线
M
B
0
lx FRA l
(0 x l )
(0 x l )
9
M
A
0
x FRB l
1 1
FRA影响线 FRB影响线
2. 弯矩和剪力影响线 当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：
C
MC
b
B
FQC
FRB
(0 x a ) (0 x a )
10
2d Z 3
A


Z
B
d Z 3
C 2d Z P ( x) M 3 C
P图
虚功方程为:
M C M C FP P ( x) 0 M C ( ) FP P ( x) 0 M C Z FP P ( x) 0
P ( x) MC Z
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3. 一组移动集中荷载
一组移动集中荷载：各集中力的大小、方向及 相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移 动。 为了确定最不利荷载位置，原则上使排列密 集、数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部 位，而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶 点上。
为确定最不利荷载位置，通常分两步：
1）求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置 称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。
19
1 Z 3
Z
A
2 Z 3 C
P ( x)
FQC
虚功方程为:
1 Z 3 P图
B
Z
1 Z 3
1 2 FQC ( Z Z ) FP P ( x) 0 3 3 FQC Z FP P ( x) 0 FQC
P ( x) Z
20
令 Z 1 则 FQC P ( x)
18
令
Z 1 则 M C P ( x)
上式表明，在 P 图中，令 Z 1并反号，就 可求得MC影响线。
2d 3 d 3
2d 3
MC影响线
2. 作FQC的影响线
将C截面改为滑动连结，暴露出剪力FQC；令 该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方 向与 FQC 相同，就得到 P 图，见下页图。
3
现讨论图a)所示简支梁，当单个荷载FP=1在 梁上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。
x
a) A FRA y
FP=1
B
l y y1
b)
1
y2
FRA影响线
x
lx M B 0 FRA l FP (0 x l )
4
由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数 lx 称为FRA的影响系数，用 FRA 表示，即：
§5-1 影响线的基本概念
一、 移动荷载
荷载的大小 、方向一定，但荷载位置连续变 化的荷载就称为移动荷载。 例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊 车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁 上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。 汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是： 一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中 力的大小、方向固定，相互间的位置也固定， 作为整体在结构上移动。
1
FP1 FP2 FP3 FP4
a1 a2 a3 a4
q b
在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M 、 FQ 、 FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动 荷 载 在 结 构 上 的 位 置 变 化 而 变 化 。
1）对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc） 当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？该问 题是求移动荷载的最不利位置问题。
26
2）从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选 出最小值，从而确定最不利荷载位置。 下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的 特点及其判定方法。 FP1
FP2 FP3 FR1
FP4 FR2
FP5
FP6 FR3
Zy
α2
y1
α1
y1
y2
α y2 3
y3
y3
Δx
Δx
Δx
x
27
在影响线图中，α1>0，α2>0， α3<0。
30
FP1 FP2
FPcr
FP4
FP5 FR2
FR1 FP1 FP 2 FPcr FR 2 FP 4 FP 5
FR1
FP1
FR1
FP2 FPcr
FP4 FP5 FR2
FR1 FP1 FP 2 FR 2 FPcr FP 4 FP 5
改变符号的荷载FPcr称为临界荷载，相应的移动 荷载组的位置称为临界位置。
10kN 15kN 20kN 0.5m 2m
C
q d q
C
B
q
C B
22
1 q 3 0.75 1.125q 2
二、最不利荷载位置
使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最 小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷 载位置。 1. 单个集中移动荷载 把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小 竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax 或Zmin 。 对于剪力FQC影响线，将 集中力FP放在截面C，见右 图，就得到：