初中数学变量与函数精讲及答案
(八年级数学下第十周)变量与函数答案版
八下第十周 变量与函数谜题：谜题：牛打架 （打一数学名词） 【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【典型例题】 类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）22320,1,,||,||x y x y y x y x x y -=-====A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个 【答案】C ；【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足 函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 有两个值 ±3和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值 ±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要 求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其 余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”. 举一反三： 【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ）A.x y =B.xx y 2=C.2)(x y = D.33x y =【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应． 类型二、函数解析式3、求出下列函数中自变量x 的取值范围 （1）．52+-=x x y（2）．423x y x =-（3）．23y x =+ （4）．21y x =- （5）．312y x=-（6）．32x y x +=+ 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423xy x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32； （3）．23y x =+，要使函数有意义，需2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．21y x =-，要使函数有意义，需2x －1＞0，即12x >； （5）．312y x =-，x 为任何实数，函数都有意义； （6）．32x y x +=+，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10，所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APCS AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10． 举一反三： 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0， 所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值 5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4 【思路点拨】把13x =代入关系式可求得函数值.【答案】C ； 【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型四、函数的图象6、（2015春•织金县）星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？ （3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？ （4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？【答案与解析】观察图象可知：（1）玲玲到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时； （3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9～10时，速度为10÷（10﹣9）=10（千米/时）；10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）=15（千米/小时）；10.5～11时，速度为0； 11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）=12.5（千米/小时）；12～13时，速度为0；13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）=15（千米/小时）；可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时． 两段时间的速度都是15千米/小时．速度为：30÷（15﹣13）=15（千米/小时）；（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）=10（千米/小时）． 举一反三：【变式】（2015•巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t （分钟）之间关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ； 【巩固练习】 一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）2. 下列关于圆的面积S 与半径R 之间的关系式S 2R π=中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）A ．S ，2R 是变量，π是常量 B ．S ，π，R 是变量，2是常量C ．S ，R 是变量，π是常量D ．S ，R 是变量，π和2是常量 3.（2015•内江）函数y=+中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x≤2B ．x≤2且x≠1C ．x ＜2且x≠1D ．x≠14．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ） A ．(9)(09)S x x x =-<< B ．(9)(09)S x x x =+<≤ C ．(18)(09)S x x x =-<≤ D ．(18)(09)S x x x =+<<5．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误．．的是（ ）A ．修车时间为15分钟B ．学校离家的距离为2000米C ．到达学校时共用时间20分钟D ．自行车发生故障时离家距离为1000米二.填空题7. 若球体体积为V ，半径为R ，则334R V π=．其中变量是_______、•_______，常量是________． 8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，•图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （n ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按图的排列规律推断S 与n 之间的关系可以用式子___________来表示．9.（2015•大庆）某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系应表示为 ．10．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次________米赛跑；②甲、乙两人先到达终点的是_________；•③在这次赛跑中甲的速度为________，乙的速度为________．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C ；【解析】π是圆周率，是一个常量. 3. 【答案】B ；【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x ﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B ． 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<.5. 【答案】A ；【解析】10分钟到15分钟的时间，距离没有变化，所以修车时间是5分钟.二.填空题7. 【答案】R 、V ；43π；8. 【答案】44S n =-；9. 【答案】y=200000（x+1）2． 10.【答案】①100；②甲；③253米/秒；8米/秒； 【解析】由图象可以看出，甲12秒钟跑完100米，乙12.5秒钟跑完100米.。
《19.1 变量与函数》课件(含习题)
讲授新课
一 函数的相关概念
情景一
想一想，如果你坐 在摩天轮上，随着 时间的变化，你离 开地面的高度是如 何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据左图填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 3 10 37 45 37 11 … (2)对于给定的时间t ，相 应的高度h能确定吗？
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该 量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
二 确定两个变量之间的关系
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm， 每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量 1 2 3 4 5 (kg)
弹簧长度 (cm)
10.5 11
11.5 12 12.5
4x 8 0 x 2
(3) y x 3
x 3 0 x 3
(4) y x 1 1 1 x
x 1且 x 1
x 1 0
1 x 0
即 xx
1 1
... -1 0 1
5.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公 里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里 加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数）， 相对应的收费为y（元）.
4.收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和 千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率 1000 600 500 300 200 f(khz)
你能发现每一组l，f 的值之间的关系吗？并指出变量与 常量.
八年级数学下册17.1变量与函数典例解析素材华东师大版(new)
典例解析：变量与函数例1 下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1)矩形的面积一定，它的长与宽； （2)任意三角形的高与底； （3）矩形的周长与面积； （4）正方形的周长与面积．解：（1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值,就有惟一确定的y 的值与宽对应，因此这是一个函数关系．（2）当一个三角形的底取一个值时,它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．（3)当矩形的周长是一个确定的值时,由于长、度不能确定，它的面积也不确定,这也不是函数关系．（4)当正方形的周长确定了，它的边长也确定，因此面积也确定，这是函数关系．例2 指出下列函数中的自变量、函数和常量：（1)y=—2x; (2）y=3x-61；(3）y=3x 2—7x+2； （4）p=q51． 分析：本题所给的四个函数都是用解析法表示的，可根据定义说出自变量、函数和常量．解：（1）自变量是x ，y 是x 的函数，常量是－2;（2）自变量是x,y 是x 的函数，常量是3和—61;（3）自变量是x ,y 是x 的函数,常量是3、－7和2；（4）自变量是q ，p 是q 的函数,常量是51．例3 下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是，说明出理由．1 2 3 4 536912151234571181215123212510-5-21234599999（2）y是x的函数；（3）y不是x的函数,因为对于变量x=1，变量y 有2与－2两个值与它对应；（4）y 是x 的函数点评：对于x 的每一个值,y都有唯一的值与它对应．第四个是常数函数它符合函数的定义．例4 判断下列关系是不是函数关系？（1）长方形的宽一定时，其长与面积;（2）等腰三角形的底边长与面积;(3）某人的年龄与身高；（4)关系式｜y|=x 中的y 与x ．分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中,是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应．解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系．（2)因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应,所以底边长与面积不是函数关系．(3)人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系．(4)x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以|y|=x 不是函数关系．点评 年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系．例5 写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值： （1）5312+=x y ;（2）1035-=t y ;（3）1-+=x x y ．解：（1)35-≠x ．当时，1112=y ; （2）t 为任意实数．当时,107=y ； （3）1≥x ．当2=x 时,3=y ．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
