第二课时探索多边形的外角和

则∠1＝_2_5_°__; ∠2=__6_2_°_; ∠3=_1_1_8_°__ .
2 3 37° 1 155°
（2）三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角
A
∠ACD > ∠A
∠ACD > ∠B
B
CD
（3）三角形的外角和等于3600
∠1+ ∠2+ ∠3= 3600
D
A
1
C
2
B E
3F
三角形的三个外角之比为2:3:4，
第二课时探索多边形的外角和
前提测评：
1.口答并记忆：1平角等于（180）° 1周角等于（360）° 2. 从一个顶点出发，连结和它不相邻的顶点，可把四 边形分成（2 ）个三角形，把五边形分成（3 ）个三角形， 把六边形分成（4）个三角形……把n边形分成（ n-2 ） 个三角形.
3.三角形的内角和等于（360）度，四、五、六、七边 形的内角和分别等于（ 360、540、720 、900 ）度。 多边形的内角和等于（ (n－2) ·180°）度。
教材第24页 习题11.3 复习巩固
拓广练习：
1、在多边形的所有外角中最多有几个 钝角？在多边形的所有内角中最多有几 个锐角？
2、小军在进行多边形内角和计算时，
求得的内角和为1125 ° ，当发现错了
之后，重新检查，发现是少加了一个内 角，求:
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个内角是多少度？
= (n-n+2)X 180° = 360 °
总结规律
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和= n个平角-n边形内角和 1 =n×180 °-(n-2) × 180° B
=360 °
2
结论：
C
n边形的外角和等于360° 3D
A
n F
45 E
总结规律
请你完成下面的这个表格：
别为100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
故选 C
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
1、多边形内角的一边与 ___________________所组成的角叫做这个多 边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的
1.
一个外角，它们的和叫做
_______________M_2__。 M3
M1 M4
M5
探索多边形的内角和与外角和2
（1）位置关系
（2）数量关系
相邻的内角
外角
不相邻的内角
三角形的外角与它不相邻的内
思 角之间有什么关系呢？
考
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和
A
∠ACD= ∠A+ ∠B B
CD
小试身手 1、求下列各图中∠1的度数.
2
∠1=90° ∠1=85°
2、如图所示：
∠1=95° ∠2=85°
概念了解 多边形内角的一边与 另一边的反向延长线
所组成的角叫做这个多边形的外角。
F
A
外角
顶点 B
内角
边
对角线
C
内 叫多外
E 角 做边角
和 这形和
： 个的：
多 多一在
边 边个每
形 形外个
所 的角顶
有 外，点
内 角它处
D 角 和们取
的 。的这
和
和个
初试牛刀
1.多边形内角的一边与（另一边的反向延长线） 所组成的角叫做这个多边形的外角。 2.多边形的每个顶点处有（ 两 ）个外角， 这两个外角互为（对顶角），所以（相等 ）。 外角和是在每个顶点处取这个多边形的（一） 个外角。
角是( 60 ° ) ，它是( 六 ) 边形。 4、一多边形的内角和1260 ° ，则其边数( 九 ) 。
5、一个多边形的每个外角都是30 ° ，则此多边形的
内角和是 ( 1800 °) 。 6、五边形的内角和与外角和的比值是( 3：2 ) 。
复习
1、什么是三角形的内角？其和等于多少？
2、什么是三角形的外角？ 3、三角形外角与内角的关系
4.请再看一题——
情趣引入
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 叫做多边形的什么呢？这个和能否求出来呢？
学习目标
1.了解多边形外角及外角和的定义并 能准确找出多边形的外角。 2.探索理解掌握多边形外角和公式。 3.利用内角和与外角和公式解决实际 问题.
探究3 把一个五边形分成几个三角
形，还有其他的分法吗？ A
E B
方法
Fra Baidu bibliotek其他
D
C
F 180° × 4 – 180° = 540°
例1:已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°
∠B+∠D=？
D
A
B
点评：四边形的一组对角互补，另一组
对角也互补。
解:四边形的内角和为:(4-2) ×180 =360 °
∠A+∠C=180°
总结规律 整体思路：1.先求5
---推理法
个外角+5个内角的和； 2.再减去5个内角的和
五
边
形
的
外
角
和
容易看出，5个外角+5个内角=5个平角
而5个内角的和是540 ° ，
那么四边形的外角和就是5X 180°-540°= 360°
总结规律 ---推理法
整体思路：1.先求5 个外角+5个内角的和； 2.再减去5个内角的和
一个多边形中，它的外角最多可以有几3 个钝角？
能否用第三种分割方式来解决这个问题？
D
A
B
C
D
E
A
F C
A B
E D
C B
多了什么？如何处理？
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形内角
和为n×180 °，但每个图中都有一个以红圈圈住的
点，它是一个圆周角360 °，因此n边形的内角和为
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
边数
3
4
5
6
…
n
内外角 总和
内角和
外角和
3×180° 4×180° 5×180° 6×180° … =540 ° =720 ° =900 ° =1080 °
180° 360 ° 540 ° 720 ° …
与边数无关！ 360° 360 ° 360 ° 360 ° …
n×180° (n-2)×180°
∴ ∠B+∠D= 360 °- (A+∠C)=180°
例2 如图，在五边形的每个顶点处各取
一个外角，这些外角的和叫做五边形的外 角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻
1A
的内角有什么关系？ B
2.五个外角加上他们分别
6
5
相邻的五个内角和是多 2
E
少？
3.这五个平角和与五边形 的内角和、外角和有什
多边形的外角和
指出右边多边 形的内角与外角。
12 4
7
8 65
多边形的外角与它相邻的
3
内角的关系 互补
。
请你动手来实践一下，看看谁能最 先找出来四边形的外角和？
1 2 3 4 5 6 7 8 180 4 720
2 4 6 8 360
快速反应
2、
1.
