几何新定义现场学习题

18几何新定义现场学习题

一．解答题（共14小题）

1．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x 轴，y 轴平行或重合，则称该菱形为点P ，Q 的“相关菱形”．图1为点P ，Q 的“相关菱形”的一个示意图．

已知点A 的坐标为(1,4)，点B 的坐标为(,0)b ，

（1）若3b =，则(1,0)R -，(5,4)S ，(6,4)T 中能够成为点A ，B 的

“相关菱形”顶点的是 ； （2）若点A ，B 的“相关菱形”为正方形，求b 的值；

（3）B 的半径为2，点C 的坐标为(2,4)．若B 上存在点M ，在线段AC 上存在点N ，使点M ，N 的“相关菱形”为正方形，请直接写出b 的取值范围．

2．在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：

点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线

:(0)l kx b k +≠满足m kx b +且n kx b +，则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”．

如图1，直线:4l y x =--是函数6(0)y x x

=<的图象与正方形OABC 的一条“隔离直线”． （1）在直线12y x =-，231y x =+，33y x =-+中，是图1函数6(0)y x x

=<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的为 ；

请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式： ；

（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(31)，O 的半径为2．是否存在EDF ∆与O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；

（3）正方形1111A B C D 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的右侧，点(1,)M t 是此正方形的

中心．若存在直线2y x b =+是函数223(04)y x x x =--的图象与正方形1111A B C D 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围．

3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 与点Q 不重合，以点P 为圆心作经过Q 的圆，则称该圆

为点P 、Q 的“相关圆”

（1）已知点P 的坐标为(2,0)

①若点Q 的坐标为(0,1)，求点P 、Q 的“相关圆”的面积；

②若点Q 的坐标为(3,)n ，且点P 、Q 5，求n 的值；

（2）已知ABC ∆为等边三角形，点A 和点B 的坐标分别为(3-0)、(30)，点C 在y

轴正半轴上，若点P 、Q 的“相关圆”恰好是ABC ∆的内切圆且点Q 在直线2y x =上，求点Q 的坐标．

（3）已知ABC ∆三个顶点的坐标为：(3,0)A -、9(2B ，0)，(0,4)C ，点P 的坐标为3(0,)2

，点Q 的坐标为3(,)2

m ，若点P 、Q 的“相关圆”与ABC ∆的三边中至少一边存在公共点，直接写出m 的取值范围．

4．对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆．

（1）如图1，在ABC

A，B是x轴上一动点，当点B

∠=︒，(0,2)

∆中，AB AC

BAC

=，90

在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE x

⊥轴于点G．则直线DE的表达式是．

（2）当ABC

∆是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线．

①当点B运动到如图2的位置时，//

AC x轴，则C点的坐标是．

②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式．

③设②中这条直线分别与x，y轴交于E，F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线

段OF上运动，（不与O、F重合），且CH CE

=，则CE的取值范围是．

5．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”

（1）已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，23BC =，27AB =．求证：ABC ∆是“匀

称三角形”；

（2）在平面直角坐标系xOy 中，如果三角形的一边在x 轴上，且这边的中线恰好等于这边

的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”．如图，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G ，每个小正方形的顶点称为格点，(3,0)A ，(4,0)B ，若C 、(D C 、D 两点与O 不重合）是x 轴上的格点，且点C 在点A 的左侧．在G 内使PAC ∆与PBD ∆都是“水平匀称三角形”的点P 共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P ，如果存在请求出这个点P 的坐标，如果不存在请说明理由．

6．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内一点，给出如下定义：过点A 作AB y ⊥轴于

点B ，作正方形ABCD （点A 、B 、C 、D 顺时针排列），即称正方形ABCD 为以A 为圆心，OA 为半径的A 的“友好正方形”．

（1）如图1，若点A 的坐标为(1,1)，则A 的半径为 ．

（2）如图2，点A 在双曲线1(0)y x x

=>上，它的横坐标是2，正方形ABCD 是A 的“友好正方形”，试判断点C 与A 的位置关系，并说明理由．

（3）如图3，若点A 是直线2y x =-+上一动点，正方形ABCD 为A 的“友好正方形”，

且正方形ABCD 在A 的内部时，请直接写出点A 的横坐标m 的取值范围．

7．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一

个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点A ，B ，C ，D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．