实变函数简介
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（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 x '
a
f (t )dt f ( x) f (a)
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
微积分继续发展的三个方向
外微分形式
(整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
复数域上的微积分（复变函数）
微积分的深化和拓展（实变函数）
1.Riemann积分回顾
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
n
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
b a ||T || 0 i 1
其中 x x x i i i 1 xi 1 i xi
(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
b
a
f ( x)dx lim M i xi lim
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
f n ( x)
n
1 x{r1 ,r2 ,r3 ,,rn } 0 x[0,1]{r1 ,r2 ,r3 ,,rn }
n 1,2,3,
不Riemann可积。
b
b
Riemann积分
为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；
n
xi-1 xi
b
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
a11, a12, a13, a14, … a21, a22, a23, a24, … 4 不能安排进去
（[0,1]是不可数集）
a31, a32, a33,
教材：实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高 等教育出版社，2003年7月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis). 实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编, 高等教育出版社，2003 年7月.
x x x
i 1 i i
i
n
i
i
i
i
i
([a, b], f ) xi xi
i i
xi-1 xi 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积
([a, b], f ) (b a)
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论)
外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
4 又来了[0,1]个人
Hale Waihona Puke Hilbert旅馆问题解答
1, 2, 3, 4, 5, 6,…
a1 , a2 , a3 , a4 , a 5 , a6 , …
1 b1, b2, b3 , … , bn , a1 , a2 , a3 , … 2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , …
3 a1 , a2 , a3 , a4 ,…
(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；
第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
0(甲) 甲的速度为1，乙的速度为1/2 ½（乙）
3/4 7/8
15/16 1
1 1 1 2 n 2 2 n 1 2
b
a
f ( x)dx lim M i xi 1
||T || 0 i 1
n
0
1
下积分
b
a
f ( x)dx lim mi xi 0
||T || 0 i 1
n
n
分划T，有 i xi 1
i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。
0
i 1
n
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中 提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学 进展，2002.1）
Lebesgue积分思想
即： 0, 作分划m y0 y1 y2 yn M
其中yi yi 1 , m f ( x) M
其中 ([a, b], f )为f在[a, b]上的振幅
f(x)在[a,b]上Riemann可积
， 0, 分划T，使得所有振幅 i 的小区间i的总长度不超过
例：Dirichlet函数不Riemann可积。
D( x)
上积分
1 x[ 0,1]Q 0 x[ 0,1]Q
||T || 0 i 1
n
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
(2) Riemann可积的充要条件
其中：
0
i 1
n
即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间）， yi yi-1 使得在每一块上的振幅都很小， 即按函数值的大小对定义域的点加以归类
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：
假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想
a ||T || 0 i 1
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分划T，使得 i xi
i 1 n
(2) Riemann可积的充要条件
序言
实变函数简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
x d (( R) f (t )dt ) f ( x) a dx
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F
`(x) 在[a,b]上连续，则
x a
( R) F ' (t )dt F ( x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
1 n 2
1
问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。
(2) Hilbert旅馆问题
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
问下列情况是否能把新来的人安排下： 1 又来了有限个人{b1, b2, b3, … ，bn} 2 每个人带一个亲戚{b1, b2, b3, …, bn, …} 3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 《高等理科教学》，2000.1）
0
1
3.Lebesgue积分构思产生的问题
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi yi-1
(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）；
(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；
取点集Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于δ
作和s
m E
i 1 i
n
i
yi 1 i yi 其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，
取“极限” ( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但
lim f ( x) D( x)
n
1 x[ 0 ,1]Q 0 x[ 0 ,1]Q
•故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即：
lim f n ( x)dx lim f n ( x)dx 不一定成立。 a n n a
（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上 Riemann 连续,则 x '
a
f (t )dt f ( x) f (a)
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
微积分继续发展的三个方向
外微分形式
(整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
复数域上的微积分（复变函数）
微积分的深化和拓展（实变函数）
1.Riemann积分回顾
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
n
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
b a ||T || 0 i 1
其中 x x x i i i 1 xi 1 i xi
(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
b
a
f ( x)dx lim M i xi lim
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
f n ( x)
n
1 x{r1 ,r2 ,r3 ,,rn } 0 x[0,1]{r1 ,r2 ,r3 ,,rn }
n 1,2,3,
不Riemann可积。
b
b
Riemann积分
为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；
n
xi-1 xi
b
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
a11, a12, a13, a14, … a21, a22, a23, a24, … 4 不能安排进去
（[0,1]是不可数集）
a31, a32, a33,
教材：实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高 等教育出版社，2003年7月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis). 实变函数论与泛函分析基础（第二版）,程其襄 等编, 高等教育出版社，2003 年7月.
x x x
i 1 i i
i
n
i
i
i
i
i
([a, b], f ) xi xi
i i
xi-1 xi 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积
([a, b], f ) (b a)
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论)
外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）
4 又来了[0,1]个人
Hale Waihona Puke Hilbert旅馆问题解答
1, 2, 3, 4, 5, 6,…
a1 , a2 , a3 , a4 , a 5 , a6 , …
1 b1, b2, b3 , … , bn , a1 , a2 , a3 , … 2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , …
3 a1 , a2 , a3 , a4 ,…
(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；
第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
0(甲) 甲的速度为1，乙的速度为1/2 ½（乙）
3/4 7/8
15/16 1
1 1 1 2 n 2 2 n 1 2
b
a
f ( x)dx lim M i xi 1
||T || 0 i 1
n
0
1
下积分
b
a
f ( x)dx lim mi xi 0
||T || 0 i 1
n
n
分划T，有 i xi 1
i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。
0
i 1
n
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中 提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学 进展，2002.1）
Lebesgue积分思想
即： 0, 作分划m y0 y1 y2 yn M
其中yi yi 1 , m f ( x) M
其中 ([a, b], f )为f在[a, b]上的振幅
f(x)在[a,b]上Riemann可积
， 0, 分划T，使得所有振幅 i 的小区间i的总长度不超过
例：Dirichlet函数不Riemann可积。
D( x)
上积分
1 x[ 0,1]Q 0 x[ 0,1]Q
||T || 0 i 1
n
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
(2) Riemann可积的充要条件
其中：
0
i 1
n
即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间）， yi yi-1 使得在每一块上的振幅都很小， 即按函数值的大小对定义域的点加以归类
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：
假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想
a ||T || 0 i 1
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分划T，使得 i xi
i 1 n
(2) Riemann可积的充要条件
序言
实变函数简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
x d (( R) f (t )dt ) f ( x) a dx
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F
`(x) 在[a,b]上连续，则
x a
( R) F ' (t )dt F ( x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
1 n 2
1
问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。
(2) Hilbert旅馆问题
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
问下列情况是否能把新来的人安排下： 1 又来了有限个人{b1, b2, b3, … ，bn} 2 每个人带一个亲戚{b1, b2, b3, …, bn, …} 3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）
（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 《高等理科教学》，2000.1）
0
1
3.Lebesgue积分构思产生的问题
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi yi-1
(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）；
(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；
取点集Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi yi-1
f(x)在 Ei上的振幅不会大于δ
作和s
m E
i 1 i
n
i
yi 1 i yi 其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，
取“极限” ( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但
lim f ( x) D( x)
n
1 x[ 0 ,1]Q 0 x[ 0 ,1]Q
•故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即：
lim f n ( x)dx lim f n ( x)dx 不一定成立。 a n n a