2018-2019学年山西省太原市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2018-2019学年山西省太原市高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列事件中，随机事件的个数为（）
（1）明年1月1日太原市下雪；
（2）明年NBA总决赛将在马刺队与湖人队之间展开；
（3）在标准大气压下时，水达到80摄氏度沸腾.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对选项逐个分析，（3）为不可能事件，（1）（2）为随机事件，满足题意。

【详解】
（1）（2）对应的事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，（3）在标准大气压下时，水达到100摄氏度沸腾，达到80摄氏度不可能沸腾，故为不可能事件，故答案为C. 【点睛】
本题考查了随机事件的判断，考查了学生对概念的掌握情况，属于基础题。

2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，
，，，，则这组数据中众数的估计值是：（）
A．100 B．101 C．102 D．103
【答案】B
【解析】由众数是最高的小矩形的底面中点横坐标，即可得到答案。

【详解】
由图可知，对应的长方形最高，故众数为它所对应矩形底面中点的横坐标，即为101，故答案为B.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，考查了众数，考查了学生对基础知识的掌握。

3．某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．随机数法B．分层抽样法C．抽签法D．系统抽样法
【答案】B
【解析】结合分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质，可选出答案。

【详解】
由于为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，这种抽样方法属于分层抽样，故选B.
【点睛】
本题考查了抽样方法的判断，考查了学生对分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质的掌握，属于基础题。

4．已知随机事件和互斥，且，，则（）
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【解析】由，可求出，进而可求出.
【详解】
因为事件和互斥，所以,
则，故.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题。

5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则，的值为（）
A．8，2 B．3，6 C．5，5 D．3，5
【答案】D
【解析】由茎叶图可得，甲的中位数是65，从而可知乙的中位数也是65，可得到，再利用二者平均数也相等，可求出的值，即可得到答案。

【详解】
由题意可知，甲的中位数为65，则乙的中位数也是65，故，
因为甲乙的平均数相等，所以，
解得.
故答案为D.
【点睛】
本题考查了茎叶图的知识，考查了中位数与平均数的求法，考查了学生对基础知识的掌握。

6．已知函数，则其零点在的大致区间为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先判断函数是定义域上的增函数，然后由，，
，可判断出零点所在区间。

【详解】
由题意可知，函数为单调递增函数，，
，，
故函数的零点的大致区间为.
【点睛】
本题考查了函数的零点，考查了函数的单调性，属于基础题。

7．下列结论正确的是（）
A．函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数
在区间内无零点
B．函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数
在区间内可能有零点，且零点个数为偶数
C．函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数
在区间内必有零点，且零点个数为奇数
D．函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数
在区间内必有零点，但是零点个数不确定
【答案】D
【解析】结合函数零点存在定理，对选项逐个分析，排除错误选项，可得到正确答案。

【详解】
对于选项A，取函数，在区间上满足，而函数在区间上有两个零点2和-2，故选项A错误；
对于选项B，取函数，在区间上满足，而函数在区间
上有1个零点0，不是偶数，故选项B错误；
对于选项C，取函数，在区间上满足，而函数在区间上有2个零点，分别为0和2，不是奇数，故选项C错误；
对于选项D，函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内必有零点，但是零点个数不确定，符合零点存在定理，故正确。

故答案为D.
【点睛】
本题考查了函数零点存在定理，考查了学生对函数零点问题的掌握情况，属于中档题。

8．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率。

【详解】
由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，
8045，3661，7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了利用随机模拟数表法求概率，考查了学生对基础知识的掌握。

9．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，
区间长度变成，据此可列出不等式。

【详解】
区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长
度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可。

【点睛】
本题考查了利用二分法求函数的零点，考查了精确度与区间长度和计算次数之间的关系，属于基础题。

10．下列说法正确的是（）
A．对任意的，必有
B．若，，对任意的，必有
C．若，，对任意的，必有
D．若，，总存在，当时，总有
【答案】D
【解析】结合指数函数，对数函数，幂函数的性质，对选项逐个分析，利用特殊值法可排除错误选项。