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
3、三角形的外角和是____________，四边形 的外角和是____________，五边形的外角和 是____________，n边形的外角和是
1.
__________.
M2
M3
M1 M4
M5
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
4、有一个正多边形的外角是60°，那么该正 多边形是正___________边形。
例13.一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍, 则这个多边形为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形
例14.一个正多边形的一个内角和与外角和的比 是7:2,则这个多边形的边数为( )
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
C
3
4 D
么关系？
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取
一个外角，这些外角的和叫做五边形的外 角和．五边形的外角和等于多少？
5边形外角和=5个平角-5边形内角和 1 A
B
=5×180°-(5-2) × 180°
6
5
=360 °
2
E
C 3
结论：五边形的外角和等于360°
4 D
探究 如果将例2中五边形换成n边（n≥3）
外角和 360° 360 ° 360 ° 360 ° … 360 °
任意多边形的外角和为 360 ° 。
能力训练：
1、十边形的内角和是( 1440 °)，外角和是( 360 °)。 2、正八边形的内角和是( 1080 °)，每个内角的度数 是 ( 135 °) 。
3、一多边形的每个内角都等于120°，则其每一个外
知识盘点：
本节课主要学习了n边形的外角和公式的 探索与应用。运用转化思想构筑三角形是探 索公式的关键。
1.九个主要概念
多边形及多边形的边、内角、内角和、顶点、 对角线；凸、凹多边形；正多边形
2.一个重要公式：
n边形的外角和等于360°
3.一种重要数学思想：
多边形问题应转化为三角形来解决。
华罗庚：学数学而不练，犹如入宝山而空返。
那么四边形的外角和就是3X 180°-180°= 360°
总结规律 整体思路：1.先求4
---推理法
个外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和
四
边
形
的
外
角
和
图 8.3.6 容易看出，4个外角+4个内角=4个平角
而4个内角的和是360 ° ，
那么四边形的外角和就是4X 180°-360°= 360°
初 3. 下列哪些角是多边形的外角？
试
P
AF 1
牛
4 2
3
刀
H5
E
B6
G
8
7
9C
D
M 10
12 11
NQ
总结规律 整体思路：1.先求3
E
---推理法 个外角+3个内角的和；
A
2.再减去3个内角的和
三
角
形 的 外
B CD
F
角 和
容易看出，3个外角+3个内角=3个平角 而3个内角的和是180 ° ，
可以得到同样的结果吗？
n边形外角和= n个平角-n边形内角和 1 =n×180 °-(n-2) × 180° B
=360 °
2
结论：
C
n边形的外角和等于360° 3D
A
n F
45 E
通过这节课的学习你有哪 些收获？
n边形内角和=(n－2) ·180° n边形外角和=360°
1 3 5 7 720 360 360
请你完成下面的这个表格：
边数
3
4
5
6
…
n
内外角 3×180° 4×180° 5×180° 6×180° … n×180° 总和 =540 ° =720 ° =900 ° =1080 °
内角和 180° 360 ° 540 ° 720 ° … (n-2)×180°
5边形外角和 =5个平角 -5边形内角和 1 A
B
=5×180°-(5-2) × 180°
6
5
=360 °
2
E
C 3
结论：五边形的外角和等于360°
4 D
总结规律
六边形，n边形的外角和吗？
六边形的外角和就是6X 180°-720°= 360° ……
n边形的外角和就是nX 180°- (n-2)X 180°
30º
30º
30º
●
A
小试牛刀，相信你能行!
1.十边形的内角和是_1_4_40_0 ，外角和是_3_6_0_0 . 2.如果一个多边形的每个外角都等60°， 则这个多边形的边数是__6___.
再接再励，祝你成功!
3.一个多边形每个外角都等于与其相邻的 内角，这个多边形是（ A ） .
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 4.如果一个正多边形的每个内角都等于 1200，那么这个多边形是（ C ）. A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
360 °
任意多边形的外角和为 360 ° 。
例题赏析:
［例1］一个多边形的内角和等于它 的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 (n－2)·180°,外角和等于360°， 所以：(n－2)·180=3×360 解得：n=8
答:这个多边形是八边形.
中考链接：
如图,小亮从A点出发,沿直线前进10米后 向左转30 °,再沿直线前进10米,有向左转 30 °……，照这样走下去，他第一次回到出 发地A点时，一共走了_1_2_0_米 。
则与它们相邻的内角分别为（C ）
A. 80˚ 120˚ 160 ˚
B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k， 根据三角形的外角和等于360 ˚ ，有 2k+3k+4k= 360 ˚ ，可解得k=40 ˚,三个外角 分别为80˚ 120˚ 160 ˚ ，则相邻的内角分
1.
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
5、有一个多边形的内角和是它的外角和的3 倍，那么该多边形的边数是____________.
1.
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 1、一个多边形的每个内角都比邻外角的3倍 还多20度，求这个多边形的边数。
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 2、如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且小于45度，那么这个多边形的边数最少是 多少？