二次函数动点与最值问题

一、二次函数中的最值问题：

例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴y=-x2+2x+3

（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。

（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△A’AN与△A’AP的面积相等?,若存在,

请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

例2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，

且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；

OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；

设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：

2×（﹣3）a=4，a=﹣；

∴抛物线：y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；

由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：

，

解得：，；

由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．

（3）∵S△APE=AE•h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；

若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；

设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；

求得：b=，即直线L：y=﹣x+；

可得点P（，）．

由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；新课标第一网

则点F（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．

针对训练：

1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），

所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；

（2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，点A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°，

联立，

解得，

∴点C的坐标为（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），

在点A的右边时，坐标为（5，0），

所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（3）存在．

∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y=x，

设与OC平行的直线y=x+b，

联立，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时x1=x2=×（﹣）=，

此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，

∴存在第四象限的点Q（，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，

解得b=﹣，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣，

令y=0，则x﹣=0，解得x=，

设直线与x轴的交点为E，则E（，0），

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC==，

则sin ∠COD==， 解得h 最大=×=．

2、如图，抛物线)0(22

32≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ∆的面积的最大值，并类型一、最值问题：

类型一、最值问题：

（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax 2+bx+c

（a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）