第五章单相正弦交流电路
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i (t)
一一对应 2Icos(wt Ψ ) A(t)
2Ie
j(wt Ψ )
A(t)还可以写成
A(t)
2Ie ejwt
复常数
jy
A(t)包含三要素：Im (或I) 、 、w ；复常数包含：I m (或I) , 。
称
Ie
jy
为正弦量 i(t) 对应的相量，记为 即 I Ie
q
|F|为复数的模，q为幅角，q =argF。
| F | a 2 b 2 b θ arctan a
复数的其他表示形式：
或
a | F | cosq b | F | sinq
F= |F|ejq
F=|F| q
指数形式 极坐标形式
二. 复数运算 1、加减运算——直角坐标 Im 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) O F1 - F2 F2 F1
5.2.2正弦量的相量表示
对于一个复指数函数
A( t ) 2 Ie
j(ω t Ψ)
没有物理意义
2 Icos( ω t Ψ ) j 2 Isin ω ( t Ψ )
若对A(t)作取实部运算：
Re[A(t )]
2Icos(ω t Ψ ) 是一个正弦量。
有物理意义
在此运算规则下，任意正弦量，有唯一的复指数函数与其对 应；任意复指数函数，也有唯一的正弦量与其对应。即正弦 量和复指数函数是一一对应的：
Im
jI
I
q
q
2
, e
j
2
cos
j sin j 2 2
0
Re
jI
2
, e
j
2
cos( ) j sin( )j 2 2
I
q , e j cos( ) j sin( ) 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
T
0
Ri dt RI T
2 2
1. 周期量有效值(effective value)的普遍定义式
电流有效值定义为：
I
def
1 T
T
0
i 2 ( t )dt
(热效应相等)
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。)
i(t) R
、Um,Im 、 U,I
5. 1. 3 相位差
相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
用来描述同频率正弦量之间的相位关系
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i (在主值范围内取值) 两个同频率的正弦量的相位差等于它们的初相之差， 是一个与时间无关的常数。
12.47 j 0.569 12.48 2.61
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j4.226)
例2.
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
O u, i
u i
wt
u
j = ，反相：
O u, i /2 u
iw t
j = /2，正交：
i O
wt
例1 设
i1 5 cos wt 60 ，
0
(
i2 10sin wt 400 ，
问哪个电流滞后，滞后多少度?
(
)
)
解: i2 10sin wt 400 10sin 900 wt 500
I R
W1(t )
T
0
i 2(t )Rdt
I RT
2
W2=I 2RT
T
0
i 2 ( t ) Rdt
i 2 ( t )dt
(热效应相等)
1 I T
T
0
同样，可定义电压有效值：
U
def
1 T
T
0
u 2 ( t )dt
2. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
(2) 初相位(initial phase angle)y ：反映了正弦量的初始值。 (w t+y )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位或 相角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相 位角 (w t+y )=y ， 故称y 为初相。
单位：弧度或度 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 对于单个正弦量，计时起点可任意取(即初相可任意)；但 对于同一个电路中的许多相关联的正弦量，只能在取定一 个共同的计时起点后，再来确定各自的相位。 i
F1 | F1 | θ 1 | F1 | ejθ | F1 | j( θ e jθ 2 F2 | F2 | θ 2 | F2 | | F2 | e
1
θ 2) 1
| F1 | | F2 |
θ 1 θ 2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1.
547 10 25 ?
