画法几何 直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法

Z a'
V
a'
A
β
a'' W 0 B b b'' X
β
b' O a
α
b'' YW
b' X a
α
Y YH • （小结）投影面平行线的投影特性： • 1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的 夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。 • 2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
直角投影定理：交错二直线
在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。
AB线段实长
AB线段实长 ΔZAB ΔYAB
α ab的长
a ' b '的长 AB线段实长 ΔXAB
γ
a '' b ''的长
例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。 A
x b
b0
o
1）作ΔabB0,使∠α= 30° ∠A的对边为ΔZAB 2）过a′作直线平行于 Ox轴，与过b而垂直于 ox轴的直线交于一点b0 3）以b0为圆心以ΔZAB为 半径画圆弧，交bb0的延 长线于点b′
a
30° B0
4）用直线连接a′b′ 即为所求。 ΔZAB
例3 已知CD∩AB=K，CD∥H， 求CD的正面投影。
2) 铅垂线(投影面H的垂直线AB)
V a' Z a'
z
a''
A
a'' b'
W
b'
b''
X
0
x
b''
o
YW
B
a(b) Y a(b) YH
投影特性：1、 a b 积聚成一点 2、 a' b' ⊥ox,a'' b'' ⊥oyw 3、 a' b' = a'' b'' = AB
3) 侧垂线
V Z
(投影面 W 的垂直线AB)
一般位置直线AB
Z V a' A X a'' W 0 b'' Y • b YH X a' a'' Z
b'
a
O
b''
YW
b'
β αγ
B b
a
一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜 于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹 角，不反映直线对投影面的倾角。
1.一般位置直线上点的投影 C是直线AB上的点
例1 如图中黑色的图形所示，作出分 线段AB为3:2的点c的两面投影。
b'
c'
a' x
a
c
作法： 1.过点a任作一条直线ae； 2.在ae上截取五等分； 3.连接be； 4.在离点a三等分点处作 直线平行于be，交ab上一 0 点c； 5.过点c作直线垂直于ox, e 交 a′b′于点c′。 点C(c, c′)即为所求。
2) 水平线（投影面H的平行线AB） Z
V a' A b'
β γ
a'
a'' B
b'
z
a''
b''
X
a
0
W b''
X a
β
0
YW
γ b b
Y
投影特性：
1.a' b' // OX，a"b"// OYw； 2.a b = A B； 即：水平投影反映线段实长及β 、γ角的真实大小。
YH
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3)侧平线（投影面W的平行线AB） Z a''
例3 判断图中两条直线是否平行。
b 1 d o ∵ ab ∥ cd, a b ∥ c d ∴ ab: cd = a b: c d △ ab1∽ △ 1cd; △ a b 1 ∽ △ 1 c d; ∴ a1: 1d = a 1: 1 d aa ∥ 11∥ d d ∴ AB与CD共面
b
2.投影面平行线 1) 正平线（投影面V的平行线AB）
Z
V a' X A a αγ b' B b'' W 0 a'' b X a b a' αγ 0 Z b' b'' a'' YW
Y 投影特性： YH 1. a"b" // OZ ， a b// OX； 2. a' b' = A B； 3.正面投影反映α 、γ角的真实大小。
(c) a
作CB//ab,则∠ABC为直线AB对投影面H的倾角α.
投 直线倾斜于投影面其投影比实长短: ab=AB· cosα(类似性） 影 直线平行于投影面其投影反映线段实长: fg=FG（真实性） 特 性 直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性)
第二节
一、直线的分类：
各种位置直线
特 殊 位 置 直 线
a' b'
Z
a''(b'')
a'
b' W B a''(b'')
A
X
x
a b
o
YW
0
a
b
Y
YH
投影面垂直线的投影特性：
1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。
a′ k′
例2 侧平线上的点
z1
已知AB的两面投影及其 上面的点K的正面投影， 求点K的水平投影。
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 投影面平行线 平行于某一投影面而与其余
两投影面倾斜 正平线（只平行于Ｖ面） 侧平线（只平行于Ｗ面） 水平线（只平行于Ｈ面）
投影面垂直线 垂直于某一投影面(平行于另
两投影面) 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
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二、相对投影面各种位置直线的投影
例1 判断两直线是否平行
方法一： 看直线的方位： 由投影图可以看出 ab、cd同向（均由后向前）； a ' b '与c ' d '反向（a ' b '由上向 下，c ' d '由下向上） 由此看出AB与CD不平行。 方法二： 看比例： a' b' /c' d' ≈1,ab/cd＜1, 由此可知，AB不平行于CD。
b′ x a 1 2 b k
z
o
利用点在线上分割线段 成定比，投影后不变的 性质作图。
第三节 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角
直角三角形法
•
方法是：以线段在某一投影面上的 投影长为一直角边，两端点与这个投 影面的距离差为另一直角边形成的直 角三角形。其斜边是线段的实长，斜 边与投影长的夹角就是该直线与这个 投影面的倾角。
a'
d'
b'
x a
b
c'
o c
d
例2 如图所示，判断两侧平线的相对位置。
方法三： 求第三投影(三个投影都 互相平行，则AB∥CD) Z a' a'' c'' c'
b' b X d'
方法四： 看已知的二 直线是否共面 a' b'
X
c' d' 0
b'' 0 d'' YW
c
a
b d
a
b
c d
YH
只要证明AB与CD共面则有AB∥CD。 作辅助直线AD与BC的两面投影, 判断：AD与BC是两相交直线, 则AB与CD共面.
