一.内容分布正定二次型 正定二次型的判别.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是向量空间内的重要概念，它在许多数学领域中都有应用，如优化、概率论和统计学。
本文将介绍正定二次型的定义，性质和判别方法。
定义：设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是$x_1,x_2,...,x_n$的二次多项式，即：$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}x_ix_j$$其中$a_{ij}$为实数，且$a_{ij}=a_{ji}$。
则称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为$n$元实二次型，它的矩阵表示为$$A=(a_{ij})_{n\times n}$$称为二次型的矩阵。
也就是说，二次型和它的矩阵$A$是一一对应的关系。
性质：1.对于任意的实数$k$，$kx^T Ax$都是一个二次型。
2.二次型可以表示为两部分之和，即$f(x)=g(x)+h$，其中$g(x)$是只与$x$有关的部分，$h$是只与$x$无关的常数项。
3.设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶实对称矩阵，则$A$的主对角线元素必为实数，有$a_{ii}\in\mathbb{R}$。
且$\forall i,j\in[1,n]$，有$a_{ij}=a_{ji}$。
4.对于任意非零实向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$，有$x^T Ax>0$，则称$f(x)$是正定二次型；有$x^T Ax<0$，则称$f(x)$是负定二次型；有$x^T Ax=0$，则称$f(x)$是半定二次型。
判别方法：1.矩阵的特征值法：对于实对称矩阵$A$，先求出它的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，然后判断它们的符号。
如果$\lambda_i>0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为正定二次型；如果$\lambda_i<0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为负定二次型；如果$\lambda_i=0(1\leqi\leq n)$的个数不超过$k$个，则$f(x)$为$k$阶半定二次型。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
北京工业大学线性代数第六章第七节 正定二次型第八节正交替换化标准形
证：方法一
( AT A)T AT A,
AT A是实对称阵，
任意X O, A可逆， AX O ,
f ( X ) X ( A A) X ( AX ) ( AX ) AX
T T T
2
0,
∴ f 是正定二次型，
AT A是正定矩阵.
19
方法二
( AT A)T AT A,
2 1
2
2( x1 x2 x3 ) 3 x 3 x 4 x2 x3
2 2 2 2 3
14
4 4 2 4 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x x2 x3 x3 ) x3 3 x3 3 9 3 2 5 2 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3
2 1 2 2 2 3
是正定二次型.
2 2 f ( x , x , x ) x 2 x ② 1 2 3 1 2
不是正定二次型.
X (0,0, 3) 0, f (0,0, 3) 0 ≯0
2 2 2 f ( x , x , x ) x 2 x x ③ 1 2 3 1 2 3
∴ 二次型f 是正定二次型.
17
1 2 0 2 2 1 ， 是否正定？ 例2 判断矩阵 A 0 1 3
(P205---例6.7.3)
解:
2 1 2 2 0， 2 2
∴A 不是正定矩阵． 例3 试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵A ，
都有ATA是正定矩阵．
第七节 正定二次型
一．正定二次型 二．正定二次型的判别法 三．正定矩阵在求多元函数极值中的应用
1
我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处
正定二次型
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
D2
a11 a21
a12 1 a22 1
1 0
2
1 1 0 1 1 0
D3 1 2 1 0 1 1 3 1 2 0 0 1 3 0 1 3
根据定理 5.5 可知所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 2 二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 ，矩阵 A 的特征多项式为
解法 3 将所给二次型配方，得
f x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 (x12 2x1x2 x22 ) (x22 2x2 x3 x32 ) 2x32
(x1 - x2 ) 2 (x2 - x3 ) 2 2x32 0
而上式等号成立的充分必要条件是 x1 x2 x3 0
0 1 3
0 1 3
0 1 3
1 0 0
1 0 0
c3 c2 0
1
0
r3r2
0
1
0
0 1 2
0 0 2
于是已知的二次型经过合用变换后，所得标准形的正惯性指数分别为 1，1，2，
根据惯性定理可知，所给二次型 f 是正定二次型。
1 t 1 例 5.12 设矩阵 A t 1 2 是正定矩阵，求其中 t 的取值范围。
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
f (x) f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。
1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。
正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。
$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。
$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。
2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。
定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。
线性代数5-7
定理1. 定理1. 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax ，它的秩为 ，有 它的秩为r， 两个可逆线性变换
x = Py , x = Qz
将 f 化为标准形
f ( Py ) = k1 y12 + k2 y2 2 + ... + kr yr 2
f (Qz ) = l1 z12 + l2 z2 2 + ... + lr zr 2
f ( x ) = x T Ax 正定的充分必要条件 定理2. 元二次型 定理2. n元二次型 是它的标准形的n个系数全为正数 个系数全为正数， 是它的标准形的 个系数全为正数，即它的正惯性指数为 n。 。
证明： 证明： 推论. 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 的全部 推论. 实对称矩阵 正定的充分必要条件是A的全部 正定的充分必要条件是 特征值都是正数。 特征值都是正数。
a32 ... an 2
a13 a23 a33 ...
