最新第三章-刚体和流体的运动教学讲义PPT课件

以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (3-7)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
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3.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(3-8)
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
Jo d Jc
o
C M
图3-2
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例题3-2 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？
答案：1
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
一.力矩
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作
F
用点相对于转轴位置，是
决定转动效果的几个重要
因素。
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力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F dFsrin
ri Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(ri mii )=L质点系的总角动量
i
于是得
M
dL
dt
(3-2)
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
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M
dL
dt
(3-3)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
dda 3 b2 t4 c3t 6 b 1 tc2 2t d t d t
可见飞轮在作变速转动。
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三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。
例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。
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MJ
2 M J为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
3 M 和 J，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M
M外
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
dsrd
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•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
ran
at
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由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2o22
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例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
a tb3 tc4 t
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
da3b2t4c3t
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
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对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6．
j( i j )
按mi质：r 点 i 角F 动i量 r 定i 理j( ，i 有j)f ij d (r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri fij)0
i
j(ij)
得
d i riF i dti (rim i i )
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d i riF i dti (rim i i )
第三章-刚体和流体的 运动
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。
刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
z
M
F
r
P
d
z
F
M
F//
r
F
P
F在转动平面内
F不在转动平面内
只考虑垂直于转轴的作用力
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力矩有大小和方向,是矢量
力矩矢量M可用 矢径r和 力F的 矢积表示。 M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
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二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij ,
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
ห้องสมุดไป่ตู้
题的方法。
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三 转动惯量 1.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
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2.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(3-6)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(3-4)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)
又可写成
M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动
的动力学方程 。
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MJ
2 当 M一定时， 1 J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
2
二. 刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
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对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？