人教版八年级数学下册19.1.1《变量与函数(1) 》习题含答案
19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时《常量和变量》习题含答案1、一种练习本每本0.5元，x本共付y元钱，那么0.5和y分别是（）A、常量、常量B、常量、变量C、变量、常量D、变量、变量2、在圆的周长公式C=2πr中，下列说法正确的是（）A、π，r是变量，2是常量B、 C是变量，2，π，r是常量C、 r是变量，2，π，C是常量D、 C，r是变量，2,π是常量3、一长方体的宽为b(定值），长为x(x>b),高为h,体积为V，则V=bxh，其中变量是（）A、xB、h、xC、V 、xD、x、h、V均为变量4、以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、常量是4.9，变量是t,hB、常量是v0，2，变量是t,hC、常量是-4.9，v0，变量是t,h5、三角形的一边长为6cm,三角形的面积S（cm2）与这边上的高h(cm)之间的关系式为 .6、表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（m）落下时，弹跳高度y（m）与小球高度x（m）的关系，据表写出y与x的关系式是 ,其中变量为，常量为 .7、一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离S（米），由下面式子S=10t+2t2，假如滑到坡底的时间为8秒，斜坡长为米，其中式子中的变量是，常量是.8、如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N 点重合．试求出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．第8题图x 50 80 100 150y 25 40 50 759、由图形列表如下，设图形的周长为L，梯形的个数为n，回答问题：梯形个数n 1 2 3 4图形的周长L 5 9 13 17（1）写出L与n的关系式.（2）在这个变化过程中，变量、常量各是什么？（3）有11个梯形时，图形的周长是多少？10、在一个半径为20cm的圆上，从中挖去一个圆，当挖去圆半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化，若挖去的圆的半径为x(cm),圆环的面积y(cm2).（1）在这个变化过程中，变量、常量各是什么？（2）写出y与x的关系式;（3）当挖去的圆的半径由1cm变化到10cm时，圆环的面积将发生怎样的变化？参考答案1、B2、D3、D4、C5、S=3h6、y=0.5x,变量是x,y,常量是0.57、208，变量是s,t,常量是10,28、由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝xcm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝12·AM·h＝12AM2＝12x2，则y＝12x2，0≤x≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm.9、（1）L=4n+1（2）变量是L，n,常量是4,1(3)4510、(1)变量是：挖去的圆的半径x,圆的面积y;(2)y=400π-πx2(3)圆环的面积将由399πcm2减小到300πcm2.。
第11讲 变量与函数(解析版)-八年级数学
第11讲变量与函数1.理解变量与常量概念，并会辨别自变量与因变量2.掌握自变量的取值范围运算方法3.理解函数定义，并能根据生活实际列出相关的函数解析式4.通过函数图像的学习，培养学生读取图像信息能力，学会归纳总结。
知识点1：变量与常量定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是因变量，y 是x 的函数．如果当x=a 时，y=b ，b 那么a 叫做当自变量x 的值为a 时的函数值．知识点2：自变量取值范围初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。
知识点3：函数定义像r 2,40,40s Π===s x y t 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式知识点4：函数的图像考点一：变量与常量例1．（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（）A．a是常量时，y是变量B．a是变量时，y是常量C．a是变量时，y也是变量D．无论a是常量还是变量，y都是变量【答案】C【解答】解：根据题意，可知a是变量时，y也是变量，故选：C．【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（）A．变量是V，R；常量是，πB．变量是R，π；常量是C．变量是V，R，π；常量是D．变量是V，R3；常量是π【答案】A【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量是V，R；常量是，π故选：A．【变式1-2】（2023•惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t 表示规定的时间，下列说法正确的是（）A．数100和n，t都是常量B．数100和n都是变量C．n和t都是变量D．数100和t都是变量【答案】C【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．故选：C．【变式1-3】（2022春•清镇市校级期中）树的高度h随时间t的变化而变化，下列说法正确的是（）A．h，t都是常量B．t是自变量，h是因变量C．h，t都是自变量D．h是自变量，t是因变量【解答】解：因为树的高度h随时间t的变化而变化，所以t是自变量，h是因变量；故选：B．考点二：函数的定义例2.（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，∴只有选项C不符合题意．故选：C．【变式2-1】（2023春•原阳县月考）下列等式中，y不是x的函数的是（）A．3x﹣2y＝0B．x2﹣y2＝1C．D．y＝|x|【答案】B【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，∴选项By不是x的函数．故选：B．【变式2-2】（2023春•偃师市校级月考）下列图形中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x 的函数，故A不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故BC 、对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以能表示y 是x 的函数，故C 符合题意；D 、对于自变量x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y 是x 的函数，故D 不符合题意；故选：C ．【变式2-3】（2022秋•余姚市校级期末）如图图象中，表示y 是x 的函数的个数有（）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：属于函数的有：∴y 是x 的函数的个数有3个，故C 正确．故选：C．考点三：函数的关系式例3.（2022秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：摄氏温度值x /℃1020304050华氏温度值y/℉32506886104122根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（）A．B．y＝x+32C．y ＝x+40D．【答案】A【解答】解：根据表中的对应关系，可知y＝x+32＝，∴y＝，故选：A．【变式3-1】（2022秋•肇源县期末）一个长方形的周长为30cm，长为xcm ，宽为ycm，则用x表示y的关系式为（）A．y＝30﹣x B．y＝C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x【答案】D【解答】解：∵长方形的周长为30cm，长为xcm，宽为ycm，∴2（x+y）＝30，∴y＝15﹣x，故选：D．【变式3-2】（2022秋•沈河区期末）小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：行驶路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列说法不正确的是（）A．该车的油箱容量为45LB．该车每行驶100km耗油8LC．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8xD．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油【答案】C【解答】解：∵当x＝0时y＝45，∴该车的油箱容量为45L，∴选项A不符合题意；∵由表格可得该车每行驶100km耗油8L，∴选项B不符合题意；∵由题意可得油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣0.08x，∴选项C符合题意；∵由45﹣0.08×500＝5（L），即当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油，∴选项D不符合题意；故选：C．考点四：函数的自变量取值范围例4.（2023春•鹿城区校级月考）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＞2C．x≥2D．x＞0【答案】C【解答】解：由题意，得x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2，∴函数自变量x的取值范围是x≥2．故选：C．【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）函数y＝，自变量x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x取任意实数D．x≠0的一切实数【答案】D【解答】解：∵函数为反比例函数，∴自变量x的取值范围是：x≠0的一切实数，故选：D．【变式4-2】（2023•惠山区校级模拟）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≤2B．x＜2C．x＞2D．x≥2【答案】D【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：D．【变式4-3】（2022秋•贵池区期末）函数中，自变量x的取值范围是（）A．B．x≠﹣3C．且x≠﹣3D．且x≠﹣3【答案】C【解答】解：∵1﹣2x≥0，x+3≠0，∴且x≠﹣3，故C正确．故选：C．考点五：函数值例5.（2022秋•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8【答案】A【解答】解：∵由题意得：把x＝1，y＝2，代入y＝ax2+2bx中可得：a+2b＝2，把x＝﹣2入y＝﹣ax2+4bx中可得：y＝﹣4a﹣8b＝﹣4（a+2b）＝﹣4×2＝﹣8，故选：A．【变式5-1】（2023•奉贤区一模）已知，那么f（﹣1）的值是．【答案】﹣1【解答】解：将x＝﹣1代入，得f（﹣1）＝＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式5-2】（2022秋•隆回县期末）如图，若输入x的值为﹣5，则输出的结果为（）A．﹣6B．﹣5C．5D．6【答案】D【解答】解：当x＝﹣5时，y＝﹣x+1＝﹣（﹣5）+1＝5+1＝6．故选：D．【变式5-3】（2023•灞桥区校级自主招生）f（x）＝，求f（﹣1）＝．【答案】【解答】解：f（﹣1）＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝+1﹣1＝．故答案为：．考点六：函数的图像例6.（2022秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．根据如图回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）；（2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）；（3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）．【变式6-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x （分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（）A．小陈去时的速度为6千米/小时B．小陈在超市停留了15分钟C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路【答案】A【解答】解：∵小陈去时的路程为2千米，时间为20分钟＝小时，∴小陈去时的为＝6（千米/小时），故A选项正确，符合题意；小陈在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项错误，不符合题意；小陈去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），∵20＞10，∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项错误，不符合题意；∵函数图象表示的是距离和时间的关系，∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，不符合题意．故选：A．【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．（1）小明从家到学校的路程共米，从家出发到学校，小明共用了分钟；（2）小明修车用了多长时间？（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？【解答】解：（1）由图象可得，小明从家到学校的路程共2000米，从家出发到学校，小明共用了20分钟，（2）小明修车用了：15﹣10＝5（分钟），小明修车用了5分钟；（3）由图象可得，小明修车前的速度为：1000÷10＝100米/分钟，小明修车后的速度为：（2000﹣1000）÷（20﹣15）＝200米/分钟．【变式6-3】（2022春•织金县期中）如图是某汽车从A地去B地（行驶过程中，速度相同），再返回行驶过程中路程与时间的关系，回答下列问题：（1）A地与B地之间的距离是千米；汽车中途共休息了小时；（2）在前3小时汽车的行驶速度是多少？