an 3
... a1n ... a2 n ... a3 n ... ... ... ann
a11 = a11 > 0,
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a11 a21
a12 >0 a22
a23 > 0, ..., A > 0 a33
实矩阵， 为 阶单位阵 阶单位阵， 例3. 设A为 m × n 实矩阵，E为n阶单位阵，已知 为 B = λ E + AT A 试证： 试证：当 λ > 0 时，矩阵 为正定矩阵。 矩阵B为正定矩阵 为正定矩阵。 证明： 证明： 证明： 阶实对称矩阵， 与 为 阶实对称矩阵 与 合同 例4. 证明：若A与B为n阶实对称矩阵，则A与B合同 的充分必要条件为A与 有相同个数的正特征值和相同个 的充分必要条件为 与B有相同个数的正特征值和相同个 数的负特征值。 数的负特征值。 证明： 证明：
第三节 正定二次型
此时A为正定矩阵，f为正定二次型.
当 a b 1 时，有 1 0, 3 0
2 2
此时A为不定矩阵，f为不定二次型.
上页 下页 结束
例6.7 求 的值，使得二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 2 x2 x3 2 x3 x1 x4
第三节 正定二次型
1
惯性定理 正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别
2
3
上页
下页
结束
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形 中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变），也就是有如下定理.
构成的k阶子式
a11 a1k ak 1 akk
称为矩阵A的k阶顺序主子式.
令k 1,2,, n 就得到矩阵A的一切顺序主子式．
n阶矩阵只有n个顺序主子式.
上页
下页
结束
定理6.4
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是: A
的各阶顺序主子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
上页 下页 结束
1 a 0 ( 3) f 的矩阵为 A a 1 b 0 b 1 1 a 1 a 2 3 A 1 (a 2 b 2 ) 1 1 2 a 1
当 a b 1 时，有1 0, 2 0, 3 0 ，
假设有 ks 0, 则当y s (单位坐标向量) 时,
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学领域中重要的概念，它在矩阵、线性代数、数学分析等领域都有重要的应用。
在实际问题中，判别一个二次型是否为正定是非常重要的，因为它关系到了二次型的性质和应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质，以及判别正定二次型的方法。
正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)^T，它的二次型可以表示为：Q(x) = x^TAx = ∑∑(a_ijxi*xj)其中A是一个n×n实对称矩阵，a_ij表示矩阵A的元素，xi和xj表示向量x的元素。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么我们称二次型Q(x)是正定的。
如果Q(x)<0，则称为负定；如果Q(x)的值在0附近变化，则称为不定。
我们还定义半正定和半负定二次型，即当Q(x)≥0时称为半正定，当Q(x)≤0时称为半负定。
正定二次型具有一些重要的性质，这些性质对于判别一个二次型是否正定非常重要。
下面我们来介绍一些常见的性质：1. 正定二次型的特征值全为正数。
设A为一个n×n实对称矩阵，它的特征值为λ1, λ2, ..., λn，那么A是正定的当且仅当所有的特征值都是正数。
2. 正定二次型的主对角元素全为正数。
对于一个正定矩阵A，它的主对角元素a_ii都是正数。
3. 正定方阵的行列式大于0。
对于一个n×n的正定矩阵A，它的行列式det(A)>0。
1. 利用主元法利用主元法判别一个二次型是否正定是一种非常直观的方法。
我们将二次型的矩阵表示成阶梯型，然后判断主对角元素是否都大于0，如果是，则该二次型是正定的。
举个例子，对于一个二次型Q(x) = x^T Ax，A是一个实对称矩阵，如果我们可以将A 化成阶梯型：| a11 a12 a13 || a12 a22 a23 || a13 a23 a33 |然后判断a11, a22, a33是否都大于0，如果是，则二次型Q(x)是正定的。
6.4 正定二次型
正定二次型
11/19
1 0,
1 t 2 2 t 0, t 2
1 t 1 2 t 2 2 (3t 4t ) 0. 1 2 3
4 因此, 当且仅当 t 0 时, 二次型是正定的. 3
正定二次型
12/19
例6.8 设 A 为m 阶正定矩阵, B 为 mn 实矩阵, 试证: BTAB 为正定矩阵当且仅当 rank B n . 证 易知 B AB 为 n 阶实对称矩阵. 由 A 正定可知,
, xk ) aij xi x j ,
i 1 j 1 k k
正定二次型
8/19
