初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析

初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析

一、圆的综合

1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．

（1）求⊙M的半径；

（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．

（3）在（2）的条件下求AF的长．

【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．

【解析】

【分析】

（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；

（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；

（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】

（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，

∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，

∴BT=TC=1

2

3

∴124

；

（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，

∴∠HBC+∠BCH=90°

在△COF中，

∵∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，

在△AEH和△AFH中，

∵

AFH AEH

AHF AHE AH AH

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△AEH≌△AFH（AAS），

∴EH=FH；

（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，

作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，

∵⊙O的半径为4，

∴CG=4，

连AG，

∵∠BCG=90°，

∴CG⊥x轴，

∴CG∥AF，

∵∠BAG=90°，

∴AG⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴AG∥CE，

∴四边形AFCG为平行四边形，

∴AF=CG=4．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．

【解析】

【分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．

【详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，

故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=1

2

OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣

3

劣弧MA的长为：6044 1803

ππ

⨯

=；

②取C 点关于原点的对称点，此点也符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M 2（﹣2，﹣23）； 劣弧MA 的长为：120481803ππ⨯=； ③取C 点关于y 轴的对称点，此点也符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M 3（﹣2，23）；

优弧MA 的长为：2404161803

ππ⨯=； ④当C 、M 重合时，C 点符合M 点的要求，此时M 4（2，23）； 优弧MA 的长为：3004201803

ππ⨯=； 综上可知：当S △MAO =S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为

481620,,,3333ππππ对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣23）、M 2（﹣2，﹣23）、M 3（﹣2，23）、M 4（2，23）．

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．

3．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O e ．

()1求证：BC 是O e 的切线；

()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．

【答案】（1）见解析；（2）1tan 2

EDB ∠=

． 【解析】

【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；

()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，