复数来表示正弦电压和电流，将三角函数运算变换为 复数运算，使正弦电流电路获得一种简便的计算方法
5.2.1
复数及其运算
代数形式
一. 复数F的表示形式： F=a+jb (j 1 为虚数单位 )
Re[F]=a，Im[F]=b, 分别称复数取实部、取虚部。 Im b F Im b F
O a Re O a Re 复数F在复平面上可以表示为从原点到 F对应的坐标 点的有向线段(向量)。由图知，复数F又可表示为 F=|F|(cosq +jsinq) 三角形式
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
5.２
基本想法：
正弦量的向量表示法
正弦量有三要素：频率、幅值、初相位。写出正弦量
的三角函数表达式或画出波形图都可以将其三要素形 象地表示出来。 以此进行正弦量的运算比较繁琐
引入复数
复数可被模、幅角唯一确定
因此，可以把正弦量与复数联系起来，采用数学中的
jy
I
： 这里也可称 电流相量
Iy
显然，正弦量和相量是一一对应的：
i (t)
10 cos wt 50
0
(
(
)
)
(
)
j 60 ( 50 ) 110 0
0 0 0
所以i2滞后i1 110° 。
例2
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 5 4 2 3 4 i2 (t ) 10cos(100 t 2)
(2) i1 (t ) 10sin(100 t 300 ) i2 (t ) 10cos(100 t 150 ) (3) u1 (t ) 10cos(100 t 300 ) u 2 (t ) 10cos(200 t 450 ) (4) i1 (t ) 5 cos(100 t 30 )
+
u
_
数学式表达瞬时值电流 i(t)：
i(t)=Imcos(w t+y)
Fra Baidu bibliotek
波形： i T
O
正弦量既可以用正弦
函数，也可以用余弦
函数来表示。(本课 t 程采用余弦函数来表
y/w
示) I m, w,y 这 3个量一确定，正弦量就完全确定了。
所以，称这3个量为正弦量的三要素。
二：正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅或幅值、 最大值)Im：反映正 弦量变化幅度的大小。 通常用大写的英文字母带小写的下标m表示，如 Um表示正弦电压的振幅。
w =2f=2 /T
5. 1. 2 有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变。为了方便地衡量其 大小，工程上一般采用在一个周期内产生与之相等(热)效应的直 流量来度量。这个直流量称有效值。 物理意义：一个周期性变化的电流 i 通过线性电阻 R 在一个 周期内所产生的热量，与一个直流电流I通过同 样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等， 那么这个周期电流 i的有效值在量值上就等于这 个直流 I ，并用大写字母 I 表示 ( 有效值均用大写 字母表示)。即
0
i1 (t ) 10cos(100 t 600 )
j 600 (150 ) 450
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100 t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
i2 (t ) 3 cos(100 t 30 )
I 1 T 2 2 I cos ( wt Ψ )dt m 0 T
T
0
cos ( wt Ψ )dt
2
T
0
1 cos 2(wt Ψ ) 1 dt T 2 2
I Im
1
T
I
2 m
T
2
Im
2
0.707I m
2I
故
i(t ) I m cos(wt Ψ )
4、 共轭复数 若 F=a+jb，则复数 a - jb 称为F的共轭复数，以F*表示。 则F F*=(a+jb)(a-jb)=a2+b2， 必为实数。 5、 复数相等
若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 。则F1 、F2相等的条件是：
a1=a2， b1=b2 或 |F1|= |F2|，argF1= argF2
2I cos(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。故对于电器设备的耐压水平，应按最大值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 u,i
O
t
一般规定：| | 。
(即在主值范围内取值)
y =0 y =/2 y =-/2
(3) 角频率(angular frequency)w ： 反映正弦量变化快慢。 w =d(w t+ )/dt为相角随时间变化的速度。
相关量：频率f (frequency)和周期T (period)。 频率f ：每秒重复变化的次数。 f =1/T 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1 f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒
F1+F2
Re
加减法可用图解法(平行四边形法则)。
2、 乘除运算——极坐标为例 若 F1=|F1| q 1 ，若F2=|F2| q 2
1 2 1 2
jθ jθ F F | F | θ | F | θ | F | e | F | e 则 1 2 1 1 2 2 1 2 | F1 || F2 | ej(θ θ ) | F1 || F2 | ( θ 1 θ 2)
j >0，u 领先(超前)i，或i 落后(滞后) u (u 比 i 先到达最 大值)； u, i u i
O
wt j
从波形图上看，相 位差可取变化趋势 相同的点来反映。
