概率论与随机过程题集(第2章)
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第二章 概率论与随机过程
2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,xx φ(τ) =2
σδ(τ),即X(t)为白
噪过程。
（a ）试求谱密度yy Φ（f ）。 （b ）试求yy φ(τ)和E[Y 2(t)]。
图P2-16
解：（a ）xx φ=
2222)()(σττδσττφτπτπ==⎰⎰
+∞
∞
--+∞
∞
--d e d e f j f j xx
又系统函数)(f H =
)
()
(f X f Y =fc j fc
j R fc j πππ2112121
+=+
∴2
2222
22
2
41)2(11)()()(c f R fcR f H f f xx yy πσπσφφ+=
+== (b) E [)(2
t y ]=)0(yy φ
τπττ
πσπσφτφRc
f
j f j yy yy e
Rc
df e
c
f R df e
f 12
22
2
2
2
2
2241)()(-
∞
+∞
-∞
+∞
-=
+==⎰
⎰
∴E [)(2
t y ]=Rc
yy 2)0(2
σφ=
2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是k
k )2/1()(=φ，试求其功率密度谱。 解：由功率密度谱的定义知 )(f Φ＝
∑+∞
-∞=-k fk
j e k πφ2)( ＝
∑+∞
-∞=-k fk j k e π2)2
1(
＝fk j k k e π21
)21(----∞=∑＋fk j k k e π20)2
1
(-+∞
=∑
＝k f j k e
)21(21π∑+∞
=＋k
f j k e )21(20π-+∞=∑ ＝f j f
j e e
ππ2221121-＋f
j e π22111
--
∴ )(f Φ ＝f j f
j e e
ππ2221121-＋f
j e
π22
111-- 即为所求。
2-23 试证明函数
)(t f k ＝
)
2(2)]
2(2sin[W
k
t W W k t W --
ππ，k = 0，1±，2±，… 在区间[+∞∞-,]上为正交的，即
所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号)(t s 的级数展开式，其中权值为)(t s 的样值，且{)(t f k }是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得
⎰
+∞
∞
-dt t f t f j k )()(＝⎰
+∞
∞
-)2(2)]2(2sin[W k t W W k t W --
ππ )
2(2)]2(2sin[W
j
t W W j t W --ππdt ＝
⎰
+∞
∞
-2
1)2)(2(]
)(4cos[)cos[(j wt k wt j k wt k j πππππππ--+---dt
∴命题得证。
2-24 系统的噪声等效带宽定义为 ⎰∞=
02
)(1df f H G
B eq
式中
,2
)(max f H G =。利用该定义，试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的 图P2-16
解：(1) 对于图P2-12有1)(max 2
==f H G
B B
f B f df df f H B c c B f B f eq c c =--+
=•==
⎰
⎰
∞
+
-
)2
(21)(0
222
∴图P2-12的系统的等效带宽为B (2) 对于图P2-16有1)(max 2
==f H G
=
eq B ⎰
∞
df f H 2
)(=⎰
⎰∞
∞+=+0
022
222)2(1)2(21411Rcf Rcf d Rc df f c R ππππ
=Rc
Rcf arctg Rc 41
|)2(210
=∞ππ
第三章 信源编码
3-4 X 、Y 是两个离散随机变量,其概率为P(X=x, Y=y)=P(x, y)
证明：I(X,Y)≥０，当且仅当X 和Y 统计独立时等号成立。 证明：),(),(),(11
j i n i m
j j i
Y X I Y X
P Y X I ∑∑==-
=-
)()()
,(log ),(11j
i
j i n i m
j j
i
Y P X P Y X P Y X P ∑∑==-
=
)
,()()(log
),(11j i j i n
i m
j j i Y X P Y P X P Y X P ∑∑===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡-≤∑∑==1),()()(),(11j i j i n
i m
j j i Y X P Y P X P Y X P []
0),()()(11
=-=
∑∑==n i m
j j i j i
Y X P Y P X
P
∴),(Y X I ≥0, 当且仅当X 和Y 统计独立时