构造图形求最值

构造图形求最值

将乐县第一中学 林永俊

最值问题历来是高考热点之一。一些最值问题用代数方法计算很繁，但如果找到问题的几何背景，构造出图形，往往可以发现所求解析式的意义是某一个几何量，利用这些几何量的最值来求函数的最值常常可以做到曲中求直、方便简捷。

这里举一些例子，按图形特征归类，分述如下：

一、利用“两点之间线段最短”

例1．已知复数Z 满足arg(Z+2)=43π,求6

31++-Z i Z 的最大值。 解：满足的复数Ｚ对应点在射线x+y+2=0 (x ≤0)上，d=6

31++-Z i Z 表示Z 对应点到P 1(0,3),P 2(-6,0)两点距离之和，故当Z 在P 1P 2连线上时d 有最小值:d min =21P P =53,而这样的点是存在的，∴631++-Z i Z 的最大值为15

5531=. 例2．若0

2

2222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-++-+-+++的最小值。

解：（如图1）构造单位正方形ABCD ，设形内一点Ｐ到AB,DA 的

距离分别为a 、b ，则线段PA,PB,PC,PD 的长分别为：22b a +、

22)1(b a -+、22)1()1(b a -+-、22)1(b a +-，注意到

PA+PC ≥AC ，PB+PD ≥BD ，当且仅当P 点分别在AC 、BD 上时取等号，

所以当点Ｐ在对角线AC 、BD 交点时，PA+PB+PC+PD 最小，最小值为

22。

例3．实数x,y 满足条件x+2y-5=0，求

5242222+++-++y y x x y x 的最小值。解：如图，满足

x+2y-5=0的各点在直线l 上，式子

5242222+++-++y y x x y x =2222)1()2(++-++y x y x 表示动点（x,y ）到O （0，

0）、A(2,-1)的距离之和。找到A 点关于l 的对称点A ′(4,3),，对l 上

任一点P 都有A P PA '=，当P 点在A ′O 连线上时有最小值，A P OP PA OP '+=+有最小值为：A O '=5。

二．利用“垂直线段最短”

例4．已知3x+2y=5,，求x 2+y 2

-2x+1的最小值。 a b

A

B

P D

C 图 1 图2

解：Z= x 2+y 2-2x+1=(x-1)2+y 2表示直线l: 3x+2y=5上的点P （x,y ）到点A(1,0)距离平方，当PA 最小时Z 最小，又PA 最小值为A 向l 所引垂线段的长132

135

0213=-⨯+⨯，所以Ｚ的最小值为1341322=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛。 例5．在抛物线y 2=4x 上求一点A ，使之到

B(3,1),C(1,0)距离之和为最小。

解：注意C(1,0)到是抛物线的焦点，CA 即A 到

抛物线准线l ：x=-1的距离AM （如图3）。当A 在

由B 向l 所引垂线上时BM AB AM =+最小，此时Ａ点的坐标为)1,41(。

三．利用切线的最值 例6.已知x 2+y 2+2x-4y+3=0,求x-y 的最值。 解：x 2+y 2+2x-4y+3=0 即（x+1）2+(y-2)2=5 表示以(-

1,2)为圆心，半径为5的圆。设x-y=m ，则m 的取值范围

应使得直线l: x-y=m 与圆有公共点，当直线与圆相切时m

取最值。

将y=x-m 代入x 2+y 2+2x-4y+3=0，得:

2x 2-2(m+1)x+m 2+4m+3=0,

由Δ=4（m+3）2-4×2(m 2+4m+3)=0,得m=-1或m=3

所以x-y 的最大值为3，最小值为-1。

一般地，例6的方法可以用于x,y 满足一个二元二次方

程，求x,y 的一次表达式最值的情况。

四．利用斜率求最值 例7．已知复数Z 满足1333=+-i z ，求argz 的最大值

和最小值。

解：复数Z 对应点的轨迹为以a=i 333-对应点心圆心，

1为半径的圆。过O 引圆的两条切线，切点对应的复数z 1,z 2分

别使argz 取最大值和最小值。如图4，

argz max =

61arcsin 35+π，argz min =6

1arcsin 35-π。 例8．已知x,y 满足4x 2+y 2=4，求

2222++x y 的最值。 解：k=222

2++x y 表示椭圆4x 2+y 2=4的点P （x,y ）与点A )22,22(--连线的斜率，∵-2≤

x ≤2,-1≤y ≤1,∴PA 斜率恒正，当P 点分别位于与P 1，P 2时，k 取得最小值、最大值。 图2 图

3 图2

图4

将y=22)22(-+x k 代入4x 2+y 2=4,得（4+k 2）x 2+24k(k-

1)x+8(k-1)2-4 由Δ=0得：7k 2-16k+4=0，k 1=2，k 2=7

2 ∴2

222++x y 的最大值为2，最小值为72。 例9．求函数x x y cos 3sin 2--=的最 分析：设u= cosx, v=sinx, ∵u 2+v 2=1, ∴(u, v)是单位圆上的点，u

v --32即点（3，2）与单位圆上各点连线的斜率，以两条切线的斜率分别为最大、最小。 解：设直线y-2=k(x-3),代入x 2+y 2=1，得(1+k 2)x 2+2k(2-3k)x+(2-3k)2

-1=0, 由Δ=0,整理得：8k 2-12k+3=0,解得：k 1=

8326+,k 2=8

326- ∴函数x x y cos 3sin 2--=的最大值为8326+；最小值为8326-。 大量的代数事实都有着它的几何背景，这就给利用图形求最值提供了广阔的用武之地，只要我们善于发现数与形之间的联系，不断小结，掌握一些常见的形式，就能大幅度的提高解决这类问题的速度。 图5