a′
c′
k′ b′
d′
x
o a
k c
d
求k′同前。 由于CD∥H所以 c′d′∥ox轴。
b
20
68
同学们好！
第四节 两直线的相对位置
一.两平行直线
B D a′ dP X a d b b′ c′ O d′ c″ a″ Z d″ b″
C
A aP cP
bP
分析：
c
YW
1.已知AB∥CD,根据正投影图的作图法可知： YH (AaP ∥ BbP ∥ CcP∥ DcP) ⊥P面，则平面AB bPaP ∥CDdPcP； 2.两个平行平面（AB bPaP与CDdPcP）与第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交线平行； 3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如： ab ∥ cd、a′b ′∥ c′d′、a″b ″∥ c″d″）
B
b'
根据已知条件， 要求得ab，其方法一 是求得A、B两点的Y 坐标差(Δ YAB ) ；方 法二是求得ab的长。
a'
x
b
o
此题有两解(多解
时一般只画一解）
a
方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。
A
B
b'
解法二 此题有两解
a'
x
b
o
a' b'
a
方法三：求出ab的长
A
B
b'
B
ΔZAB
a'
1
b' d' d'' a''
c'' b''
a' a
o
d
y
c
b
y
例2 判断两直线的相对位置(解法2)
用点分割直线段之比， 投影后保持不变的性质 判断。 由水平投影可判断， 点Ⅰ不属于直线AB， 故两直线交错。 a'
c' b' 1' d'
x
a d 1 b
o
c
第五节 直角投影定理
• AB ⊥ BC，直角边 AB平行于投影面P(P面 可以被看作是H、V、W面） B
Z
实长
a' β
a'' γ
0 a b'
实 长
Z V a' A a'' 0 b''
X
b
b''
YW
α
实长
b'
X Bo B
β γ α a b
W
在正面投影上求线段实长与倾角β 在水平投影上求线段实长与倾角α 在侧面投影上求线段实长与倾角γ
YH
直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形 设所求线段为AB
b
3.投影面垂直线
1)正垂线(投影面V的垂直线AB)
Z V a' (b') a''
z a''
b''
a' (b') A B
X
a b
0
W b''
x a b Y
o
yH
yH
投影特性：1. a' ( b' )积聚成一点 2. a b ⊥ Ox ； a '' b '' ⊥ Oz 3. a b = a'' b'' = AB
A bp
直角投影定理：
互相垂直的两直线，当一 边为某投影面的平行线时， 他们在该投影面上的投影是 直角。 逆定理也是成立的。 b' a' c'
Q
C
ap
∵ AB ∥P，Bbp ⊥P ∴ AB⊥Bbp 又∵ AB⊥BC， ∴ AB⊥Q，即AB ⊥bpcp ∵ ab∥ AB,
cp
X
b
c
0
a
∴ ab ⊥ Q, 即a pb p⊥b pcp
2
以AB两点的Z坐标差为 一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。
x
b
o
即：12=ab
a
例2 已知直线AB的α =30° 求作AB的正面投影。 b′
1.分析
要求得a′b′，其实 就是求b′；要求得b′ 也就是想办法找到A、 B两点的Z坐标差或者 求出a′b′的长。
2.作图 a′
b''
c''
f'' e'' 0 d''a'' YW
不可见。
F A C cp ap
S
X
B
a' X a f e c
d'
E
d
b YH YH
D bp
dp
fp（ep）
• 交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性， 也不符合相交两直线的投影特性。
例1 判断两直线的相对位置 z c' 解法1: 作出侧面 投影,由 三面投影 可知,两 x 直线交错
a''
YW
ap
因此，三对同面投影都相交，且 交点符合点的三面投影特规律
例1
已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正 面投影c d ，且CD平行于V面。求CD的水平投影 分析：
c k b d
a ∵AB∩CD=K ∴K∈AB，K∈CD ∴k ∈ ab，k ∈ cd a k /k b =ak/kb 又因为AB平行于W面，所以 cd//ox轴。用定比分点法求k。
Z V a' A c' C B c b a a'' c'' W 0 b'' Y X a'
Z a'' c'' 0 b'' YW a
c' b' c
b
b'
X
YH
• • • •
直线上点的投影，必在直线的同面投影上； （c∈ab, c'∈a' b' ,c''∈a'' b'') 线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。 AC/CB=ac/cb= a' c' / c' b' = a'' b''/ c'' b'')
大家好!
同学们好！
• 第三章 直线
第一节 直线的投影 第二节 各种位置直线 第三节 一般位置线段的实长及其 对投影的倾角 第四节 两直线的相对位置
第五节 直角投影定理
第一节 直线的投影
A C α B F G f b D g e(d) E 直线的投影仍为直线， 两点确定一条直线，直 线上两点的投影用直线 连接，就得到直线的投 影。
x
1 e 2 c
o
a
解：
1.过a任作一条直线ae； 2.在ae上截取a1=a b； a2= a k 的长度 3.连接1b 4.作2k∥1b,与ab交于点k 5.过k作直线平行于ox轴 6.过c 、 d 作直线垂直于 ox,交上述直线于点c、d
d
b
三、交错直线
AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交 Z 呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于 指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上 b' 的投影重合，点F的投影可见， 的投影重合，点F的投影可见 c' 而点E的投影不可见。 e' 本题中点E、F是对V面的一对重影点； (f ') 点E在前，所以点F的正面投影f '
a
x c
a
1
c
b d ab ∥ cd, a b ∥ c d
由此可知：对于一般 位置直线，只要有两个同 名投影互相平行，空间两 直线就平行。
即AB//CD
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二、两相交直线
两直线相交有且仅有一个交点（E） 交点是相交两直线的公有点 b' d' （P面可以看作H、V、W面） e' D E B a' C A dp e bp cp b YH X d e a c c' c'' 0 Z b'' d'' e''