平方根1

平方根 知识点总结

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数x 的平方等于a ，即2

x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a

a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.

要点诠释：

a

0，a ≥0.

2.平方根的定义

如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)

的平方根的符号表达为0)a ≥，

a 的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

(0)||0

(0)(0)

a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

()20a a =≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250=

25=

2.5=

0.25=.

知识点2：估算

估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估

计这个被开方数的算术平方根的大小.

规律小结

确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.

例

2.如果17-=

m ，那么m 的取值范围是（

）

A.10<

B.21<

C.

32<

1

、若2m －4与

3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．

举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.

2

、x 为何值时，下列各式有意义？

；

举一反三：

【变式】已知2b =，求

11a b +的算术平方根．

3、求下列各式的值．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -=

（2）()21289x +=；

（3）()2932640x +-=

举一反三：

【变式】求下列等式中的x ：

（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；

（3）若29,4

x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用

5、已知a 、b 是实数，|0b =，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．

0=，求20112012x y +的值．