不定积分经典习题.
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解：①原式 arctan 1 1 x2 1 x 1 1 2 1 2 1 d arctan d arctan arctan c x x x 3 x 3 1 1 ln 1 ln 1 2 1
1 x 1 x②原式 d 1 ln 1
c 。 dx 1 1 x 2 x 2 1 x 1 x x ln tan x dx sin 2 x ln tan x ln tan x 1 ln tan x 1 1 2 解： dx
d tan x ln tan xd ln tan x ln tan x C 。 dx = sin x sin 2 x 2 tan x 2 4 2 cos 2 x cos x 1 1 ②例19. 求① dx dx 3 sin 2 x 2 sin x sin x cos x x d dx dx 1 2 解：①原式
x x x 4 x x 2 sin x(cos x 1 4 sin cos 2 cos 2 sin cos 3 2 2 2 2 2 x x 1 tan 2 d tan 1 1 2 d tan x 1 ln tan x 1 tan 2 x c 2 x x 4 x 4 2 4 2 8 2 tan tan cos 2 2 2 2 练习：②原式 sin 2 x cos 2 x dx cos x sin x cos x 1 sin 3 x cos x dx sin x cos x sin 3 x dx cos x dx sin x dx 2 sin 2 x
ln cos x ln sin x 1 c 2 sin 2 x 练习 1：求 x 2e x ( x 2 2 dx 2 x x e d 解：原式 1 x 2e x 1 x 2e x x 2 e x 2 xe x dx xe x dx （再分部积分） x 2 x 2 x 2 x 2 x 2e x x 2e x xe x e x dx xe x e x c x 2 x 2 xe x ( x 12 dx ② e 练习 2：求① sin x x cos 3 x sin x dx cos 2 x 解：①原式 ( x 1e x e x ex 1 ex ex x dx dx dx ( x 1 2 x 1 ( x 1 2 x 1 dx e d x 1 11
ex ex ex ex c dx dx x 1 x 1 x 1 x 1 ②原式 e
sin x x cos xdx e sin x sin x 1 dx xde sin x e sin x d 2 cos x cos x xe sin x e sin x dx 例 20.（1）设 f ( x 1 ln 2 e sin x e sin x e sin x d x xe sin x c。 cos x cos x x2 ，且 f [ ( x] ln x ，求 ( x dx ； x2 2 （2）设 f (ln x 2 ln(1 x ，计算 f ( x dx . x 提示：（1）令 x 1 t f (t ln ( x 1 t 1 x 1 ，于是 , f ( ( x ln ln x ( x ( x 1 t 1 x 1 ( xdx 2 ln x 1 x C . （2）令 ln x t , x e f (t t ln(1
et ln(1 e x ，于是 f ( x dx = dx ln(1 e x de x x t e e = e x
ln(1 e x 2 1 dx e x ln(1 e x ln(1 e x C . x 1 e x x ，求
f ( xdx . sin x 1 x arcsin x arcsin x ，于是原式= dx 2 arcsin xd 1 x x 1
x 练习：设 f (sin x 提示：令 sin x u, x arcsin u f (x 2 = 2 1 x
arcsin x 2 x C. 二、补充练习 1、求① e x dx e2x 1 ② 1 sin sin x cos x dx 4 x （① arctan e x c ② 1 arctan(sin 2 x c ） 2 2、求 ( x ln x 1 ln x 2 dx 1 c x ln x 1 sin x c x 3、求 x cos x
sin x dx x2 12
4、若 f ( x 可积，求 e 1、求 e f ( x f ( x dx x e x f ( x c
2 x sin 3xdx e 2 x
3 (3 cos 3 x 2 sin 3 x c 2
ln 1 x 1 c x 6、求 1 x 2 x ln x 3 2 dx 7、求 x x 4 1 2 1 dx 1 1 arctan x 3 c x 3x 1 1 tan x ln tan x c 2 2 8、求 9、求 10、求 1 tan x dx sin 2 x x sin x
1 cos x dx 1 cos x e 1 sin x x x tan x
2 c dx e x tan x 2 c 13