12-13第二学期高数答案A
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广东海洋大学 2012—2013学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x2
□√ 考试
□√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×7=21分）
1. 设{}{}0,1,2,2,0,a b k =-=r r
，若a b ⋅r r =2 ，则=⨯{1,4,2}---
2. 过点()1,0,1且与平面232x y z +-= 平行的平面方程为231x y z +-=
3. 设曲线:4cos ,4sin (02)L x t y t t π==≤≤，则223()L
x y ds +⎰Ñ=32768π 4. 函数z =的驻点为 （0，0） 5. 幂级数1
3n
n n
x ∞=∑的收敛域为[1,1)-
6. 曲线2
2
,
1,
z x y y z ⎧=+⎨+=⎩在xoy 面上的投影曲线方程为 22
10y x y z ⎧-=+⎨=⎩
7. 微分方程sin 2y x '=满足()01y =的特解为13cos 222
y x =-+ 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设x y
z e =，求dz .
解：1x
y z e x y ∂=∂，2x
y z x
e y y ∂=-∂ （6分）
21x
x
y y x
dz e dx e dy y y
=- （1分）
班级：
姓
名：
学
号：
试
题共 6
页
加白纸 3 张
密
封
线
GDOU-B-11-302
2.设),(y x f z =是由方程220z e xyz -=所确定的具有连续偏导数的函数，求,z z
x y
∂∂∂∂.
解：方程两边对x 求偏导，2220z z
e yz xy x x
∂∂--=∂∂ （2分） 得
2z z yz x e xy
∂=∂- （2分） 同样方法可得 2z z xz y e xy
∂=∂- （3分）
三 .计算下列积分（7×4=28分） 1.
()23D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴以及
2x y +=所围成的闭区域。
解：区域D 可表示为02
02x y x
≤≤⎧⎨
≤≤-⎩ （1分）
()23D
x y d σ+⎰⎰=2
200(23)x
dx x y dy -+⎰⎰ （3分）
=2
201(26)2
x x dx --+⎰ （2分） =20
3
（1分）
2. 设曲线积分(2,1)
(0,0)(2)(3)x ky dx x y dy ++-⎰在整个xoy 平面内与路径无关，求常数k ，并计算积分值。 解：设2,3P x ky Q x y =+=-，则Q P
x y
∂∂=∂∂ （2分） 因为
1,Q P
k x y
∂∂==∂∂，所以1k = （2分） (2,1)
(0,0)(2)(3)x ky dx x y dy ++-⎰=2
1
009
2(23)2
xdx y dy +-=⎰⎰ （3分）
3. 计算24xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰Ò，其中∑
为圆锥体z 0,1
z z ==所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。
解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得
24xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰Ò=(
)V
P Q R
dv x y z
∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ （3分） =(123)7V
V
dv dv ++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1分）
=7V=21771133
ππ⨯⨯⨯⨯= （3分）
4.计算()221D x y d σ++⎰⎰，其中D 是由221x y +≤围成的闭区域。 解：区域D 在极坐标系下可表示为02,01r θπ≤≤≤≤ （2分）
()2
2
1D x y d σ++⎰⎰=21
2
00(1)d r rdr πθ+⎰⎰ （3分）
=32π
（2分）
四 .计算题（8×4=32分） 1. 判别级数
3
1
3n
n n ∞
=∑
是否收敛。 解：因为 3
13(1)13lim 133n n n
n n +→∞+=< （4分） 所以 级数 3
1
3n
n n ∞
=∑
收敛 （4分）
2. 将函数()cos 2f x x x = 展开为x 的幂级数。
解：20
cos (1)(2)!n
n
n x x n ∞
==-∑ （4分）
22200
(2)2cos 2(1)(1)(2)!(2)!n n n n
n n n x x x n n ∞
∞==⋅=-=-∑∑ （2分） 2222100
22()cos 2(1)
(1),(2)!(2)!n n n n
n n n n x f x x x x x x n n ∞
∞
+==⋅==-=--∞<<+∞∑∑ （2分）