映射、像与原像(学生版)

映射、像与原像
知能点一：映射的概念
设A 、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 、B ，以及对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →。

知能点二：像与原像的概念
给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的像，元素a 叫做元素b 的原像。

特别提醒：
1、对于映射:f A →B 来说，则应注意理解以下四点：
（1）集合A 中每一个元素，在集合B 中必有唯一的象；
（2）集合A 中不同元素，在集合B 中可以有相同的象；
（3）允许集合B 中的元素没有象；
（4）集合A 中的元素与集合B 中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。

2、集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个系统；
3、对应法则f 有“方向性”。

即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；
例1：给出下列关于从集合A 到集合B 的映射的论述，其中正确的有_________。

①B 中任何一个元素在A 中必有原象；②A 中不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的；④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象；⑤B 中某一元素在A 中的原象可能不止一个；⑥集合A 与B 一定是数集；⑦记号B A f →:与A B f →:的含义是一样的． 答案：③⑤
例2： N A =，R B =，1212:+-=→x x y x f ，A x ∈，y B ∈．在f 的作用下，13
11的原象是多少？14的象是多少？
解：由 13111212=+-x x ，解得6=x ，故1311的原象是6; 又292711421142=+⨯-⨯，故14的象是29
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知能点三：一一映射
一般地，设A ，B 是两个非空的集合，:f A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 的一一映射。

特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：
1、对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，也就是说，不允许“多对一”；
2、集合B 中的每一个元素都有原象，也就是说，集合B 中不允许有剩余的元素。

例3：下列集合A 到集合B 的对应中，判断哪些是A 到B 的映射? 判断哪些是A 到B 的一一映射?
(1)Z B N A ==,，对应法则:f B y A x x y x ∈∈-=→,,；
(2)+=R A ，+=R B ，x
y x f 1:=→，A x ∈，B y ∈； (3){}
900≤≤=ααA ，{}10≤≤=x x B ，对应法则:f 取正弦； (4)+=N A ，{}1,0=B ，对应法则:f 除以2得的余数；
(5){}4,1,1,4--=A ，{}2,1,1,2--=B ，对应法则:f B y A x x y x ∈∈=→,,2
； (6){}三角形平面内边长不同的等边=A ，{}平面内半径不同的圆=B ，对应法则:f 作等边三角形的内切圆。

解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合B 中有些元素(正整数)没有原象；(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数；(3)是映射，是一一映射，因为集合A 中的角的正弦值各不相同，且集合B 中每一个值都可以是集合A 中角的正弦值；(4)是映射，不是一一映射，因为集合A 中不同元素对应集合B 中相同的元素；(5)不是映射，因为集合A 中的元素(如4)对应集合B 中两个元素(2和-2)；(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆。

边长不同，圆的半径也不同
拓展知识点：
1、设集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，那么映射:f A B →的个数为m n ；映射:f B A →的个数为n m 。

2、设集合A 、B 都有n 个的元素，那么A 到B 的一一映射的个数为!n
例4：已知集合{}{},,,,,,,A a b c d B e f g h ==，那么A 到B 的映射的个数为 个；A 到B 的一一映射的个数为 个。

及时演练：
题型一：基本概念题
1、设:f M N →是从集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ）
A 、N 中的每一个元素在M 中的原象是唯一的
B 、N 是M 中所有元素的象的集合
C 、M 中有的元素在N 中无象
D 、M 中每一个元素在N 中必有唯一的象
2、已知映射:f A B →，其中集合{}3,2,1,1,2,3,4A =---，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数有 个。

3、设集合{}{}06,02A x x B y y =≤≤=≤≤，下列从A 到B 的对应关系f 中，不是．．
映射的为 （ ）
A 、1:2f x y x →=
B 、1:3f x y x →=
C 、1:4f x y x →=
D 、1:6
f x y x →= 4、给定集合{}{}02,04P x x Q y y =≤≤=≤≤，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是．．映射的为 （ ）
A 、 :2 f x y x →=
B 、2:f x y x →=
C 、5:2
f x y x →=
D 、:2 x f x y →= 5、下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ） A 、{},0,,:A R B x x x R x A f x x ==>∈∈→且 B 、,,:1,A N B N x f x A *==∈-→
C 、{}20,,,:A x x x R B R x A f x x =>∈∈∈→且
D 、1,,,:A Q B Q x A f x x
==∈→ 6、已知集合{}{}02,13A x x B y y =≤≤=-≤≤,下列映射表示从A 到B 的一一映射是（ ）
A.f:x →y=－x+3
B.f:x →y=2(x －1)2－1
C.f:x →y=x 2－1
D.f:x →y=x －1
题型二：象与原象
1、设集合==B N A ,{}偶数，映射B A f →:把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素a a -2，则在映射f 下，象20的原象是 。

2、B A f →:是从A 到B 的映射，其中R A =，{}R y x y x B ∈=,),(，)1,1(:2++→x x x f ，则A 中元素
2的象是 ；B 中元素)2,2(的原象 。

3、设集合{}{}R y R x y x B R y R x y x A ∈∈=∈∈=,),(,,),(，),(),(:xy y x y x f +→，则)3 ,2(-在f 作用下的象是 ； )3 ,2(-的原象是 或 。

4、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素
2n n +，则在映射f 下，象20的原象是 。

5、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素是 。

6、映射()():,,f x y x y x y →+-，则(3，5)的原象是 。

7、在给定的映射()()():,2,,,f x y x y xy x y Q →+∈的条件下，点11,66⎛⎫- ⎪⎝⎭
的原象是 和 。