含参不等式讲义

。
当a>0时，解集为
当a<0时，解集为
。
由以上几例可以看出，求解含参数的不等式（组）问题，与最简单的不等式的解法密切相关，也是
分类讨论的出发点，若能紧紧抓住基础知识，将复杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，
快速解题。
例2 解关于x的不等式
。
错解：
当
时，解得
当
时，解得
。 。 。
含参数的不等式解法归类解析
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剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去
掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑
0≤a<4和a≥4两种情况。
三、含参数的分式不等式的讨论方法
论。
例3 已知
，解不等式
。
分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨
解：原不等式化为
①
策略一：分式不等式的最基本形式是 用移项、通分转化为最基本形式。
，对于任意一个分式不等式，应当首先
（1）当a=0时，原不等式为
。
在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。
解：（1）当a=0时，原不等式的解集为
。
（2）当a>0时，方程
，△=4－4a。
①若△>0，即0时，方程
的两个解为
，
，
。
所以原不等式的解集为
。
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为
。
③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。
④当a<0时，一定有△>0，方程
两个解为
，
。
，且
原不等式的解集为
。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次 不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨
论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不 知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含 有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大 小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法
（2）当a≠0时，原不等式化为
。②
对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以 一个负数，不等式的方向要改变。
当a>0时，原不等式等价于
由于
，可解得
。 。也可先确定两根
，然后直接写出解集。
含参数的不等式解法归类解析
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当a<0时，
。
由
。
综上，当a=0时原不等式的解集为
含参数的不等式解法归类解析
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含参数的不等式解法归类解析
求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类 考试中的重点和难点。
分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。
一、含参数的一元二次不等式的讨论策略
例1 解关于x的不等式
。
Байду номын сангаас
分析：对含参数的一元二次不等式的解题思路一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨 论。需要的话还要对根的大小进行比较。其过程跟我们画二次函数的过程是一致的。
正确解法：当a<0时，得
。
当 时，得①
或②
。
由①解得
。
由②得
。
此时分类可知，若
，解得
。
若 ，此不等式无解。
综上，当a<0时，原不等式解集为R；
当
时，原不等式解集为
；
当 时，原不等式解集为
。
总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对 值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对 值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单 的绝对值不等式求解。