j <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 比 u 先到达最 大值)。
特例：
u, i
j =0， 同相：
第5章
单相正弦交流电路
所谓正弦电流电路（Sinusoidal Current Circuit)，是指由正弦电源激励，电路中各 部分电压和电流的响应均按同频正弦规律变 化的电路。处于这种稳定状态的电路又称为
正弦稳态电路。
5.1 正弦量的基本概念
5. 1. 1 正弦量及正弦量的三要素
一：正弦量 电路中随时间按照正弦规律变化的电压或电流 ，统称为正弦量( Sinusoid) i 在选定的参考方向下，可以用
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
3、 旋转因子
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q F• ejq 相当于F逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。
几种不同q 值时的旋转因子：
一一对应 2Icos(wt Ψ ) A(t)
2Ie
j(wt Ψ )
A(t)还可以写成
A(t)
2Ie ejwt
复常数
jy
A(t)包含三要素：Im (或I) 、 、w ；复常数包含：I m (或I) , 。
称
Ie
jy
为正弦量 i(t) 对应的相量，记为 即 I Ie
q
|F|为复数的模，q为幅角，q =argF。
| F | a 2 b 2 b θ arctan a
复数的其他表示形式：
或
a | F | cosq b | F | sinq
F= |F|ejq
F=|F| q
指数形式 极坐标形式
二. 复数运算 1、加减运算——直角坐标 Im 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) O F1 - F2 F2 F1
5.2.2正弦量的相量表示
对于一个复指数函数
A( t ) 2 Ie
j(ω t Ψ)
没有物理意义
2 Icos( ω t Ψ ) j 2 Isin ω ( t Ψ )
若对A(t)作取实部运算：
Re[A(t )]
2Icos(ω t Ψ ) 是一个正弦量。
有物理意义
在此运算规则下，任意正弦量，有唯一的复指数函数与其对 应；任意复指数函数，也有唯一的正弦量与其对应。即正弦 量和复指数函数是一一对应的：
Im
jI
I
q
q
2
, e
j
2
cos
j sin j 2 2
0
Re
jI
2
, e
j
2
cos( ) j sin( )j 2 2
I
q , e j cos( ) j sin( ) 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
T
0
Ri dt RI T
2 2
1. 周期量有效值(effective value)的普遍定义式
电流有效值定义为：
I
def
1 T
T
0
i 2 ( t )dt
(热效应相等)
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。)
i(t) R
、Um,Im 、 U,I
5. 1. 3 相位差
相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
用来描述同频率正弦量之间的相位关系
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i (在主值范围内取值) 两个同频率的正弦量的相位差等于它们的初相之差， 是一个与时间无关的常数。
12.47 j 0.569 12.48 2.61
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j4.226)
例2.
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
O u, i
u i
wt
u
j = ，反相：
O u, i /2 u
iw t
j = /2，正交：
i O
wt
例1 设
i1 5 cos wt 60 ，
0
(
i2 10sin wt 400 ，
问哪个电流滞后，滞后多少度?
(
)
)
解: i2 10sin wt 400 10sin 900 wt 500
I R
W1(t )
T
0
i 2(t )Rdt
I RT
2
W2=I 2RT
T
0
i 2 ( t ) Rdt
i 2 ( t )dt
(热效应相等)
1 I T
T
0
同样，可定义电压有效值：
U
def
1 T
T
0
u 2 ( t )dt
2. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
(2) 初相位(initial phase angle)y ：反映了正弦量的初始值。 (w t+y )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位或 相角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相 位角 (w t+y )=y ， 故称y 为初相。
单位：弧度或度 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 对于单个正弦量，计时起点可任意取(即初相可任意)；但 对于同一个电路中的许多相关联的正弦量，只能在取定一 个共同的计时起点后，再来确定各自的相位。 i
F1 | F1 | θ 1 | F1 | ejθ | F1 | j( θ e jθ 2 F2 | F2 | θ 2 | F2 | | F2 | e
1
θ 2) 1
| F1 | | F2 |
θ 1 θ 2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1.
547 10 25 ?