汽车在返回时的平均速度是多少？【解答】解：（1）由图可知：图像上纵坐标最大为60，∴A地与B地之间的距离是60千米；∵行驶过程中，速度相同，在0﹣3时行驶了40千米，则速度为千米/小时，3﹣6小时之间，路程不变，此时汽车休息了6﹣3＝3小时，从6小时开始，汽车从40千米行驶到60千米共用了＝1.5小时，∴汽车从6+1.5＝7.5小时开始休息了9﹣7.5＝1.5小时，∴汽车一共休息了3+1.5＝4.5小时；故答案为：60，4.5；（2）由（1）可得：在前3小时汽车的行驶速度是千米/小时，从9小时开始返回，12小时到达A地，∴返回时速度为：＝20（千米/小时）．考点七：动点问题的函数图像例7.（2022春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（）A．24B．18C．20D．40【答案】B【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5，∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18；故选：B．【变式7-1】（2022春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选：B．【变式7-2】（2022春•东营区校级月考）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（）A．50B．60C．65D．70【答案】B【解答】解：根据图2中的曲线可知：当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，得CP＝12，所以根据勾股定理得，此时AP＝＝5，所以AB＝2AP＝10，所以△ABC的面积为×10×12＝60．故选：B．【变式7-3】（2022秋•涡阳县校级月考）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD面积为（）cm2A．20B．28C．48D．24【答案】C【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大，由图2知，当x＝6时，点P到达点C处，∴BC＝1×6＝6（cm）；当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为14﹣6＝8（s），∴CD＝1×8＝8（cm），∴长方形ABCD面积＝BC×CD＝6×8＝48（cm2），故选：C．1．（2023•广元）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．那么从函数的图象上看，C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．故选：D．2．（2023•广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】AF浮＝G，【解答】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，F拉+此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；F浮＝G，当铁块逐渐露出水面的过程中，F拉+此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，F＝G，拉此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．3．（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t 之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．甲比乙早1分钟出发B．乙的速度是甲的速度的2倍C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地【答案】C【解答】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；B、由图可得，甲乙在t＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，由B得，乙的速度是甲速度的2倍，∴乙用的时间是甲用的时间的一半，∴2x＝x+5+1，解得：x＝6，∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，∵甲比乙早1分钟出发，∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；故选：C．4．（2022•益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）x…﹣1012…y…﹣2024…A．y＝2x B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝x2【答案】A【解答】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍．∴y＝2x．故选：A．5．（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x （单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（）A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30C．y＝D．y＝﹣0.1x2+30x【答案】B【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．故选：B．6．（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y 与x之间的函数表达式为（）A．y＝x+50B．y＝50x C．y＝D．y＝【答案】C【解答】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，则平均每人拥有绿地y＝．故选：C．7．（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．8．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．故选：A．9．（2023•岳阳）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．【答案】x≠2．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．10．（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．1．（2022秋•东平县校级期末）下列各图能表示y是x的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．故选：D．2．（2023春•桥西区校级期中）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（）A．2是常量，C、π、R是变量B．2π是常量，C、R是变量C．C、2是常量，R是变量D．2是常量，C、R是变量【答案】B【解答】解：∵在圆的周长公式C＝2πR中，C与R是改变的，π是不变的；∴变量是C，R，常量是2π．故选：B．3．（2023春•铁西区期中）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝x+12B．y＝﹣2x+24C．y＝2x﹣24D．y＝x﹣12【答案】A【解答】解：由题意得：2y+x＝24，故可得：y＝﹣x+12（0＜x＜24）．故选：A．4．（2023春•昌平区期中）已知函数y＝，当x＝2时，函数值y为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：∵x≥0时，y＝2x+1，∴当x＝2时，y＝2×2+1＝5．故选：A．5．（2023春•白银期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器【答案】B【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．故选：B．6．（2023春•揭东区月考）周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（）A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米【答案】C【解答】解：A、小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B、公园离小丽家的距离为2000米，正确；C、小丽在便利店时间为15﹣10＝5分钟，错误；D、便利店离小丽家的距离为1000米，正确；故选：C．7．（2023•青山区模拟）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．故选：C．8．（2023春•禅城区校级期中）变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（）A．13B．5C．2D．3.5【答案】C【解答】解：当y＝5时，5＝2x+1，解得：x＝2，故选：C．9．（2022秋•渠县校级期末）根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣3，则输出y的值为（）A．﹣2B．﹣8C．10D．13【答案】C【解答】解：当x＝﹣3时，由程序图可知：y＝x2+1＝（﹣3）2+1＝9+1＝10，故选：C．10．（2023•平远县校级开学）碚碚用新买的50元5G电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t分钟（t大于等于3分钟），那么电话费用w（元）与时间t（分钟）的关系式可以表示为w＝0.3t+0.3（t≥3）．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：w＝1.2+0.3（t﹣3）＝0.3t+0.3（t≥3）．故答案为：w＝0.3t+0.3（t≥3）．11．（2023春•郓城县期中）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）y1＝60+30×0.6x＝60+18x；y2＝10×30+30×0.5（x﹣10）＝150+15x；（2）当x＝40时，y1＝60+18×40＝780，y2＝150+15×40＝750，因为y1＞y2，所以选择乙合算．12．（2023春•驿城区期中）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：汽车行驶时间t（小时）0123…油箱剩余油量Q（升）100948882…（1）如表反映的两个变量中，自变量是汽车行驶时间t，因变量是汽车油箱的剩余油量Q．（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为82升，汽车每小时耗油6升．（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）．【答案】（1）汽车行驶时间t；汽车油箱的剩余油量Q；（2）82；6；（3）Q＝100﹣t．【解答】解：（1）由题意可知，自变量为汽车行驶时间t，因变量为汽车油箱的剩余油量Q．故答案为：汽车行驶时间t，汽车油箱的剩余油量Q．（2）由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小时，耗油量为6升．故答案为82，6．（3）由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱刺余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100﹣6t．故答案为Q＝100﹣6t．13．（2023春•电白区期中）如图所示，图象反映的是：小明从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离小明家多远，小明从家到体育场用了多少时间？（2）体育场离文具店多远？（3）小明在文具店逗留了多少时间？（4）小明从文具店回家的平均速度是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）体育场离小明家2.5千米，小明从家到体育场用了15分钟．（2）体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（千米）．（3）小明在文具店逗留的时间为65﹣45＝20（分钟）．（4）小明从文具店回家的平均速度是＝（千米/分钟）．14．（2023春•永春县期中）小明某天离家，先在A处办事后，再到B处购物，购物后回家．下图描述了他离家的距离s（米）与离家后的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）A处与小明家的距离是200米，小明在从家到A处过程中的速度是40米/分；（2）小明在B处购物所用的时间是5分钟，他从B处回家过程中的速度是160米/分；（3）如果小明家、A处和B处在一条直线上，那么小明从离家到回家这一过程（包括停留时间）的平均速度是64米/分．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可知，x＝5时小明到达A处，A处离家距离为200米；200÷5＝40（米/分）．（2）10﹣5＝5（分）；800÷（25﹣20）＝160（米/分）．（3）小明往返所走路程为800×2＝1600（米），往返所用时间为25分．∴1600÷25＝64（米/分）．故答案为：（1）200，40；（2）5，160；（3）64．15．（2023春•碑林区校级期中）小明家距离学校8千米．一天早晨，小明骑车上学途中自行车出现故障，他于原地修车，车修好后，立即在确保安全的前提下以更快的速度匀速骑行到达学校．如图反映的是小明上学过程中骑行的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系，请根据图象，解答下列问题：（1）小明骑行了3千米时，自行车出现故障；修车用了5分钟；（2）自行车出现故障前小明骑行的平均速度为0.3千米/分，修好车后骑行的平均速度为千米/分；（3）若自行车不发生故障，小明一直按故障前的速度匀速骑行，与他实际所用时间相比，将早到或晚到学校多少分钟？【答案】（1）3；5；（2）0.3；；（3）比实际情况早到分钟．【解答】解：（1）由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，修车用了15﹣10＝5（分钟）；故答案为：3；5；（2）修车前速度：3÷10＝0.3（千米/分），修车后速度：5÷15＝（千米/分）；故答案为：0.3；；。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
