电网络 - 第一章网络理论基础(3)

det(BC)＝ 结论： 设图G是连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数 det(AAT ) 。 目为 即 树的数目 det(AAT )
全部非零大子式 2 2 （ A 的 非零大子式） ( 1 )
所有大子式
B与C 的对应大子式的乘积
②
1
①
2
5 4
④ ③
3 6
支 节 1 A= 2 3
{1，5，3，6} {2，3，6}
6
{1，2，6}
{3，4，5}
§ 1-9 图的矩阵表示及其性质
有向图拓扑性质的描述 ：
（1）关联矩阵(Incidence Matrix) （2）回路矩阵(Loop Matrix)
（3）割集矩阵(Cutset Matrix) （4）连通图的主要关联矩阵的关系
(1)关联矩阵A
•元件的图
i1 i2
1 2

1
2

3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图

1
2
双口元件的图
•网络的图
网络拓扑 i1
连接性质 抽象
i1 i = 0
i1
i2 +
-
i3
i2
i3
支路 电路图 无 向 图
i2
i3 抽象图
抽象
抽象
L uS R1 R2 C 抽象
有 向 图
(1)图的基本概念(名词和定义)
1 2 3 7 5 6 8 4
2
3
1
7
2 8
5 9
5 回路
不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： 1)连通； •余树或补树：G中对应树T的余 2)包含G的所有节点； 子图称为余树或补树(Cotree). 3)不包含回路。
4 1 5 2 3 6 5 1
4 3 2 6 5 1
②
1
①
2 5 4 3
④ ③
2 5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 } 1
①
②
③
3
④
6
②
②
②
1
①
2 5 4
③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
3
④
6 Q2: { 2 , 3 , 6 }
②
6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
Q4: { 1 , 5 , 2 }
②
•单树支割集（基本割集） 1
:: 关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，det A0为0、1或－1
幺模矩阵(Unimodular Matrix) 一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均 为＋1、－1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵 .
有关 At 的定理
对于n个节点的连通图G，G的关联矩阵A 的一个(n－1)阶子方阵非奇异的充分必要条件 是此子方阵的列对应图G的一个树的树支 。
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6 Q2: { 3 , 5 , 4}
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集
独立割集
单树支割集
1
独立割集
3
2 {1，2，3，4} 1
2 3
4
割集 三个分离部分
4
4 保留4支路，图不连通的。
②
1
①
2
5 4
④ ③
矩阵形式KVL
A un u
T
3 6
un1 un 2 1 1 0 u u 0 1 1 n3 u n2 n1 un 3 0 0 1 un 2 u n1 0 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 un 3 1 0 1
设④为参考节点
称A为（降阶）关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质
(降阶)关联矩阵A 若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作 参考点)，剩下的(n－1)×b矩阵足以表征有向图中支 路与节点的关联关系，并且(n－1)行是线性无关的。 这种(n－1)×b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵， 简称关联矩阵 。
5 0 1 0 -1
6 1 0 -1 0
支 节 1 Aa= 2 3 4
1 1 -1 0 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1 0 -1 1 -1 0
支 节 1 A= 2 3
1 1 -1 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1
{1，2，3，4} 割集
②
基本回路
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1
①
2
5 4
③
{1，2，3，4} {1，4，5}
3
④
6
{1，2，6}
•基本回路和基本割集关系
对同一个树 1）由某个树支bt (b4)确定的基本割集应包含那些连
支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树 支bt (b4) 。
§1-8 网络图论的基本知识
1 网络(电路)的图（线图Graph） 主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集 （P43-P47） 众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为 元件约束，一为结构约束。
结构约束是电路的连接结构，对电网络中的电压和电 流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。
• 节点支路关联矩阵Aa：全阶点关联矩阵（增广关联矩阵） 行：节；列：支，流出为正，流入为正，无关为零。 •任意去掉一行剩下的线性无关，去掉的节就做参考点节。称为 降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独立的n-1 个KCL方程），A的秩为（N-1）Rank（Aa）=Rank（A）=n-1 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 关联矩阵
u1 u2 u3 u4 u5 u6
（2） 基本回路矩阵B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
４ ３ ２ 1 ６ ５
B = { b ij} lb
基本回路数 支路数 约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。 1 支路j与回路i关联，方向一致 -1 支路j 与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
