导数的几何解释

上述两实际问题意义不同，但数学结构完全相同。
(2)
二、导数的定义
Def :
设y f ( x)在x0的某邻域有定义，对于 自变量的任一
改变量 x，相应函数的改变量为 y f ( x0 x) ห้องสมุดไป่ตู้ ( x0 ） .
若极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
M

0
x0
x
.
导数的概念
一、导数的引进
1. 速度问题——物理模型
自由落体运动 s (t ) 1 2 gt 2
落体在任何时刻 t0的瞬时速度：
v lim v lim
t t0 t t0
s(t ) s(t0 ) (记t t t0 ) t t0
lim
s (t0 t ) s (t0 ) s lim gt 0 t 0 t t 0 t
(1)
2. 切线问题——几何模型
求曲线 L : y f ( x)上一点 P( x0 , y0 ) ( y0 f ( x0 ))的切线 .
取点 Q( x0 x, y0 y), 其中 x 0,
T y
y f ( x0 x) f ( x0 ).
y0 y
Q
L

x
三、导数的几何意义
f ( x )表示曲线在点 x0处切线的斜率 .
. . y = f (x) y
考虑 f ( x )
y f ( x0 x) f ( x0 )
y K MN x
令 x 0
f ( x0 ) l i m
= tan
y x 0 x
f ( x0 )
(4)
若极限 (3)不存在，称 y f ( x)在点x0不可导 .
三、导数的几何意义
考虑 f ( x )
y f ( x0 x) f ( x0 )
斜率是 y x
.
N
.
y = f (x)
y K MN x
y y
令 x 0
M
f ( x0 )
x
0
x0
x0 x
(3)
存在，则称 y f ( x)在点x0可导（存在导数），此 极限
dy 称为f ( x)在点x0的导数（或微商） , 记为 f ' ( x0 ) 或 | x x0 dx
或y ' , 或 df , 即： dx
f ( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) . x

y0
o
P
x0
x0 x
x
则由解析几何知，割线PQ的斜率为:
y2 y1 y f ( x0 x) f ( x0 ) tan . x2 x1 x x
L 点P)，设割线 PQ的极限位置为 令x 0 (点Q 沿
切线PT. 切线PT的斜率为
f ( x0 x) f ( x0 ) y tan lim tan lim lim x 0 x 0 x x 0 x