华东师大版八年级下册17.1变量和函数 典型例题精选讲义
17.1变量与函数 典型例题精选讲义知识梳理1 变量与常量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.2 函数；设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说x 是自变量，y 是自变量x 的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.3 自变量的取值范围：函数中自变量的取值应使函数有意义，且不能使实际问题失去意义.4 函数值：当自变量取某一数值时所对应的函数的值叫做这个函数当自变量取该值时的函数值.5 函数的图象：把一个函数的自变量x 与函数y 的每一对对应值作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象.6 函数关系表示法：（1）解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法. （2）列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法. （3）图象法：有图象表示变量间的函数关系的方法叫做图象法.已知一个函数的解析式，通过列表、描点、连线，可以画出这个函数的图象，这种方法叫做描点法。
在画一个函数的图象时要注意自变量的取值范围.7 注意的问题(1) 变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个过程中是常量,而在另一个过程则可能是变量.例如在某一运动过程中有关系式vt s =,当速度一定时,则速度v 就是常量,而时间t 和路程s 则是变量;当时间一定时,则时间t 是常量,而速度v 和路程s 则是变量;同样若路程一定,则路程s 是常量,而时间t 和速度v 就是变量.特别提醒字母π,它是一个常量.(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x 的每一个值,y 是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则不具有函数关系. (3)要表明两个函数解析式是同一个函数,必须同时满足:①自变量的取值范围相同;②从自变量到函数的对应规律相同.典例分析例1 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9升,行驶了1小时后发现已耗油1.5升.(1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t (小时)之间的函数关系统式,并求出自变量t 的取值范围;(2)画出这个函数的图象;(3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶,当油箱中的余油量为3升时,老王行驶了多少千米?分析: 根据油箱中原有油9升,1小时耗油1.5升,则t 小时耗油1.5t 升,得到行驶t 小时后油箱中余油量为(9-1.5t )升,由此可得出函数关系式.解: (1)Q=9-1.5t , 由9-1.5t =0,得到t =6,故t 的取值范围为0≤t ≤6. (2)列表、描点、连线,画出函数图象. (3)由3=9-1.5t 得到t =4所以240460=⨯==vt S (千米)所以老王行驶了240千米.评析 根据实际问题列出函数关系式,根据关系式画函数图象时, 一定要注意函数自变量的取值范围,不能使实际问题失去意义.例2 张华上午8点骑自行车外出办事,如图表示他离家的距离S(千米)与所用时间t (小时)之间的函数图象.根据这个图象回答下列问题:(1)张华何时休息?休息了多少时间?这时离家多远?(2)他何时到达目的地?在那里逗留了多长时间?目的地离家多远? (3)他何时返回?何时到家?返回的平均速度是多少? 分析:函数图象中,纵轴表示离家的距离S(千米),横轴表示所用时间t (小时);图中水平线段,即随着时间的增加,路程并没有增加,说明人在休息;返回的平均速度为返回路程与返回时间之比.解:(1)从图中可以看出休息时间是从9:00到9:30;休息了半个小时;这时离家15千米. (2)同样从图中可以得到张华11:00到达目的地;在那里逗留了1个小时,目的地离家30千米.(3)他12:00返回;14:00到家;返回时用了2个小时,行了30千米,返回时的平均速度为15230===t s v (千米/时) 答:张华返回时的平均速度为15千米/时. 评注: 解题关键是正确识图,能从函数图象中获取有价值的信息..例3. 下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）矩形的面积一定，它的长与宽；（2）任意三角形的高与底； （3）矩形的周长与面积； （4）正方形的周长与面积．解: （1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值，就有惟一确定的y 的值与宽对应，因此这是一个函数关系．（2）当一个三角形的底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系．（3）当矩形的周长是一个确定的值时，由于长、度不能确定，它的面积也不确定，这也不是函数关系．（4）当正方形的周长确定了，它的边长也确定，因此面积也确定，这是函数关系． 例4 指出下列函数中的自变量、函数和常量： （1）y=-2x ；（2）y=3x-61；（3）y=3x 2-7x+2；（4）p=q 51．分析: 本题所给的四个函数都是用解析法表示的，可根据定义说出自变量、函数和常量． 解: （1）自变量是x ，y 是x 的函数，常量是－2；（2）自变量是x ，y 是x 的函数，常量是3和-61； （3）自变量是x ，y 是x 的函数，常量是3、－7和2； （4）自变量是q ，p 是q 的函数，常量是51． 例5. 下面的表分别给出了变量 与 之间的对应关系，判断是 的函数吗？如果不是，说明出理由．(1) 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 (2) 1 2 3 4 5 7 11 8 12 15 (3) 1 2 3 2 1 2 5 10 ﹣5 ﹣2 (4)1 2 3 4 5999 9 9解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数；（3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有2与－2两个值与它对应； （4）y 是x 的函数点评：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应．第四个是常数函数它符合函数的定义．例6. 判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式|y|=x 中的y 与x ．分析: 判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应．解: （1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系．（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系．（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系．（4）x每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以|y|=x不是函数关系．点评:年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系．例7.写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：（1）；（2）；（3）．解:（1）．当时，；（2）t为任意实数．当时，；（3）．当时，．。
八年级变量与函数 答案.doc
【热身训练】1. B 2. D 3. B 4. C 5. 2 6. J=3T+15, 36 7.y=12 + 0. 5x (0WxW20) & y= X5X (5 —x) = —x+ (0WxW5)【典型例题】1.【解析】B 对于3x-2y=5和y=|x|,由函数的定义知对于每一个x值都有唯一确定的y 值与之对应，符合函数关系的要求.但对于2x-y2=10,即y2=2x-10, x与y不构成上述关系，即y不是x的函数.故①②表示y是x的函数关系，应选B.2.答案：y = 5.2+1.6x(xN3)；说明：当路程x》3(千米)时，3千米內(包括3千米)收费10元，超过3千米的有(x-3) 千米，应收1.6(x-3),所以车费y (元)与x(千米)之间的函数关系式为y = 10+1. 6(x7)=5.2+1. 6x,其中x》3.3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m〃)与一边长"m)之间的函数关系式为________ ,自变量/的取值范围是_______________ .答案：S = 7(30-7), 0<7<30；说明：矩形的一边长为1,则另一边长为60 = 2- / = 30-厶此时矩形的面积S为1 (30-Z)，自变量Z显然应大于0,同时小于周长的一半，即0〈1 <30.4.(1 )骑自行车的人出发较早，早3个小时，骑摩托车的人到达乙地较早，早3个小时.(2) 自行车速度为10千米/时，摩托车速度为40千米/时.5.某居民小区按分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息.小明购得一套现价为120000元的房子，购房时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000 元及上一年剩余款利息的和，若剩余欠款年率为0. 4%；⑴第x年(x》2)小明家交付房款y元求年付款y (元)与x(年)的函数关系式；(2)将第三年、第十年应付房款填入下列表格：年份第一年第二年第三年・・・第十年交房款(元)300005360答案：(1) y = 5000+ [90000-5000 (x-2) ] X 0. 4%,即y = 5400-20x(x22 且x 是正整数)；(2)第三年还5340元，第十年还5200元；说明：从第二年起，以后每年应付房款5000元及上一年剩余款利息的和，对于第x(x 三2)年,它的上一年即第(x-1)年，剩余款为120000-30000-5000 (x-2) = 90000-5000 (x-2), 所以第x年小明家交付房款y (元)与x(年)的函数关系式为y = 5000+[90000-5000 (x-2)] X0. 4%,其中x±2,且x为正整数，即y = 5400-20x(x^2且x是正整数).8. 二"1 1- X7.【独立尝试】1. D2. B3. x215. x < —,x#-l 26. x <1150 T - 9. x>0 且XH1 和 2 10 ^ = 20 + 6ZJ> 0【拓展提升】1. (1)当每月行驶路程小于1500km 时，用国营出租车较合算；当每月行驶路程大于1500km 时，用个体出租车较合算.(2)当每月行驶2700km 时，选择个体出租车.2. = 3000-2.5x,100 <x <12003 W = 50s,s > 04. (1) y =-兰二，x 取值范围是XH —2的一切实数 x+2(2) x = 0 时，v = —— , y=0 , x =——2 35. (1)全体实数；(2) %>1 且;(3) x <2 且；(4) x > 1 且 x=26. y = - —x + 8(0 < x < 6)【挑战探索】1.D2. B点F 的速度为y,则 CP=xt, DQ=yt,所以CQ=b - yt,3. 【解析】试题分析：如图，作0E 丄BC 于E 点，OF 丄CD 于F 点,TO 是对角线AC 的中点，m”，OF 冷a 。
19.1.1变量与函数八年级数学人教版(解析版)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第十九章 一次函数19.1.1 变量与函数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于圆的面积公式S =πR 2，下列说法中，正确的为A ．π是自变量B ．R 2是自变量C ．R 是自变量D ．πR 2是自变量【答案】C【解析】因为在2πS R =中，π是圆周率，故π是常数，S 与R 是变量，其中R 是自变量，故选C ．2．长方形的周长为24 cm ，其中一边长为x cm （其中x >0），面积为y cm 2，则y 与x 的关系式为A ．2y x =B ．(24)y x x =-C ．2(12)y x =-D ．(12)y x x =-【答案】D【解析】长方形的一边是x cm ，则另一边长是（12-x ）cm ．则y 与x 的关系式为y =（12-x ）x ．故选D ．3．下列图象中，表示y 是x 的函数的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】第一个图象，对每一个x 的值，都有唯一确定的y 值与之对应，是函数；第二个图象，对每一个x 的值，都有唯一确定的y 值与之对应，是函数；第三个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数；第四个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数．综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个．故选B ．4．下列变量之间的关系不是函数关系的是A ．长方形的宽一定，其长与面积B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．球的体积与球的半径【答案】C 【解析】A 项中，长方形的宽一定，是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，是函数关系；B 项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值C ，边长即为4C ，相应地面积为2()4C S ==216C ，是函数关系；C 项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中底边上的高也是变量，即存在三个变量，不是函数关系；D 项中，球的体积与其半径是函数关系，故选C ．