对于实二次型 f (x1, x2, , xn) xTAx, 下列条件等价: 1) f (x1, x2, , xn)是正定的; 2) 正惯性指数为 n, 即规范形为 y y
2 1 2 2
y ;
正定二次型
4/19
二、正定二次型的判别法
(1) n 元实二次型的规范形
x
2 1
x x
2 p
2 p1
x
2 r
为正定的充要条件是 p n . (2) 可逆线性变换不改变实二次型的正定性 .
根据上述两个结论, 即得
定理6.5 n 元实二次型 f (x1, x2, , xn) 为正定当且仅 当它的正惯性指数等于 n .
T
B AB 正定 x 0,
T
T T T 有 x (B AB)x (Bx) A(Bx) 0
x 0, 有 Bx 0 Bx 0 x 0 齐次线性方程组 Bx 0 只有零解 rank B n .
正定二次型
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。
了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。
一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。
如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。
简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。
正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。
而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。
正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。
第四节 正定二次型
方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk
第4节正定二次型
例 2 判别下列二次形的正定性 1） f ( x1 , x 2 , x3 ) = 5 x1 + x 2 + 5 x3 + 4 x1 x 2 − 8 x1 x3 − 4 x 2 x3
2 2 2
2） f ( x1 , x 2 , x3 ) = 10 x1 − 2 x 2 + 3 x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3
解：作非退化线性变换
y1 = −2 x1 + x 2 + x3 y 2 = x1 − 2 x 2 + x3 y = x3 3
得 f ( x1 , x 2 , x3 ) = y1 + y 2 + (− y1 − y 2 ) 2 = 2( y1 +
2 2
1 3 2 y2 ) 2 + y2 2 2
§5.4正定二次型 正定二次型
一、正定二次型
定义 4 设 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是实二次型，若对于任意的一组不全为零的 实数 c1 , c 2 ,L , c n 都有 （1） f (c1 , c 2 ,L , c n ) > 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是正定二次型； 正定二次型； 正定二次型 （2） f (c1 , c 2 ,L , c n ) < 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是负定二次型； 负定二次型； （3） f (c1 , c 2 ,L , c n ) ≥ 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是半正定二次型； 正定二次型； 正定二次型 半负定二次型 （4） f (c1 , c 2 ,L , c n ) ≤ 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是半负定二次型； 半负定二次型； 如果 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 既不是半正定的， 也不是半负定的， 则称它是不定的。 不定的。 不定的
线性代数及其应用第7节正定二次型
例如 实二次型
f (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 + 2x32 为正定二次型； g (x1 , x2 , x3) = –x12 – 2x22 – 3x32 为负定二次型； h (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 – 3x32是不定的， 因为h (1 ,0 ,0) = 1 > 0，h (0 ,0 ,1) = –3 < 0； k (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 也是不定的， 因为k (1 ,0 ,0) = 1 > 0，k (0 ,0 ,1) = 0．
三、正定二次型的判别定理
定理 12 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
即它的规范形的 n 个系数全为 1，亦即它的正 惯性指数等于 n .
