小学奥数第五讲：图形的计数

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数

一、数一数

小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有

4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。在数数时，要做到有次序，有条理，

不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？

分析：我们可以照下面的方法数：

解：共有线段

4+3+2+1=10（条）

例2：图中有多少个小正方体？

分析：这个图形是由小正方体组成的。可以采用数数的方法，按顺序数。也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）

答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。问

（1）2面涂成红色的有几个？

（2）4面涂成红色的有几个？

（3）5面涂成红色的有几个？

分析：整个图形表面涂成红色。只有“粘在一起的”面没有涂色。中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？

分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：

1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；

“1”在十位上的数有：

10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；

“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）

答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。如果将表面涂成黄色，

求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？

（2）1面涂成黄色的小方块有几块？

（3）2面涂成黄色的小方块有几块？

分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；

1面涂色的只有六个面上中间的小方块；

其余的必然是2面涂色的小方块。

解：（1）3面涂色的小方块有8块；

（2）1面涂色的小方块有6块；

（3）2面涂色的小方块有26-8-6=12块。

例6：图中有多少个正方形？

分析：图中正方形可分为大、中、小三类。

第一类小正方形一共有9个，第二类中等大小的（四个小正方形组成）共有4个，第三类大的正方形共有1个。

解：9+4+1=14（个）

练习：

7．数一数，图中有多少个三角形？

方法一：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25（个）

方法二：1+3+5+7+9=25（个）

方法三：5×5=25（个）

8．数一数，图中一共有多少个小方块？

解：可以一层一层地数，一共有三层，最上面一层是8个，中间一层是8个，最下面一层也是8个，一共是8+8+8或8×3=24（个）。

9．数一数，图中一共有多少个正方体？（说明：每一层中间是空心的）

解：从上往下一层一层地数，每层有9-1=8（个）正方体，一共有3层，可以有8×3=24（个）。

10．将10个小正方体组成一个“I”字形，如图所示，再将表面涂成红色，然后把小正方体分开。问：

（1）3面涂成红色的小正方体有几个？

（2）4面涂成红色的小正方体有几个？

（3）5面涂成红色的小正方体有几个？

解：（1）3面涂成红色的小正方体有2个；

（2）4面涂成红色的小正方体有4个；

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

具体位置见下图：

11．图中这堆木方块一共有多少块？

解：从上往下数，一共有三层。最上层有6块，中间一层有6×2=12（块），最下面一层有6×3=18（块）。所以有6+12+18=36（块）。

12．如图所示，这是由12个小方块组成的，如果在它的表面涂上蓝色，再分成12个小方块。

（1）5面涂上蓝色的有几个小方块？

（2）4面涂上蓝色的有几个小方块？

（3）3面涂上蓝色的有几个小方块？

（4）2面涂上蓝色的有几个小方块？

解：

（1）5面涂上蓝色的有1个小方块；

（2）4面涂上蓝色的有5个小方块；

（3）3面涂上蓝色的有3个小方块；

（4）2面涂上蓝色的有3个小方块。

二、复杂图形的计数

一组图形稍微复杂，数的时候要仔细地观察，有条理地数，注意做到数与形结合，适当分类，找出规律，做到不重复不遗漏。

例1：数一数，图中共有多少个角？

分析：我们知道，从一个点起，用尺子向不同方向画两条线，就得到一个角。角有一个顶点，两条边。

以OA为边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE一共4个角；

以OB为边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE共3个角；

以OC为边的角有：∠COD、∠COE共2个角；

以OD为边的角有：∠DOE一共1个角。

角的个数共有：4+3+2+1=10（个）

解：4+3+2+1=10（个）

例2：数一数，图中有多少个三角形？

分析：在图中，不难看出有三种大小不等的三角形，其中，小三角形有3个；中等的三角形有2个；大三角形有1个，一共有三角形：

3+2+1=6（个）

解：3+2+1=6（个）