5．物体从足够高的地方做自由落体运动，下降的高度h 与时间t 满足关系式h =12gt 2，则3秒后物体下落的高度是（g 取10）A ．15米B ．30米C ．45米D ．60米【答案】C【解析】把t =3代入函数关系式得：h =12×10×32=45（米），故选C ．6．设路程s ，速度v ，时间t ，在关系式s =vt 中，说法正确的是A ．当s 一定时，v 是常量，t 是变量B ．当v 一定时，t 是常量，s 是变量C ．当t 一定时，t 是常量，s ，v 是变量D ．当t 一定时，s 是常量，v 是变量【答案】C【解析】A 、当s 一定时，s 是常量，v 、t 是变量，故原题说法错误；B 、当v 一定时，v 是常量，t 、s 是变量，故原题说法错误；C 、当t 一定时，t 是常量，s ，v 是变量，说法正确；D 、当t 一定时，t 是常量，v 、s 是变量，故原题说法错误，故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．饮食店里快餐每盒5元，买n 盒需付S 元，则其中常量是__________，变量是__________．【答案】5；n ，S【解析】由题意可知，在上述问题中，常量是：5；变量是：n 、S ，故答案为：5；n 、S ．8．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势：年份201620172018…入学儿童人数252023302140…（1）上表中__________是自变量，__________是因变量；（2）你预计该地区从__________年起入学儿童的人数不超过2000人．【答案】（1）年份，入学儿童人数；（2）2019【解析】（1）因为该表格中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数随年份的变化趋势，所以年份是自变量，入学儿童人数是因变量，故答案为：年份，入学儿童人数．（2）因为每年的入学儿童人数都比上一年减少190人，∴（2520-2000）÷1903»，2016+3=2019（年）．所以2019年起入学儿童的人数不超过2000人．故答案为：2019．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．求下列函数中的自变量x 的取值范围．（1）y =3x 2-2；（2）4x y x=-；（3）2y x =+；（4）53x y x -=-．【解析】（1）x 为全体实数．（2）被开方数4-x ≥0，且分母40x -¹，所以x <4．（3）被开方数x +2≥0，所以x ≥-2．（4）由被开方数5-x ≥0，得x ≤5．由分母x -3≠0，得x ≠3，所以x ≤5且x ≠3．10．已知函数y =2x -3．（1）求当x =-4时的函数值；（2）当x 为何值时，函数值为0？【解析】（1）当x=-4时，y=2x-3=2×（-4）-3=-11，即当x=-4时的函数值为-11．（2）当y=0时，0=2x-3，解得32x=，即当32x=时，函数值为0．11．写出下列各问题所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量．（1）每本练习本0.6元，购买练习本所需的钱数m（元）与购买的本数n（本）之间的关系式；（2）用总长度为27 m的篱笆刚好围成一个矩形场地，矩形的面积S（m2）与一边长x（m）之间的关系式；（3）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y（升）与放水时间x（分钟）之间的关系式．【解析】（1）m=0.6n；0.6是常量，m，n是变量．（2）S=x（272-x）；272是常量，S，x是变量．（3）y=20-0.2x；20，0.2是常量，x，y是变量．12．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m，到达坡底时，小球速度达到40 m/s．（1）求小球速度v（m/s）与时间t（s）之间的函数关系式；（2）求t的取值范围；（3）求3.5 s时小球的速度；（4）当t为何值时，小球的速度为16 m/s？【解析】（1）小球由静止开始在斜坡上向下滚动，滚动时间为1 s时，速度v=2×1=2（m/s）；滚动时间为2 s时，速度v=2×2=4（m/s）……，滚动时间为t s时，速度v=2t（m/s），∴v与t之间的函数关系式为v=2t．（2）根据已知条件分析可知，小球的速度v的最小值为0 m/s，最大值为40 m/s，即0≤v≤40，用2t代替v，得0≤2t≤40，即0≤t≤20．（3）求3.5 s时小球的速度，实质是求t=3.5时的函数值．（4）当v=16时，求自变量t的值，解方程即可．。
1911变量与函数(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)
变量与函数变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.题型1：变量与常量1.圆的周长公式是 C =2πr ，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（ ）A ．2是常量，B ．π 、r 是变量C ．2、π是常量，D ．r 是变量C.2是常量，r 是变量【答案】B【解析】【解答】解：圆的周长计算公式是c=2πr ，C 和r 是变量，2、π是常量.故答案为：B.【分析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断.【变式11】设路程s ，速度v ，时间t ，在关系式s=vt 中，说法正确的是（ ）A ．当s 一定时，v 是变量，t 是变量B ．当v 一定时，t 是常量，s 是变量C ．当t 一定时，t 、s 是常量，v 是变量D ．当t 一定时，s 是常量，v 是变量【答案】A【解析】【解答】解：A 、当s 一定时，s 是常量，v 、t 是变量，故原题说法正确；B 、当v 一定时，v 是常量，t 、s 是变量，故原题说法错误；C 、当t 一定时，t 是常量，s ，v 是变量，故原题说法错误；D 、当t 一定时，t 是常量，v 、s 是变量，故原题说法错误. 故答案为：A.【分析】常量是固定不变的量，而变量是变化的量，据此判断.题型2：因变量和自变量2.对于关系式y＝3x＋5，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y 是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.题型3：函数的概念3.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S 是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】【解答】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；所以正确的的序号有①④，故答案为：B．【分析】根据水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量，再结合图形求解即可。
初中数学--变量与函数
14.1 变量与函数重要知识点讲解1、常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。
2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。
3、在一个函数关系式中，如果当x a=，那么b叫做当自变量的值为a时的=时，y b____________。
4、自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。
5、函数的图像（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。
（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。
（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。
答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。
重要知识点讲解知识点一：变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。
当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。
注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不、、三者之间；相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。
华师大版数学八年级下册_典例精析：变量与函数3
《变量与函数》典例精析3【例1】下列：（1）2y x =；（2）21y x =+；（3）22(0)y x x =≥；（4）0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是 ．【解析】判断两个变量之间是否函数关系，主要是要抓住定义本身，即对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应．（1）（2）中当x 取一个值时，变量y 有唯一的值与之对应，但（3）中当x 取2时，变量y 却有2和－2两个值与之对应，故不是函数关系；（4）也是一样的，当x 取1时，变量y 却有1和－1两个值与之对应，故不是函数关系．【答案】（1）（2）【例2】求下列函数中自变量x 的取值范围：⑴32-=x y ； ⑵1432+-=x x y ；⑶11+=x y ； ⑷2-=x y ； ⑸3+=x xy ； ⑹12-+=x x y ； ⑺5-=x x y ； ⑻x x y -+=21.【解析】函数解析式以及函数自变量的实际意义确定自变量的取值范围是中考数学试卷中的一个考查热点，其中根据函数解析式确定自变量的取值范围可分为以下类型： ⑴整式型：当函数解析是整式时，自变量的取值范围是全实数.⑵分式型：当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数.注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义.⑶偶次根式型：当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方式为非负数. ⑷零次幂或负整数次幂型：当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零.其中（6）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠-≥+0102x x ；（7）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠-≥05||0x x 又因为5-=x 不在0≥x 的范围内，所以答案是50≠≥x x 且，此题特别容易错误理解为50±≠≥x x 且；（8）需要满足的条件是+1020x x ≥⎧⎨->⎩，注意不等式组解集的确定. 【解】（1）全体实数；（2）全体实数；（3）1-≠x ；（4）2≥x ；（5）3x >-；（6）12≠-≥x x 且；（7）50≠≥x x 且 ；（8）12x -≤<.【例3】我市出租车价格是这样规定的：不超过2.5千米，付车费5元，超过的部分按每千米1.3元收费．已知某人乘坐出租车行驶了x （x ＞2.5）千米，付车费y 元，请写出出租车行驶的路程x （千米）与所付车费y （元）之间的关系式．【解析】根据题意可知所付车费()5 1.3 2.5 1.3 1.75y x x =+-=+，特别要注意的是前面的2.5千米，已经付车费5元，无需再累加付费．【解】 1.3 1.75y x =+【例4】如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图像，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）【解析】从图像可看出，张老师散步有三个过程，第一个过程随着时间的增加，张老师离家越来越远；第二个过程随着时间的增加，张老师离家的距离不变；第三个过程，随着时间的增加张老师离家越来越近，综合分析，只有D 选项的行走路线才可能符合函数关系图像．【答案】D【例5】在圆的周长公式2C r =π中，下列说法错误的是（ ）A ．C r π，，是变量，2是常量B ．C r ，是变量，2π是常量C ．r 是自变量，C 是r 的函数D ．将2C r =π写成2C r =π，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数 【解析】π是一个数，是一个常量而不是变量.【答案】： A【例6】在函数121x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥-B ．1x >-且12x ≠C ．1x ≥-且12x ≠ D ．无效选项 【解析】要使函数121x y x +=-有意义，应满足10210x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且12x ≠，故选C ．本题主要考查学生对函数自变量取值范围的确定掌握是否全面，属于复合型试题，要同时满足两个条件：一、二次根式有意义，二、分式有意义，注意不要漏条件．【答案】C【例7】为了增强居民的节约用水的意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5吨的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5吨的部分，按每吨2.6元收费。
人教版初中数学讲义八年级下册第01讲 变量与函数(3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)
第01讲变量与函数课程标准学习目标①常量与变量②函数的概念与函数值③自变量的取值范围1.掌握常量与变量的概念，能够准确的判断常量与变量。
2.掌握函数的概念，能够判断函数关系以及根据自变量求函数值。
3.能够根据不同的函数表达式类型熟练的求出自变量的取值范围。
知识点01常量与变量1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。
2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。
变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。