【详解】
对于选项A，取，则，，不满足，故A错误；
对于选项B，取，，，则，
，故选项B错误；
对于选项C，取，则，故选项C错误；
故选项D一定正确。

（选项D中，，可知和都是增函数，同时二者图象关于直线对称，而函数，也是增函数，当足够大时，指数函数的增长速度最大，对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有.）【点睛】
本题考查了指数函数，对数函数及幂函数的性质，考查了学生对函数知识的掌握，属于中档题。

11．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，
，则的值为（）
A．1 B．2 C．4 D．不确定
【答案】C
【解析】有两个不同的根，，设，可得到，，计算可得的值。

【详解】
由题意，有两个不同的根，，
设，则，，
则，，
故，
故选C.
【点睛】
本题考查了函数的零点，考查了对数函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

二、解答题
12．在边长分别为3，3，的三角形区域内随机确定一个点，则该点离三个顶点的距离都不小于1的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出满足题意的图形，分别求出三角形的面积和阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可求出答案。

【详解】
如下图，中,，过点作边的垂线，垂足为，则,
，则,
作出如下图的三个半径为1的扇形，则图中阴影部分的点到三个顶点的距离都不小于1，设扇形的面积为，则，
设阴影部分面积为，则，
故该点离三个顶点的距离都不小于1的概率是,
故答案为B.
【点睛】
本题考查了利用几何概型的概率公式求概率，考查了三角形面积与扇形面积的计算，属于中档题。

13．如图所示的茎叶图，是随机抽取某中学甲乙两班各10 名同学，测量他们的身高（单位：）获得的数据。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。

（2）计算甲班的样本方差。

【答案】（1）乙班（2） 57.2
【解析】（1）分别根据茎叶图求出两个班的平均身高，比较大小即可得到答案；（2）利用方差公式计算即可。

【详解】
（1）甲班的平均数，
乙班的平均数，
故乙班的平均身高较高；
（2）利用方差公式得甲班的样本方差为：
，
【点睛】
本题考查了茎叶图知识，考查了平均数与方差的求法，考查了计算能力，属于基础题。

14．在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一，第三，第四，第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.
（1）补齐图中频率分布直方图，并求这两个班参赛学生的总人数；
（2）利用频率分布直方图，估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数.
【答案】（1）补图略，100（2）平均数为 66.5分，中位数为 64.5分
【解析】（1）由频率之和等于1，可求出第二小组的频率，即可补全频率分布直方图，
进而可以求出总人数；（2）结合频率分布直方图中平均数和中位数的求法，求出即可。

【详解】
（1）第二小组的频率为，所以补全的频率分布直方图如图. 这两个班参赛学生的总人数为人.
（2）本次比赛学生成绩的平均数为:
中位数出现在第二组中，设中位数为，则，
所以估计本次比赛学生成绩的平均数为66.5分，中位数为64.5分.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的知识，考查了平均数与中位数的求法，属于基础题。

15．一袋中有3个红球，2个黑球，1个白球，6个球除颜色外其余均相同，摇匀后随机摸球，
（1）有放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率；
（2）不放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率；
【答案】（1）（2）
【解析】（1）有放回，每次抽取概率保持不变，分两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到黑球或白球，②第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的概率，然后相加即可；（2）无放回，每次抽取概率发生变化，分两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到黑球或白球，②第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的概率，然后相加即可。

【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了概率的求法，考查了相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，考查了计算能力，属于基础题。

16．说明：请同学们在（A）（B）两个小题中任选一题作答.
（A）小明计划搭乘公交车回家，经网上公交实时平台查询，得到838路与611路公交车预计到达公交站的时间均为8：30，已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过10分钟.
（1）若小明赶往公交站搭乘611 路，预计小明到达站时间在8:20到8:35，求小明比车早到的概率；
（2）求两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率.
（B）小明计划搭乘公交车回家，经网上公交实时平台查询，得到838路与611路公交
车预计到达公交站的之间均为8:30.已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过10分钟
（1）求两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率
（2）求838路与611路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过10分钟的概率。