定 理 12 实 二 次 型 f(x) = xTAx 为 正 定 的 充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件
是: A 的特征值全为正.
定理 13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条
件是: A 的各阶顺序主子式都为正, 即
a110,
a11 a21
a120,,a11
a22
an1
a1n 0;
ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是: 奇数阶顺 序主子式为负, 而偶数阶顺序主子式为正, 即
第 7 节 正定二次型
惯性定理
正定二次型的概念
举例
正定二次型的判别定理
这个定理称为惯性定理, 这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次
型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性 指数. 若二次型 f 的正惯性指数为 p，秩为 r ,
正定二次型
正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正（负）定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵，所以A的特征值全大于零，从而A-1, A*的特征值也全大于零，所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法：(1)定义法；(2)特征值判别法；(3)顺序主子式判别法.。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法
二次型是指形式为
f(x) = x^TAx
的二次函数，其中 A 是一个 n \times n 的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T 是 n 维实向量。
对于给定的矩阵 A，我们想要判别其所对应的二次型的一些性质，比如
正定性、负定性、半正定性和半负定性等。
1. 正定二次型：对于所有非零的向量 x，有 x^TAx > 0 成立，则称二次型 f(x) 是
正定的。
性质：正定二次型的矩阵 A 所有特征值都大于零。
根据以上定义，我们可以得到判别二次型正定性的方法：
方法一：主子式判定法
设 A 是 n \times n 的矩阵，记 A_i 为 A 的任意一个 i 阶顺序主子式，即 A_i 由A 的前 i 行和前 i 列共同组成。
则矩阵 A 正定的充要条件是 A_1, A_2, \ldots, A_n 的行列式都大于零，即 |A_1| > 0, |A_2| > 0, \ldots, |A_n| > 0。
方法二：特征值判定法
设 A 的特征值为 \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n，则矩阵 A 正定的充
要条件是 \lambda_i > 0 对所有 i = 1, 2, \ldots, n 成立。
方法三：配方法
对于对称矩阵 A，可以通过配方法将二次型转化为标准型，然后判断标准型中的系数
是否满足正定的条件。
总结：
判别二次型正定性的方法有主子式判定法、特征值判定法以及配方法。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行判别。
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
第5.4节 正定二次型
A 2(11 6t 2 ) 0
2 2 t 0 解 得 2 11 6t 0
即当 t
11 时， f 是正定的. 6
负定、半正定、半负定二次型判定定理 定理4 (1) n元二次型f (x1,x2,…,xn) =xTAx负定的充分必要条件是 标准形中n个系数均为负数. (2) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n. (3) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是A的特征值都小于零.
a21 ai 1
例6 讨论二次型f 的正定性,其中
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x1 6 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
A的各阶顺序主子式
负定二次型 半负定二次型
二、正定二次型（正定矩阵）的判别法
定理1 n元二次型f (x1, x2 ,· · · ,xn) =xTAx正定(或A>０)的 充分必要条件是标准形中n个系数均为正数. 证 若存在可逆线性变换x=Cy使
2 2 f x Ax yT (C T AC ) y yT y 1 y1 2 y2 T x Cy 2 n yn
思考练习
1.判定二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
2 2 2 2 的正定性.已知其标准形为 f 3 y1 y2 y3 y4 .