【即学即练1】1．阅读并完成下面一段叙述：（1）某人持续以a 米/分的速度经t 分时间跑了s 米，其中常量是a，变量是t ，S．（2）在t 分内，不同的人以不同的速度a 米/分跑了s 米，其中常量是t ，变量是a ，S ．（3）s 米的路程不同的人以不同的速度a 米/分各需跑的时间为t 分，其中常量是s，变量是a ，t．（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．【解答】解：（1）由题意得，数值不变的量为a ，为常量，数值发生变化的量为t ，s ，为变量；（2）由题意得，数值不变的量为t ，为常量，数值发生变化的量为a ，s ，为变量；（3）由题意得，数值不变的量为s ，为常量，数值发生变化的量为a ，t ，为变量；（4）根据以上三句叙述，写出一句关于常量与变量的结论：常量和变量在一个过程中相对地存在的．故答案为：a ；t ，s ；t ；a ，s ；s ；a ，t ；常量和变量在一个过程中相对地存在的．知识点02函数的概念与函数值1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数，又称因变量。
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。
华师大版数学八年级下册_典例精析：变量与函数1
《变量与函数》典例精析1【例1】写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量、自变量与函数．（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式．（2）n边形的对角线条数S与边数n之间的关系式．【解析】（1）由路程=速度×时间，可得vt=200，即t=.路程始终保持不变，所以200是常量，时间、速度的值在改变，因此，v、t是变量.由于t是随v改变而发生变化的，因此，v是自变量，t是v的函数．（2）从n边形的一个顶点引对角线，共可引（n－3）条对角线，则从n个顶点出发共引n（n－3）条对角线，但由于重复计算了一次，故对角线条数为，即可得出S 与n的关系式.在这个问题中，S、n是变量，由于n的每一个值S都有唯一的值与之对应，所以n是自变量，S是n的函数．【答案】（1）t=，其中200是常量，v、t是变量，v是自变量，t是v的函数．（2）S=，其中，3是常量，S、n是变量，n是自变量，S是n的函数．【点评】利用我们所熟悉的公式作为相等关系，通过公式或公式的变形推导出函数关系．【例2】写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围．【解析】由三角形的内角和定理等于180º可知，y+2x=180º，所以y=180º-2x．又知x 是等腰三角形的底角，所以x不可能大于或等于90º，因此，自变量x的取值范围是0＜x ＜90º．【答案】y=180º-2x，0＜x＜90º．【点评】取值范围应满足实际问题有意义．【例3】一个正方形的边长为5cm，•它的边长减少x cm•后得到的新正方形的周长为y cm，写了y与x的关系式，并指出自变量的取值范围．【解析】周长y=4（5-x）；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组．【答案】y与x的函数关系式为y=20-4x，自变量的取值范围是0≤x<5．【点评】关系式用周长的计算公式，取值范围应考虑到每条边长均为正数．【例4】水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平.为了节约用水，保护环境，北京市自来水公司制定了节水措施，采用了分段计费的方法计算水费.具体方法是：若每月每户居民用水不超过4立方米时，按每吨2元计算；若每月每户居民用水超过4立方米时，超出部分按每吨4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）.设每户每月的用水量为x吨，交纳水费为y元，写出y与x的函数关系式，李涛同学家一月份交水费7.5元，二月份交水费17元，三月份交水费8元，则李涛家第一季度共用水多少吨？【解析】由于用水量与水费的标准不同，所以不能用一个函数关系式表示，应采用分段考虑的方法.关于第一季度共用水的问题，应分别求出每月的用水量，再求和．【答案】当0≤x≤4时，y=2x；当x＞4时，y=2×4+4.5(x-4)，即y=4.5x-10．因为7.5＜2×4；8=2×4；12＞2×4，所以一月份、三月份的用水量均不超过4吨，三月份的用水量超过了4吨．所以，一月份用水量为：=3.5(立方米)；二月份用水量为：4+=6(立方米)；三月份用水量为(立方米)，3.5+6+4=13.5(立方米)．答：李涛家第一季度共用水13.5吨．【点评】本题在自变量取不同的范围时，函数满足的条件不同，我们常称之为分段函数．这种函数情况繁杂，应先根据自变量分别求出函数关系式，再观察问题中的自变量在哪个范围内，最终得到问题的答案．【例5】填写如图所示的加法表，然后把所有填有11的格子涂上颜色，看看你能发现什么?如果把这些涂色的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．哪一个当自变量呢？自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．【解析】当涂色的格子横向的加数为3时，纵向的加数是8；当纵向的加数为6时，横向的加数是5……．总之，它们的和是11．观察加法表中涂色的格子的横向的加数的数值范围，它是小于或等于10，如果把横向的加数当作自变量，就可以确定自变量的取值范围了．【答案】如图能发现涂黑的格子在一条斜线上．并且横、纵向两个加数的和是11，所以有x+y＝11，其函数关系式为：y＝11－x．自变量x的取值范围是：1≤x≤10．【点评】在变化过程中，两个变量，哪一个是自变量，哪一个是函数，不是固定不变的．在这个问题中，如果把纵向的加数当作自变量，那么，横向的加数就是它的函数．【例6】如图所示，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式.并求当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少？【解析】由于在整个的运动过程中，重叠部分构成等腰直角三角形，MA的长度为x，重叠部分的面积为y，根据三角形的面积公式即可确定y与x的函数关系式.将x=1代入函数关系式，可求出重叠部分的面积．【答案】y与x的函数关系式为．当x=1时，y=×1=.所以当MA=1cm时，重叠部分的面积是cm2．【点评】现实世界是在不停运动的，而运动的问题也是我们研究数学的一个重点内容，函数与运动相结合更是中考的热点，本题是我们与中考接轨的一个典型例题．。
人教版初中数学变量与函数经典讲练(含答案)
变量与函数经典讲练新课指南1．知识与技能：（1）初步掌握函数的概念，会判断两个变量间的关系是否可看做函数；（2）初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.2．过程与方法：通过具体情境和丰富的实例，经历和探索出函数的意义，即一个量随另一个量的变化而变化.3．情感态度与价值观：通过对函数这一重要数学工具的认识和应用，深刻体会数形结合思想在数学学习中的应用，并进一步体会到数学知识来源于实际生产生活的需求，反之，它又很好地服务于生产、生活．4．重点与难点：对函数概念的理解．突破难点的关键是建立新旧知识之间的联系．教材解读数学与生活有地理资料显示，影响气温有三个方面的因素，即纬度位置、海陆位置和地形．其中，地形对气温的影响是巨大的，地理学家经过多年探测和研究发现，海拔每升高100米，气温下降0．6℃，如果山脚的气温是24℃，那么相对山脚高度为2000米的山顶的气温又如何呢？相对山脚高度为x 米处的气温又如何来表达呢？思考讨论：由于海拔每升高100米，气温就下降0．6℃，所以，相对山脚高度为2000米的山顶的气温是：24-1002000×0.6=12（℃）.相对山脚高度为x 米处的气温用y （℃）来表示，则有y ＝24-100x ×0.6，如果给定一个x 的值，可以计算出相对应的y 的值吗？ 知识详解知识点1 变量之间的关系不同的事物的变化过程中，有些量的值是按某种规律在变化，有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.探究交流举一些变化的实例，指出其中的变量与常量.点拨现实生活中有很多这样的例子，这里举一例供参考.例如，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th，在这一过程中，速度60km／h是常量，路程与时间是变量．知识点2 函数的概念Ⅰ.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.例如：汽车在高速公路上以每小时100千米的速度行驶，它走过的路程s（千米）随时间t（时）变化的关系式是s=100t，路程s的数值是由时间t的数值确定的，s与t之间的对应关系如下表所示：由上表可知：s和t具有一定的对应关系，对于变量t的每一个确定的值，都有惟一确定的s的值与之相对应，因此，我们说变量t是自变量，变量s是t的函数．Ⅱ.函数的定义中包括三个要素：（1）自变量的取值范围；（2）两个变量之间的对应关系；（3）后一个变量被惟一确定而形成的变化范围．【说明】函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊对应关系，必须是“对于x的每个值，y都有惟一的值与之对应”.例如：“一个数与它的绝对值”，若一个数用x表示，它的绝对值用y表示，其中x 可以取任意实数，即自变量的取值范围是全体实数，对应关系是一个数与它的绝对值对应，一个数的绝对值是这个数的函数．又如：式子y=x2，变量x每取一个值，y都有惟一的一个值与之对应，所以说y是x 的函数；式子y2=x中，尽管y与x之间有一种关系，但由于变量x在x＞0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与之对应，所以说y不是x的函数．【注意】（1）自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p…中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q…中的任何一个表示.（2）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“惟一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系.例如：一块种植小麦的土地，收获量与施肥量之间有一定的关系，但它们之间不存在“惟一确定”的对应关系，如果施肥量为每亩5千克，那么收获量是多少不惟一确定，因此，收获量与施肥量之间不存在函数关系.（3）函数的定义中指出“……对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与之对应”，但对于自变量x的每一个不同的值，y不一定都是不同的值与之对应.探究交流确定函数关系的方法.点拨判断变量之间是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是因变量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程中处于被动地位，自变量每变一个值，因变量都必须有惟一确定的值与它相对应，这样，它们才能构成函数关系.知识点3 函数的三种表示形式Ⅰ.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法．它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值．但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌．例如：市场上猪肉的价格为每千克12元，那么重量与金额的函数关系列表如下：Ⅱ.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确．例如：长春市某天气温随时间变化的图象如图11－1所示，从图象上能看出温度随时间变化的情况，时间是自变量．Ⅲ.解析法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法．它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数．例如：正方形的面积用S表示，正方形的边长用a表示，则正方形的面积公式为S=a2；若周长用P表示，则周长的公式为P=4a，这就是表示正方形的边长与面积和周长的函数关系，其中正方形的边长a是自变量，面积S和周长P是因变量．知识点4 函数关系式Ⅰ.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式.Ⅱ.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念：（1）函数关系式是等式．例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式．（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量．（3）书写函数关系式是有顺序的．例如：y=x-3表示y 是x 的函数；若x=y+3，则表示x 是y 的函数．也就是说，求y 关于x 的函数关系式，必须用自变量x 的代数式表示y ，即得到的等式的左边是一个变量y ，右边是一个含x 的代数式．知识点5 自变量的取值范围的确定Ⅰ.函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：首先，自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义；其次，自变量的取值应使实际问题有意义．这两个方面缺一不可，尤其是后者，同学们在学习过程中特别容易忽略．因此，在分析具体问题时，一定要细致周到地从多方面考虑．例如：y=x 1中，自变量x 在代数式x 1中，要使x1有意义，则自变量的取值范围是x ≠0．Ⅱ.在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系有意义，可分下列几种情况：（1）当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．例如：y=2x-1中，自变量x 的取值范围是全体实数．（2）当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．例如：S=πR 2中，若R 表示圆的半径，则R ＞0．（3）当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．（4）当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数．