【答案】（A）（1）（2）（B）（1）（2）
【解析】（A）（1）设公交车611路到达时间为，小明到达时间为，
小明比车早到，则，由几何概型得到概率为；（2）设611路公交车的到达时间为，838路公交车的到达时间为，两辆车相差时间
不超过5分钟，则，.
（B）（1）设838路到达公交站的时刻为8点分钟，611路到达公交站的时刻为8点
分钟，则，结合图形可得到两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率
；（2）设838路公交车实际到站时刻为8点分钟，611路公交
车实际到站时刻为8点分钟，则，结合图形可知，838路与611路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过10分钟的概率
.
【详解】
（A）（1）设公交车611路到达时间为，小明到达时间为，小明比车早到，则，由几何概型得到概率为
（2）设611路公交车的到达时间为，838路公交车的到达时间为
，两辆车相差时间不超过5分钟，则，.
（B）（1）设838路到达公交站的时刻为8点分钟，611路到达公交站的时刻为8点
分钟，则
由图可知，两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率
（2）设838路公交车实际到站时刻为8点分钟，611路公交车实际到站时刻为8点分钟，则
由图可知，838路与611路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过10分钟
的概率
【点睛】
本题考查了几何概型，考查了数形结合的数学思想，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

17．说明：请考生在（A）、（B）两个小题中任选一题作答。

（A）已知函数；
（1）求的零点；
（2）若有三个零点，求实数的取值范围.
（B）已知函数
（1）求的零点；
（2）若，有4个零点，求的取值范围.
【答案】（A）（1），（2）（B）（1），，，-1（2）
【解析】（A）（1）分和解方程即可得到答案；（2）结合函数的单调性及值域，分2种情况与讨论即可。

（B）（1）结合函数表达式，可得到或，解方程即可；（2）结合函数
与的单调性与值域，分三种情况，，讨论即可。

【详解】
（A）（1）当时，，∴，∴；当时，，∴，∴∴的零点是，.
（2）在上，单调递增，值域是，在上，单调递增，值域为，如图：
若有三个零点，
令，时，有1个解，时，有2个解，
则当，有2个解，不成立，
当时，有1个解，则，即，满足题意。

（B）（1）由得或，
当时，，或者，
当，，-1，
故的零点为，，，-1.
（2）在上，单调递增，值域是，在上，单调递增，值域为，
在上，单调递增，值域为，在上，单调递增，值域为，
令，则，
当时，只有一个解，，不成立；
当时，有2个解，，，
若时，有两解，若时，最多1个解，
即时，至多三个解，不合题意。

当时，有2个解，，，
若时，有2解，若时，有2解，
即时，有4个解，满足题意。

故.
【点睛】
本题考查了函数的单调性与值域，考查了分段函数的性质，考查函数的零点，考查了学生逻辑推理能力与计算求解能力，考查了数形结合的数学思想，属于难题。

三、填空题
18．若，，，则这三个数字中最大的是___
【答案】
【解析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。

【详解】
，，
，
故最大。

【点睛】
本题考查了不同进制间的转化，考查了学生的计算能力，属于基础题。

19．执行下图所示的程序框图，则输出的结果是______
【答案】16
【解析】运行程序，当时，不成立，输出.
【详解】
程序开始运行，，
判断成立，则，
判断成立，则，
判断成立，则，
判断成立，则，
判断不成立，则输出.
【点睛】
本题考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。

20．下表记录了某公司投入广告费与销售额的统计结果，由表可得线性回归方程为，据此方程预报当时，__.
附：参考公式：，
【答案】65.5
【解析】根据表中数据，先求出回归方程，然后将代入，可得到答案。

【详解】
由题意，，，
，
，，，故回归方程为，
当时，.
【点睛】
本题考查了回归方程的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。

21．已知函数，，且，给出下列结论：（1），（2），（3），（4），（5），
则上述正确结论的序号是____.
【答案】（2）（5）
【解析】利用函数的单调性及零点的定义可求出的范围，通过函数的对称性，可求出，从而得到答案。

【详解】
因为函数，，都是增函数，所以，都是增函数。

，，即，
，，即，
则，故（2）正确，（1）错误；
因为，所以（3）（4）都错误；
令，，则，，
由于函数，和都相交，且和关于对称，也关于
对称，
和的交点为，则，即（5）正确。

故答案为（2）（5）
【点睛】
本题考查了函数的零点知识，考查了指数函数、对数函数的性质，考查了函数图象的对称性，属于难题。