连通图
图 不连通图
1） 图
连通图
G={支路，节点}
如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。 铰链图 由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把 不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个 节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短 路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称 为铰链图(Hinged Graph)。
连支电压
u4 ut u5 u6
树支电压
ul = - Btut
用树支电压表示连支电压
矩阵形式的KCL
４ ３ ５
BT il = i
２
1
６
i4 i i 1 2 1 1 0 i i i i5 1 1 1 1 2 3 i1 i6 i i 2 3 0 1 1 i 2 i1 i1 1 0 0 i 3 i2 0 1 0 i2 i i 3 0 1 3 0
4）有向图
(2)路径（简称路）：从图的某一个节点出发，沿着一些支路 连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的 一条路径。一条支路本身也是一条路径。一般出发的节 点称为始节点，到达的节点称为终节点。支路和节点只 过一次。 (3) 回路： 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 1)连通； 2)每个节点关联支路数恰好为2。
既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。 因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代 替原来的支路，而得到的一个由节点和支路组成的 图，称为电路的图。
图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 是节点和支路的一个集合 :: 未赋以方向的图称为无向图。 只有部分支路赋以方向的图称为混合图。 所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的 方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
B B 1 用连支电流表示树支电流
7 单连支回路 单连支回路
（4） 割集
• 与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切 割的支路集合。是把一个连通图恰好分成两部分的最少 支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分； 2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
bij=
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
４ ３ ２ 1 ６
５
支 回 4 5 6 1 1 -1 0 B = 2 1 -1 1 3 0 1 -1 Bt = [ Bt 1 ]
1 2 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Bl
设
[u] [u4 u5 u6 u1 u2 u3 ]T
:: 一个树的关联矩阵At 是非奇异的，且 det At 1
::大子矩阵(Major Submatrix) 一个秩为n的n×m矩阵的大子矩阵定义为 该矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。 :: At为大子矩阵。
树的数目的计算方法
::比内—柯西(Binet-Cauchy)定理 设矩阵B为m×n阶矩阵，C是n×m阶矩阵，且 m＜n，则
Aa={aij}n b
节点数 支路数 有向支路 j 背离 i 节点 有向支路 j 指向 i 节点 i节点与 j 支路无关
aij
aij = 1 aij= -1 aij =0
②
1
①
2
5 4
④ ③
3 6
支 1 节 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1
4 -1 0 0 1
②
1
①
2
5
4
④
③
Ai =
1 0 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1
3 6
i1 i4 i6 0 i i i 1 2 5 i 2 i 3 i6
矩阵形式的KCL
i1 i2 i3 i4 i5 i6
Ai= 0
②
基本回路 2
③
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，1，4，5}
5
4
3
④
6
{1，2，6}
2） 由某个连支b3确定的单连支回路应包含那些树支，每个 这种树支所构成的基本割集中含有b3。 基本割集 基本回路 ② 1
①
2 5 4 3
④ ③
{1，2，3，4} {1，4，5}
1 1 -1 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1
设:
i1 i 支路电流 2 i3 i i4 i5 i6
u1 支路电压 u2 节点电压 un 1 u3 u un un 2 u4 un 3 u5 u6
+
-
抽象 不连通图
+ ① １ ②
抽象
连通图
不含自环
允许孤立节点存在
2）子图
如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分， 则称G1为G 的子图(Subgraph)。
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。 3） 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。
ut ul
矩阵形式的KVL
[i ] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]
T
Bu=0
矩阵形式的KVL的另一种形式
B u = 0 可写成
ut [B t 1 ] 0 ul
Bt ut + ul = 0
u1 ul u2 u3
4 3 2 6
16个 树不唯一
对于一个选定的树
树支(Tree Branch or Twig) ：属于树的支路
连支(Chord or Link) ：属于G而不属于T的支路
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
单连支回路（基本回路）
4 1 2 3 5 6 树支数 4 连支数 3 独立回路 独立回路 1 5 4