（5）自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数．例如：y=2x -中，自变量x 的取值范围是x=0；y=x x -+-33中，自变量x 的取值范围是x=3．（6）在一个函数关系式中，当自变量x 同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解．知识点6 函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值例如：在正方形的面积公式S=a2中，若a=2；则S＝4；若a=3，则S＝9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值．典例剖析基本概念题例1 下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积D．球的体积与球的半径[分析] 判断变量之间的关系是否存在着函数关系，首先看是否有两个变量，然后再看这两个变量是否是一对一的关系．A项中，长方形的宽一定，它是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，故A项是函数关系．B项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值，除以4就是边长，再平方与面积相对应，故B 项是函数关系．C项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里的高也是变量，这样就有三个变量了，因此C项不是函数关系．D项中，球的体积与其半径是函数关系．答案：C基础知识应用题本节有关的基础知识包括：（1）确定函数关系；（2）求函数值；（3）求函数关系的解析式．例2 如图11-2所示，图中有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？如果能，求出当t=12分时对应的路程s．[分析] 从图中可以看出，有两个变量t 与s ，而s=vt ，v 是常量，所以t 与s 构成函数关系，从图中还可以看出，当t=3分时，s=20，这说明走20米的路程用了3分，则速度v=320米/分. 解：从图中看出，有两个变量t 和s.如果把t 看作自变量，s 看作因变量，则路程s ，速度v ，时间t 之间的关系式为s=vt ．从图中看出，每取一个t 值，都有一个s 值与之对应，当t=3时，s=20，∴20=3v ，∴v=320（米/分）. ∴s 与t 之间的关系式为s=320t ， ∴可以将s 看作t 的函数．又∵s=320t ， ∴当t=12时，s=320×12=80（米）. 小结 要确定函数关系，就要确定两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量，还要注意到其他的量都必须是常量．求函数值的方法有两种，一种是从图中找出来，另一种是用求代数式的值的方法求出来．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）由图象分析现象；（2）由现象确定函数关系；（3）培养识图能力．例3 李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈了一会儿，返回途中，在读报栏前看了一会儿报，如图11-3所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问题．（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多少时间？（2）读报栏大约离家多远？（3）李奶奶在哪段时间走得最快？你是怎么计算的？（4）图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？解：（1）李奶奶是在离家600米处碰到老邻居的，交谈了大约10分．（2）读报栏大约离家300米．（3）李奶奶在40～45分这段时间内走得最快，这是因为：李奶奶从家出去到返回家中行程是这样的：①从出发地点到遇到老邻居，用了15分，走了600米，在这15分时间内，她的速度是600÷15=40（米／分）；②从15分到25分，她和老邻居交谈了约10分；③从25分到35分，她在返回家的途中，走了600-300=300（米），这一段她的速度是300÷10=30（米／分）④从35分到40分，她在读报栏读报，也就是读报栏离家大约300米的距离；⑤从40分到45分，她返回家中，共用时5分，行走了300米，这一段她的速度是300÷5=60（米／秒），因此李奶奶在40～45分这段时间内走得最快．（4）从图中反映出了李奶奶外出散步时间与离家距离这两个变量之间的关系，其中外出散步时间是自变量，离家距离是因变量，离家距离是散步时间的函数．小结该题目要求主动观察某些运动变化过程，体会函数的概念，培养利用函数观点认识世界和解决实际问题的能力．学生做一做: 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图11-4所示的是她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系的图象，则下列描述符合小红散步情景的是（）A．从家出发花了一个公共阅报栏，看了一会儿报就回家了B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分后才开始返回老师评一评: 从图象上可以看出，每一个时间t都对应一个距离s，当时间在变化，而距离不变时，表示在原地不动，而其他时间对应的距离都在变化，说明此人在运动，当12分时对应的距离是500米，说明此时离家最远，当18分时，对应的距离是O，说明她从出发到返回共用了18分．故正确答案为B项．探索与创新题本节知识的探索与创新主要包括：（1）与相关学科的整合；（2）读图和利用图象的预测能力．例4 王老师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出几个实际生活中有函数关系的实例，并指出其中的常量与变量，自变量与因变量及函数．甲生说：“如果设路程为s （千米），速度为v （千米／时），时间为t （时），当路程s 为一定值时，s 为常量，v ，t 为变量，v 是自变量，t 是因变量，t 是v 的函数．”乙生说：“甲生所举实例中，t 是自变量，v 是因变量，t 是v 的函数．”丙生说：“甲生所举实例中，当v 为一定值时，v 为常量，s ，t 是变量，t 为自变量，s 为因变量，s 是t 的函数．”你认为哪一位同学的说法正确？[分析] 由于s=vt ，当路程s 为一定值时，解得v=t s 或t ＝vs ，即v 是t 的函数或t 是v 的函数；当v 为一定值时，对于s=vt 来说，s 是t 的函数，因此，甲、乙、丙三位同学的说法都是正确的．解：三位同学的说法都是正确的．小结 函数的概念是建立在变量的基础之上的，应正确理解常量与变量，有的量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中则为变量，所以，变量与常量是相对的．小学学过的正比例、反比例关系以及物理中的一些数量关系、公式等都是函数关系． 易错与疑难题例5 画出函数y=x-1的图象．错解：（1）列表：在自变量x 的取值范围内取一些值，并算出对应的y 值；(2)描点：在直角坐标平面内描出由表中的对应值组成的点；(3)连线：用平滑的曲线按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来，得到的图11-5就是函数y=x-1的图象．[分析] 函数y=x-1中的自变量x的取值范围是全体实数，而图11-5中的自变量x的取值范围是-2≤x≤2，其图象是一条线段，自变量的范围缩小了．正解：（1）列表：在自变量x的取值范围内取一些值，并算出对应的y值；（2）描点：在直角坐标平面内描出由表中的对应值组成的点；（3）连线：用平滑的曲线按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来，如图y=x-1所示，就是函数y=x-1的图象．例6 一个弹簧，不挂物体时长为12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比，如果挂上3kg的物体，弹簧总长是13．5cm，求弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式，并画出函数的图象．错解：设y=12+kx，根据题意得13．5=12+3k，解得k=0．5．∴y=12+0．5x，图象如图11-7（1）所示．[分析] 错误的原因是忽略了自变量的取值范围，将函数图象画成了一条直线.正解：设y=12+kx，根据题意得13．5=12+3k，解得k=0．5．∴y＝12+0．5x．∴x为所挂物体的质量，∴x≥0．∴图象如图11-7（2）所示．中考展望中考命题总结与展望本节知识在中考中经常出现，主要考查学生对函数的认识及理解，多在选择题、填空题中出现．关于函数自变量的取值范围的考题较多，由函数的图象分析某一事件是主要类型题，今后考查关于两个变量之间是否能构成函数关系可能成为中考命题，同时，对于识图的问题也不容忽视，平时应多加训练，提高能力．中考试题预测例1 如图11-8所示的是长沙市2003年6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题．（1）这天的最高气温是 ℃；（2）这天共有 个小时的气温在31℃以上；（3）这天在 （时间）范围内温度在上升；（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？[分析] 从图象上找出不同的时间所对应的温度，或由温度找对应的时间，同时还要对以后的情况进行估计．解：（1）37 （2）9（即从12时到21时） （3）3～15时（4）23～26℃均可（答案不惟一）例2 在函数y=21 x 中，自变量x 的取值范围是 ． [分析] 求自变量的取值范围是中考的考点之一，只要掌握被开方的数非负、分母不为O 即可．由题意可得x-2≥0且x-2≠0，∴x ＞2．答案：x ＞2例3 函数y=1+x x 的定义域是 . [分析] 定义域即自变量x 的取值范围，只要x+1＞O 即可，∴x ＞-1．答案：x ＞-1例4 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：则y 关于x 的函数图象（如图11-9所示）是[分析] 从题中数据可知，砝码从0克到250克，指针所指的数据是匀速增长的，即砝码增加50克，指针所指的数就增加1厘米，当砝码为275克时，指针所指的数据为7．5厘米，之后，珐码再增加，指针所指数据均是7．5厘米，因此，正确答案为D 项．例5 函数y=3x 2-124-x x 中自变量x 的取值范围是 .答案：x ＞21 例6 若用（l ）（2）（3）（4）四幅图象（如图11-10所示）分别表示变量之间的关系，请按图象中所给顺序，将下面的（a ），（b ），（c ），（d ）对应共序，正确的是（ ）（a ）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）；（b ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的质量的关系）； （c ）运动员推出的铅球（铅球的高度与时间的关系）；（d ）小杨从A 地到B 地，停留一段时间后，然后按原速度返回（路程与时间的关系）.A ．（c ）（d ）（b ）（a ）B ．（a ）（b ）（c ）（d ）C ．（b ）（c ）（a ）（d ）D ．（d ）（a ）（c ）（b ）[分析] 由（d ）可知对应图象为（2），由(c)可知对应图象为（1），由（b ）可知对应图象为（3），由（a ）可知对应图象为（4），故正确答案为A 项．例7 函数y=-11 x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x=≠-1B ．x ≠0C ．x ＜一1D ．x ≥-1 答案：A例8 函数y=12-x 中自变量x 的取值范围是 .答案：x ≥21 例9 函数y=1-x x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0B ．x ＞O 且x ≠1C ．x ＞0D ．x ≥O 且x ≠1 [分析] 自变量x 的取值范围应同时满足被开方数有意义且分母不为0，即⎩⎨⎧≠-≥,01,0x x ∴x ≥0且x ≠1，故正确答案为D 项. 例10 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象（如图11－11所示）中与故事情节相吻合的是（ ）[分析] 解决本题的关键点有两个：一是乌龟和兔子从出发到乌龟先到达终点，表示在相同的时间内，乌龟所走的路程大于兔子所走路程，因此，选择B ，D 两个选项；二是兔子是分三个步骤走的，也就是说它第一部分路程随时间增加而增大，第二部分路程不变，因为在这一段虽然时间在变化，但它在睡觉，路程不变，第三部分它在追赶乌龟，时间在变化，路程也在增加，因此选择D 项，故本题的正确答案为D 项．本题采用淘汰法完成选择题．例11小明同学骑自行车去郊外春游，图11-12表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）小明出发两个半小时离家多远？（3）小明出发多长时间离家12千米？[分析] 本题主要考查学生的读图能力，及培养学生运用函数知识解决实际生活的能力．也可以待后面我们学过了一次函数的解析式来解决．解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米．（2）小明出发2小时时，离家15千米．由于在CD段小明走的路程为15千米，时间为1小时，故小明这一段的速度为15÷1=15（千米／时），∴15×O．5=7．5（千米），∴7．5+15=22．5（千米）．∴小明出发两个半小时离家22．5千米．（3）由图象可以看出小明从出发到距离家12千米有两个时刻，一是在AB段，二是在EF段，故分两种情况：①∵小明出发到出发1小时时，匀速前行，其速度为15÷1=15（千米／时）∴12÷15=0．8（时），0．8小时=48分．②∵小明出发4小时后返回，∴返回时速度为30÷2=15（千米／时）∴（30-12）÷15=1．2（时），1．2小时=1小时12分．∴4小时+1小时12分=5小时12分．故小明出发48分和出发5小时12分时离家都为12千米．小结在解决本题时，尤其是（3）小题，要注意数学思维的缜密性、全面性，要充分考虑到距家12千米时有两种情形，才不至于丢解．例12甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图11-13所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小明根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）A．