2017届中考数学二轮专题复习《求解最值问题的几种思路》素材苏教版

3 3

求解最值问题的几种思路

最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生 的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.

一、利用非负数的性质 在实数范围内， 显然有 m

2

n 2

p p ， 当且仅当 m n 0 时， 等号成立， 即

m 2 n 2 p 的最小值为 p .

例 1 形码 设a 、b 为实数，求 a

2

ab b 2 a 2b 的最小值.

解析 a

2

ab b 2 a 2b = a 2 (b 1)a b 2 2b

= (a b 1)2

3 b 2 3 b 1 2

4 2 4 = (a b 1)2

3

(b 1)2 1 1 . 2

4

b 1 当 a 0, b 2

1 0 ，即 a 0, b 1 时，上式等号成立.

故 a

2

ab b 2 a 2b 的最小值为-1.

二、均值代换法

p p 在一些数学问题中，常遇到含有 m n p 型条件的问题，若用 m

q , n q 来

2

2

代换，往往能获得简捷的妙法.

例 2 已知 x 、 y 为实数，且 x

2

y 2 2

的最值.

解析 由 2 x 2

y 2 2xy 得 xy 1，易得最小值为 .

设 x 2

1 k , y 2

1 k ,其中 1 k 1,

,

又0 3 k

2

3 1 3 ，

即3 k 2

3 4 .

，最大值是 2.

三、局部换元法

例 3 若 a b c

1，求

a 2

b 2

c 2 的最小值.

解析 设 a

1 1 , b

,

3

3

(2 xy )(2 xy ) (2 xy )(2 xy )

4 x 2 y 2

4 (1 k 2 )

k 2 3 (2 xy )(2 xy )

J

则c

1 (

) . 3

1 1 1 2

a

2

b

2

c

2

( )

2

( )

2

( )

3 3

3 1 2

2

(

)2

1 .

故 a

2

b

2

3

3

c 2 的最小值为 1

.

3

四、积化和差法 完全平方公式(a b )

2

a 2 2a

b b 2 ；

(a b )2 a 2 2ab b 2 .

将这两个公式的左右两边分别相减，得

结论 1 4ab (a b ) 2 (a b ) 2

.①

由于(a b )

2

0 ，故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.

结论 2 4ab (a b )2

，当且仅当a b 时，等号成立.②

结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.

例 4 设 x

2

y 2 a 2 , a 2 1 ，求 S 的最大值.

解 把 S

两边平方得

S 2 2 (x 2 y 2 ) ，

即 S 2

2 a 2

1 (S 2

2

，

a 2

2) . 由积化和差公式，得

2 2

代人上式，得

1 S (S

2 a 2 2) ( )2 2 . 2 2

1

1 2

S 2 a 2

4 2

1 0 ,

4 2a 2 2 a 2

1

2 4 2a 2 4 2a 2 S 2 4 2a 2 ,

Q S 0, S

.

又 x y

a 时,

2

S 2

S 最大值

注 有时将积化和差公式 4ab (a b ) 2

(a b ) 2

化为如下形式:

ab ( a b )2 2 ( a b )2 ,

2

用起来比较方便.

五、配方法

解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的 形式;再根据(a b )

2

0 ，可求出代数式的最小值，根据 (a b )2 0 ，可求出代数式的

最大值.

例 5 求函数 y x

4

x 2 1的最值.

解析 y

(x 2 )

2

x 2 1 (x 2

1 )

2

3 .

2 4

Q x 2 0 ,

x 2 的最小值是 0， x 最小也是 0.

当 x 0 时， y 的最小值为:

(0

1 )

2 3

1. 2 4

注 本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求 y 的最值，那就错了.事实上，当

x

2

b 2a

1 时， y 取得极小值，这是不可能的。一般情况下，如果自变量取值范围有

2

一定限制，不能轻易套用极值公式，而应先通过配方，再求极值，这样做才不会得出错误的 答案.

六、增加辅助量 例 6

若 实 数 a 、 b 、 c 、 d 、 f 满 足 条 件 a b c d f 8 和

a 2

b 2

c 2

d 2 f 2 16 ，求 f 的最值.