实变函数复习要点

2012《实变函数》复习要点

第一章 集合

一、考核知识点

1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算；

2. 对等和基数及其性质；

3. 可数集合的概念及其性质；

4. 不可数集合的概念及例子．

二、考核要求

1. 集合的概念

了解：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系．

2. 集合的运算

（1）了解：集合的并、交、补概念．

De Morgan 公式

()c c A A ()c c A A

（2）综合应用：集合的并、交、补运算，以及集合列的极限运算．

例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等．

例 根据集合列上下极限的定义，会计算集合列的上下极限与极限．

例如 11{:11},n n n A x x n N 设，则

1[1,0]n n A ，1(2,1)n n A

． 3. 对等与基数

（1）了解：集合的对等与基数的概念；

（2）综合应用：集合的对等的证明．

例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应．

4. 可数集合

（1）了解：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类；

（2）综合应用：可数集合的性质．

5. 不可数集合

了解：不可数集合的概念、例子．

第二章 点集

一、考核知识点

1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质；

2. 聚点、内点、开核、边界、导集和闭包及其性质；

3. 开集、闭集及其性质；

4. 直线上的开集的构造，构成区间．

二、考核要求

1. n 维欧氏空间

了解：邻域的概念、有界点集概念．

2. 聚点、内点

了解：聚点、内点、外点、孤立点、开核、边界、导集和闭包．

如 聚点与内点的关系，

如聚点的等价定义：设0P E ，存在E 中的互异的点列

n P 使0

lim n n P P 3. 开集，闭集

（1）了解：开集、闭集的概念；

（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质；

例如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点（即闭集为对极限运算封闭的点集）．

（3）了解：Bolzano-Weierstrass 定理、Borel 有限覆盖定理．

4. 直线上的开集的构造

（1）了解：直线上的开集的构造及构成区间的概念； 例 设)2,0(1 G , )4,3()2,1(2 G 21G G G ,求G 的构成区间.

解 G 的构成区间为(0,2)、(3,4)．

（2）简单应用：康托集，Cantor 集的基数为C．

第二章 测度论

一、考核知识点

1. 外测度的定义以及简单性质；

2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质；

3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G 型集、F 型集；可测集的构成．

二、考核要求

1. 外测度

（1）综合应用：外测度的定义．

如设B 是有理数集，则0m B ．

（2）了解：外测度的性质．

非负性： 0m A

单调性：A B m A m B 若，则

次可数可加性：**11()n n n n m A m A

2. 可测集

（1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）；

（2）分析：可测集的性质．

可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭．

3. 可测集类

（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G 型集、F 型集．

零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交）、

F 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取

余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集．

例 零测度集：单点集、有理数集、康托集；

例 零测度集与可数集的关系；

例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“

G型集类”之间的关系．

（2）了解：可测集的构成．

可测集与开集、闭集只相差一小测度集

可测集可由G

型集去掉一零集，或F

型集添上一零

集得到．

第三章 可测函数

一、考核知识点

1. 可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系；

2. 叶果洛夫定理；

3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理；

4. 鲁津定理．

二、考核要求

1. 可测函数及其性质

（1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义；

（2）综合应用：可测函数的性质．

零集上的任何函数都是可测函数；

简单函数是可测函数；

可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数；

在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，

即： 设f (x )=g (x ) a.e.于E ， f (x )在E 上可测，则g (x )在E 上也可测；

可测函数关于子集、并集的性质；

可测函数类关于四则运算封闭；

可测函数类关于确界运算和极限运算封闭．

2. 叶果洛夫定理

了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛．

3. 依测度收敛

（1）了解：依测度收敛的定义、性质．

（2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理．

处处收敛和依测度收敛的关系；

一致收敛和依测度收敛的关系． E f f n 于 E

u a f f n 于.. E

e a

f f n 于.. 叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue 定理mE<+∞叶果洛夫逆定理子列

Riesz 定理

子列

4. 可测函数的构造：可测函数和连续函数的关系．

了解：鲁津定理．

可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）．