复数来表示正弦电压和电流，将三角函数运算变换为 复数运算，使正弦电流电路获得一种简便的计算方法
5.2.1
复数及其运算
代数形式
一. 复数F的表示形式： F=a+jb (j 1 为虚数单位 )
Re[F]=a，Im[F]=b, 分别称复数取实部、取虚部。 Im b F Im b F
O a Re O a Re 复数F在复平面上可以表示为从原点到 F对应的坐标 点的有向线段(向量)。由图知，复数F又可表示为 F=|F|(cosq +jsinq) 三角形式
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
5.２
基本想法：
正弦量的向量表示法
正弦量有三要素：频率、幅值、初相位。写出正弦量
的三角函数表达式或画出波形图都可以将其三要素形 象地表示出来。 以此进行正弦量的运算比较繁琐
引入复数
复数可被模、幅角唯一确定
因此，可以把正弦量与复数联系起来，采用数学中的
jy
I
： 这里也可称 电流相量
Iy
显然，正弦量和相量是一一对应的：
i (t)
10 cos wt 50
0
(
(
)
)
(
)
j 60 ( 50 ) 110 0
0 0 0
所以i2滞后i1 110° 。
例2
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 5 4 2 3 4 i2 (t ) 10cos(100 t 2)
(2) i1 (t ) 10sin(100 t 300 ) i2 (t ) 10cos(100 t 150 ) (3) u1 (t ) 10cos(100 t 300 ) u 2 (t ) 10cos(200 t 450 ) (4) i1 (t ) 5 cos(100 t 30 )
+
u
_
数学式表达瞬时值电流 i(t)：
i(t)=Imcos(w t+y)
Fra Baidu bibliotek
波形： i T
O
正弦量既可以用正弦
函数，也可以用余弦
函数来表示。(本课 t 程采用余弦函数来表
y/w
示) I m, w,y 这 3个量一确定，正弦量就完全确定了。
所以，称这3个量为正弦量的三要素。
二：正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅或幅值、 最大值)Im：反映正 弦量变化幅度的大小。 通常用大写的英文字母带小写的下标m表示，如 Um表示正弦电压的振幅。
w =2f=2 /T
5. 1. 2 有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变。为了方便地衡量其 大小，工程上一般采用在一个周期内产生与之相等(热)效应的直 流量来度量。这个直流量称有效值。 物理意义：一个周期性变化的电流 i 通过线性电阻 R 在一个 周期内所产生的热量，与一个直流电流I通过同 样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等， 那么这个周期电流 i的有效值在量值上就等于这 个直流 I ，并用大写字母 I 表示 ( 有效值均用大写 字母表示)。即
0
i1 (t ) 10cos(100 t 600 )
j 600 (150 ) 450
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100 t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
i2 (t ) 3 cos(100 t 30 )
I 1 T 2 2 I cos ( wt Ψ )dt m 0 T
T
0
cos ( wt Ψ )dt
2
T
0
1 cos 2(wt Ψ ) 1 dt T 2 2
I Im
1
T
I
2 m
T
2
Im
2
0.707I m
2I
故
i(t ) I m cos(wt Ψ )
4、 共轭复数 若 F=a+jb，则复数 a - jb 称为F的共轭复数，以F*表示。 则F F*=(a+jb)(a-jb)=a2+b2， 必为实数。 5、 复数相等
若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 。则F1 、F2相等的条件是：
a1=a2， b1=b2 或 |F1|= |F2|，argF1= argF2
2I cos(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。故对于电器设备的耐压水平，应按最大值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 u,i
O
t
一般规定：| | 。
(即在主值范围内取值)
y =0 y =/2 y =-/2
(3) 角频率(angular frequency)w ： 反映正弦量变化快慢。 w =d(w t+ )/dt为相角随时间变化的速度。
相关量：频率f (frequency)和周期T (period)。 频率f ：每秒重复变化的次数。 f =1/T 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1 f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒
F1+F2
Re
加减法可用图解法(平行四边形法则)。
2、 乘除运算——极坐标为例 若 F1=|F1| q 1 ，若F2=|F2| q 2
1 2 1 2
jθ jθ F F | F | θ | F | θ | F | e | F | e 则 1 2 1 1 2 2 1 2 | F1 || F2 | ej(θ θ ) | F1 || F2 | ( θ 1 θ 2)
j >0，u 领先(超前)i，或i 落后(滞后) u (u 比 i 先到达最 大值)； u, i u i
O
wt j
从波形图上看，相 位差可取变化趋势 相同的点来反映。
j <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 比 u 先到达最 大值)。
特例：
u, i
j =0， 同相：
第5章
单相正弦交流电路
所谓正弦电流电路（Sinusoidal Current Circuit)，是指由正弦电源激励，电路中各 部分电压和电流的响应均按同频正弦规律变 化的电路。处于这种稳定状态的电路又称为
正弦稳态电路。
5.1 正弦量的基本概念
5. 1. 1 正弦量及正弦量的三要素
一：正弦量 电路中随时间按照正弦规律变化的电压或电流 ，统称为正弦量( Sinusoid) i 在选定的参考方向下，可以用
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
3、 旋转因子
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q F• ejq 相当于F逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。
几种不同q 值时的旋转因子：