2.判定下列二次型的正定性
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 x2 4 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
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2. 两个基本结论
1) 实二次型
f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
正定的充分必要条件是 di > 0 , i = 1, 2, … , n .
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 x1x2 x2 x3
是否是正定二次型.
解法 1 用配方法
解直接法配2方得用初等变换法
1
f
(
x1,
x12
,
x3 )
0
则其 标12 准形11为2(x1
1
2
x2
x12 x22
)2
3 4
四.教具、教学素材准备： 1.教具：多媒体教室、黑板、刷子 、粉笔等。
2.教学素材：网上各大学的电子课件。
花树忠，二次型理论在求解多元二次函数最值方面上的应用，职 大学报，2002（4）
3.参考书：
1、丘维声，《高等代数》（上、下册），高等教育出版社， 2002年，第二版。
2、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1999年， 第四版。 3、王向东、周士藩，《高等代数常用方法》，科学出版社，1989 年，第二版。 4、杨子胥，《高等代数习题解》(上、下册)，山东科学技术出版 社，2001年，第二版。
正定二次型
一．内容分布
正定二次型
正定二次型的判别 二.教学目标 1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负 定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定 二次型的概念。
2．掌握实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X AX 正定的判 定定理。 三.教学重点、难点 实二次型 f (x1, x2,, xn ) X AX 正定的判定。
化实线性替换变成标准形 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2
由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定的当
且仅当 di > 0 , i =1, 2, … , n , 即正惯性指数为 n . 再
由基本结论 2 即得.
证毕
定理 6 说明，正定二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的
称矩阵，由推论 2 知，正定矩阵 A 是可逆的， 且
( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，
所以 A-1 也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很
多.
方法 1
方法 2
方法 3
对二次型 XTA-由1 X于作正非定退矩化阵线由A性于合替同A换于正X单定=位，AY矩所，阵以存E
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
1. 定义
定义 7 实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为正 定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,
… , cn 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) > 0 .
例如 二次型
f ( x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xn2
( x2
初等变换
x32
32 100xx31)x220043
x2 x03
2 3
x032
2
3
.
2. 顺序主子式法
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个
二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或
规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入
定义 9 子式
a11 a12 a1i
Pi
证明 充分性是显然的. 下面来证必要性，
用反2证) 法非，退设化存实在线d性i 替0换, 于保是持取正x定i =性1不, x变j =. 0 (ji),
便有证明 1 设实二次型
这与证f二(明次x1型,f2x(正20,,定设…相实,,f0x矛二=,n1)盾X次,T0.型A, …iXn1
证明 设 A 为实对称矩阵，则由
有
实对称矩阵 A 正定 等 价
实二次型 XTAX 正定 等 价
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2
等 价
矩阵 A 与 E 合同 等 价
存在可逆矩阵 C，使 A = CTEC = CTC .
证毕
推论 2 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设 A 是一正定矩阵，则由推论 1 知，
存在可逆矩阵 C，使 A = CTC .
两边取行列式，就有 | A | = | CT | | C | = | C |2 > 0 .
证毕
例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也是正
定的.
证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对
五.教学方法：
启发式讲授法、课外阅读法、练习法等。
六.教学时数：3学时
七.教学过程：
第四节 正定二次型
主要内容
正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 正定矩阵的应用举例
一、正定二次型的定义
在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 因 为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问 题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条 件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以 及常用的判别条件.
,
0n )
j 1
a=idj xi ix0j,
,
aij
a ji
,
作非退化线性替换
二、实二次型正定性的判别方法
1. 惯性指数法
定理 6 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是正
定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n .
证明 设二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退
规范形为
y12 + y22 + … + yn2 .
定义 8 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二
次型 XTAX
正定. 因为二次型 x12 + x22 + … + xn2 的矩阵是单位
矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它 与单位矩阵合同，由此得：
推论，使得 A = CTC.
a21
a22
a2i (i 1,2,, n)
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A = ( aij )nn 的顺序主子式.
定理 7 实二次型
nn
f (x1, x2,, xn )
aij xi x j X T AX