利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？

你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律?

思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。

因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC ＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小.由题意可知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小.此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB.由∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC. EF

∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝9

2

.∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15.∴AD ＝10. Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8.∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252.∴当x ＝25

2

时，△PBC

的周长最小， y 值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，

合理

组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、 两条直线间的对称

题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。

点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。

二、三角形中的对称

题目2 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是

__

点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称

题目3 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少？

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。

A

C

第2题图

h A

B

第5题图1

四、圆中的对称

题目4 已知：如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ON 于点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°，∠AOB ′﹦90°，半径长为1可得AB ′﹦2。

当点P 运动到点p ′时，此时AP+BP 有最小值为

2

五、立体图形中的对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B 关于EH 的对称点B ′,作AC ⊥GH 于点C,连接A B ′。在Rt △A B ′C 中，AC ﹦16, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。

通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应

M

A D B

C

N

E

F

G

B ′

A C ·B

H

第4题图

第5题图2

第3题图

变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

题目6 长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？