根的判别式的应用

例2：已知关于x的一元二次方程
k2 x2 ( 2k 1)x 1 0
有两个不相等的实数根，求k的取 值范围。
例3：试说明：不论x取何值， 关于x的方程
(x 1)( x 2) m2
总有两个不相等的实根.
例4. 已知：a、b、c是△ABC的三边，若
方程
有两
个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.mHale Waihona Puke Baidu1
D. m≤1且m≠0
3.设关于x的方程, x2 2mx 2m 4 0
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根
解 : 4m2 4 2m 4
4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两
复习：用公式法解下列方程：
(1)2x2 8 9x
(2)3x(3x 2) 2
(3)5x2 2 5x 1 0
b2 4ac.
（1）表示：“△” （2）应用：用来判定一元二次
方程的根的情况。
即一元二次方程：ax2 bx c 0a 0
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程没有实数根。
（2）若关于a的二次三项式 ka2+4a+1是一个完全平方式， 则k的值可能是_____________.
➢ 课时训练
1.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A )
A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
2.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0
有实数根，则m的取值范围是 ( D )
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， 0； 当方程有两个相等的实数根， 0 ； 当方程没有实数根， 0 。
不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2 x2 x 1 0；
（2）x2
2x 1 0. 2
（3）4 x2 3x 2 0；
例1：已知关于x的方程，当k取什么值时：
（1）方程有两个不相等的实根？ （2）方程有两个相等的实根？ （3）方程无实根？
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况， 这方面的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数 不为0.
个不相等的实数根
6.已知a,b,c是ABC的三边,判
断cx2+2 a-b x+c=0方程的根的
情况.
思考：
关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时， 方程的两根为互为相反数？
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
对应练习
已知：a、b、c为ΔABC的三边，关 于x的方程c(x2+1)+b(x2-1)-2 ax=0有 两个相等的实数根。
求证：ΔABC为直角三角形。
例5、
（1）若关于a的二次三项式 4a2+ka+25是一个完全平方式， 则k的值可能是_____________;