中职数学平面向量复习

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复习模块：平面向量一 、知识点

（1）平面向量的概念及线性运算

平面向量两要素：大小，方向。

零向量：记作 0，手写时记做0 ，方向不确定。单位向量：模为 1 的向量。

平行的向量（共线向量） 方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。规定：零向量

与任何一个向量平行。

相等向量：模相等,方向相同，记作 a = b 。负向量：与非零向量 a 的模相等，方向相

反的向量，记作 -a 。规定：零向量的负向量仍为零向量。

向量加法的三角形法则：如图 1，作 AB =a , BC =b ，则向量 AC 记作 a ＋b ，即

a ＋

b = AB ＋ BC = AC

，和向量的起点是向量 a 的起点，终点是向量 b 的终点．

B

D C

a

b

A

a b

a +b

C

A

图 2

B

图1

向量加法的平行四边形法则： 如图 2，在平行四边形 ABCD 中， AB ＋ AD = AB ＋

BC = AC , AC 所表示的向量就是 AB 与 AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。

向量的加法具有以下的性质：

（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．

向量的减法：起点相同的两个不共线向量 a 、 b ，a 与 b 的差运算的结果仍然是向量，

叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减向量 b 的终点，终点是被减向量 a 的终点．如图 3。

a −

b =a+(−b )，设 a =OA ，b = OB ， 则 OA -OB = BA

B a -b

A

b

a

O 图3

向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记

作 λ a ，它的模为

| λa |=| λ || a |

， 若 | λ a |≠ 0，则当 λ ＞0 时， λ a 的方向与 a 的方向

相同，当 λ ＜0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反．

a+b=(x+x,y+y)a-b=(x-x,y-y)λa=(λx,λy)向量a与向量b的夹角，记作。∈

[0,180

b 共线向量充要条件：对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a∥b⇔a=λb 一般地，有0a=0,λ0=0.

线性组合：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合．如果l＝λa＋μb，则称l 可以用a，b线性表示．

（2）平面向量的坐标表示

设点A(x,y)，B(x,y)，则起点为A(x,y)，终点为B(x,y)的向量坐标为

11221122

AB=(x-x，y-y)．

2121

设平面直角坐标系中，a=(x,y)，b=(x,y)，则

1122

1212121211

由此得到，对非零向量a、b，设a=(x,y),b=(x,y),若a∥b⇔a=λb

1122

当λ≠0时，a∥b⇔x y-x y=0．

1221

（3）平面向量的内积

o o

]

内积的定义：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，它是一个数量，又叫做数量积．记作a·b,即a·b＝｜a||b|c os

结论：（1）cos＝

a⋅b

.

|a||b|

（2）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝a⋅a

（3）当=90时，a⊥b，因此，a·b＝a⋅b cos90=0,

对非零向量a，b，a·b＝0⇔a⊥b.

平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a＝(x

1

,y

1

),b＝(x

2

,y

2

)a·＝x

1

x

2

＋y1y2夹角公式坐标表示：当a、b是非零向量时，cos

a⋅b

|a||b|＝

x x+y y

1212

x2+y2x2+y

1122

2相互垂直的向量坐标表示：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

2．如图，四边形 ABCD 中，AB ＝DC ，则相等的向量是

（ ）

A. AD 与CB

B. OB 与OD

C. AC 与BD

D. AO 与OC

4．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在向量OB ，OC ，

OD ，OE ，OF ，AB ，BC ，CD ，EF ，DE ，F A 中与 OA 共线的向量有 （ ） 5．若向量 a ＝（x ＋3，x 2－3x －4）与AB 相等，其中 A （1，2），B （3，2），则 x 等于（ ） 7．在四边形 ABCD 中， AB

＝ DC ，且 AC · BD

＝0，则四边形 ABCD 是 （ ）

|

向量的模坐标表示：设 a ＝(x,y )，则 a =

x 2 + y 2

二、练习题

1．下列命题正确的是

（ ）

A.单位向量都相等

B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C.若 a · b ＝0，则 a ＝0 或 b ＝0

D.对于任意向量 a 、b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |

→ →

→ →

→ → → → → →

3．下列命题中，正确的是

（ ）

A.若|a |＝|b |，则 a ＝b

B.若 a ＝b ，则 a 与 b 是平行向量

C.若|a |＞|b |，则 a ＞b

D.若 a 与 b 不相等，则向量 a 与 b 是不共线向量

→ →

→ → → → → → → → → →

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

→

A.1

B.0

C.－1

D.2 6．已知 a ＝（x ，y ），b ＝(－y ，x)(x ，y 不同时为零)，则 a ，b 之间的关系是

（

）

A.平行

B.不平行也不垂直

C.垂直

D.以上都不对

−−→ −−→ −−→ −−→

A.矩形

B.菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

8．已知向量 a =(2，1)，b =(-1，k)，a ·(2a -b )=0，则 k =

（

）

A ．-12

B ．-6

C ．6

D ．12

9．已知向量 a =(1，2)，b =(1，0)，c =(3，4)，若λ为实数，(a +λb )∥c ，则λ=（ ）

1

1

A ．

B ．

C ．1

D ．2

4

2

10．若向量 a ，b ，c 满足 a ∥b 且 a ⊥c ，则 c ·(a +2b )=

（

）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

11．已知向量 a =(1，k)，b =(2，2)，且 a +b 与 a 共线，那么 a · b 的值为

（

）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．设向量 a ，b 满足|a |=|b |=1，a · b =- 1 2

，则 a +2b |= （ ）