这是一次1500米赛跑; B．甲、乙两人先到达终点的是乙C．甲、乙两人同时起跑; D．甲在这次赛跑中的速度为5米／秒[分析] 本题考查学生的读图能力．从图象中我们可以看到：这是一次1500米赛跑，故A是正确的．甲到达终点用时300秒，已到达终点用时不到283秒，所以甲的速度是1500÷300=5（米／秒），故B，D也正确．甲先出发，乙后出发，而且乙先到达终点，所以两人不是同时起跑，故C不正确，是错误的信息，因此，本题的正确答案为C项例13 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先从1小时爬了2千米，休息0．5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（时）与山高h（千米）之间的函数关系用图象（如图11-14所示）表示是（）[分析] 本题考查学生的读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力，解决本题的关键有两点：一是在1小时到1．5小时山高没有变化，因为他在休息，因此，淘汰B,C 两个选项；二是到山顶看日出，表示到达山顶后，山高不再增加，因此，淘汰A ，所以正确答案是D 项．本题采用淘汰法完成．课堂小结1．本节主要学习了函数的概念及函数的三种表示形式．2．应注意哪个变量是哪个变量的函数，谁是自变量，谁是因变量，自变量与因变量是相对的．3．学习本章的关键是弄清变量之间的关系．4．能利用已知图象获得相关的信息，解决实际生活中的问题．习题选择人教版课本第18～20页习题11.11．函数关系式是y ＝0．2x ，常量是0．2，变量是x 和y ，自变量是x ，y 是x 的函数．2．函数关系式是S=25h ，常量是25，变量是S 和h ，自变量是h ，S 是h 的函数． 3．（1）（2）（3）式中y 都是x 的函数，符合函数的定义，举例略.4．解：（1）①对于y=3x-5，x 取任意实数；②对于y=12--x x ，x 取不等于1的实数，即x ≠1； ③对于y=1-x ，x 取大于或等于1的实数，即x ≥1．（2）当x=5时，①y=3×5-5=10；②y=1525--=43；③y=15-=2. 5．（1）列表；（2）描点；（3）连线．所得图象（如图11-15所示）即为y=0．5x 的图象，x 是自变量，x 取任意实数．6．曲线（1）（2）（3）表示y 是x 的函数；曲线（4）中y 不是x 的函数，因为给定一个确定的x 值，有两个或两个以上的y 值与它相对应．故不符合函数的定义．7．（1）从图象上看到，体育场离张强家2．5km ，张强从家到体育场用了15分．（2）体育场离文具店2．5-1．5=1（km ）（3）张强在文具店逗留了65-45=20（分）（4）张强从文具店回家的平均速度是1．5+（100-65）=703（km/分）. 8．解：函数解析式是y=100+100·0．06％x ，即y=100+0．06x ．当x=4时，y=100+0．06×4=100．24（元）．∴存期为4个月时的本息和为100．24元．9．解：y随x变化的函数解析式为y=(3+x)2-32，即y=x2+6x. 其中x是自变量，y是x的函数．当x等于1，2，3，4时y的值如下表：10．解：y随x变化的函数解析式是y=500-5x（0≤x≤100）．画函数图象如下：（1）列表；（2）描点；（3）连线，画出y=500-5x的图象如图11-16所示．11．3条直线最多可以把平面分成7个部分；4条直线最多可以把平面分成11个部分；。
华师大版数学八年级下册_典例精析：变量与函数2
《变量与函数》典例精析2【例1】用长20m的绳子围成一个长方形，设长方形的长为x m，面积为S m2，写出S 与x的关系式，并指出哪一个变量是函数，哪一个是自变量．【分析】因为长方形面积＝长×宽，长为x m，宽为2022x-＝（10－x）m，因此S＝（10－x）x，其中x每取一个值，S有唯一值与之对应，故S是x的函数，x是自变量．【解】S＝（10－x）x，S是函数，x是自变量．【点评】在函数关系中的两个变量x、y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称为自变量，而y是随x的变化而变化的，是被动的，称为x的函数．【例2】等腰△ABC的周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长为x cm．（1）写出y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围．【解析】（1）利用等腰△ABC的周长与底和腰的关系可建立函数关系式；（2）对于腰长x和底边y的取值范围要根据三角形的三边关系考虑．【答案】（1）由题意，得x+x+y=10，即y=10－2x．（2）因为x、y为线段，所以x>0，y>0．所以10－2x>0．所以0<x<5．因为x、y为三角形的边长，所以x+x>y，即2x>10－2x，所以x>2.5．所以2.5<x<5．（3）由2.5<x<5，得5<2x<10．因此，y的取值范围是0<y<5．【点评】在实际问题中求自变量的取值范围，既要考虑函数中自变量本身的取值范围，又要考虑自变量在实际问题中有意义．【例3】已知函数y（1）当x＝7时，求函数y的值．（2）求自变量x取值范围，并求－5≤x≤10时，函数取值范围．【分析】（1）把x＝7代入，（2）由被开方数11－x≥0求得x≤11，在－5≤x≤10范围内x越大，y越小．当x＝－5时，y4；当x＝10时，y最小值为1．【解】（1）当x＝7时，y＝2；（2）∵11－x≥0．∴x≤11．y随x增大而减小，当x＝－5时，y4，当x＝10时，y＝1，∴1≤y≤4．【点评】正确理解自变量与函数的对应关系是解题关键．。
第13讲 变量与函数(解析版)-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课(人教版)
第13讲 变量与函数【学习目标】1．了解常量、变量的意义． 2．了解函数的概念． 3．会求自变量的取值范围．【基础知识】1．常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 注意：（1）变量和常量是相对而言的，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”； （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如π不是变量，而是常量；（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如2S r π=中，不能说2r 是变量，只能说r 是变量．2．函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量；（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性，即对自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应． 3．函数的解析式用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法之一．这种式子叫做函数的解析式．4．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特点举例自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 256y x x =+-一切实数 分式型等式右边是关于自变量的分式 12y x =+ 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子5y x =-使根号下的式子大于或等于0的实数 零次幂等式右边是关于自变量的零次幂()01y x =-使底数不为0的实数须使实际问题有意义． 5．函数值对于自变量x 在取值范围内的某个确定的值a ，函数y 所对应的值为b ，即当x a =，y b =时，b 叫做自变量x 的值为a 时的函数值．注意：（1）函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是一个具体值，是对具体数值而言的；（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明是自变量为多少时的函数值；（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可；（4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，相应自变量的值可以有多个．如：29y x =-中，当3x =-时，0y =；而当0y =时，3x =±； （5）当函数与实际问题相联系时，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义．【考点剖析】 考点一：变量与常量例1．列出下列问题中的关系式，并指出变量与常量．（1）运动员在400米一圈的跑道上训练，该运动员跑一圈所用的时间t （s ）与跑步速度v （m/s ）之间的关系；（2）将一根长60厘米的铁丝折成一个矩形框架，矩形的长y 与宽x 的之间的关系； （3）一支蜡烛长20cm ，每分钟燃烧的长度为0.1cm ，燃烧t 分钟后剩下的长度为l cm ，剩余长度l 与燃烧时间t 之间的关系；（4）粮店以2.4元/千克的价格出售一种大米．在售米的过程中，出售大米的质量记为m （千克），获得的米款记为W （元），米款W 与出售大米的质量m （千克）之间的关系； （5）分针旋转一周内，旋转的角度n （度）与旋转所需要的时间t （分）之间的关系． 【答案】见解析 【解析】解：（1）时间t 用关于速度v 的代数式表示为400t v=，常量是400，变量是v ，t ； （2）矩形的长y 用关于宽x 的代数式表示为()16022y x =-，常量是12，60，2， 变量是x ，y ；（3）200.1l t =-；20，0.1是常量，剩余长度l ，燃烧时间t 是变量； （4） 2.4W m =，2.4为常量，m 和W 为变量； （5）6n t =，6为常量；t ，n 为变量． 考点二：函数的概念及函数值例2．（1）判断下面各量之间的关系是不是函数关系？①已知圆的半径2r =cm ，圆的面积2S r π=与半径r ； ②长方形的宽一定时，其长与周长； ③小明的年龄与他的身高； ④2y x =； ⑤2y x =； ⑥y x =； ⑦y x =．【答案】见解析 【解析】解：①任意一个r ，则会有一个S 与之对应，故圆的面积S 与半径r 是函数关系； ②设长方形的宽为a ，长为x ，周长为C ，则22C a x =+，故该长方形的长与其周长是函数关系；③设小明的年龄为x ，他的身高为y ，对任意一个年龄值，总有一个身高值与之对应，故小明的年龄与他的身高是函数关系；④任意一个x ，则会有一个y 与之对应，故2y x =是函数关系； ⑤当1x =时，1y =或1-，故y 不是x 的函数；⑥任意一个x ，则会有一个y 与之对应，故y x =是函数关系； ⑦当1x =时，1y =或1-，故y 不是x 的函数．（2）如图，长方形ABCD 是小丽家的部分结构示意图，现准备用一堵隔墙EF （点E 、F 分别在边AD 、BC 上）将长方形ABCD 分成两个小长方形，分别作为客厅和餐厅．已知12AD =米，6CD =米，随着AE 长度的变化，餐厅的面积也在不断变化．①在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？②若AE 的长为x ，餐厅（长方形CDEF ）的面积为y ，求y 与x 的关系式； ③当AE AB =时，求餐厅的面积．【答案】①自变量是AE 的长，因变量是餐厅的面积；②672y x =-+；③36 【解析】解：①由题意可得，在这个变化过程中，自变量是AE 的长，因变量是餐厅的面积； ②由题意得，长方形CDEF 的面积为：()AD AE CD -⨯()612x =- 672x =-+，∴y 与x 的关系式是672y x =-+； ③当AE AB =， 即6x =时，667236y =-⨯+=，即此时餐厅的面积为36平方米．考点三：自变量的取值范围例3．求下列函数中自变量的取值范围．（1）21y x =-； （2）12y x =-； （3）2y x =+（4）35y x x =--；（5）42y x=-（6）123y x x =--； （7）()012x y -=．【答案】见解析 【解析】解：（1）21y x =-中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由12y x =-有意义，得20x -≠，解得2x ≠； （3）由2y x =+有意义，得20x +≥，解得2x ≥-；（4）由题意得：30x -≥且50x -≥，解得：35x ≤≤； （5）由题意得：420x -＞，解得：2x ＜； （6）由题意得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：2x ≥且3x ≠；（7）由题意得：10x -≠，解得：1x ≠．【真题演练】1．球的体积是V ，球的半径为R ，则343V R π=，其中变量和常量分别是（ ） A ．变量是V ，R ；常量是43，π B ．变量是R ，π；常量是43C ．变量是V ，R ，π；常量是43D ．变量是V ，3R ；常量是π【答案】A 【解析】解：球的体积是V ，球的半径为R ，则343V R π=， 其中变量是V ，R ；常量是43，π 故选：A ．2．近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数y （人）与 时间t （年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人5080100150200270350则下列说法不正确的是（ ）A ．表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系B ．y （人）随时间t （年）的推移逐渐增大C ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人）D ．自变量是留守儿童的人数y （人），因变量是时间t （年） 【答案】D 【解析】解：A ．表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，正确，不合题意； B ．y （人）随时间t （年）的推移逐渐增大，正确，不合题意；C ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），正确，不合题意；D ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），原题说法不正确，符合题意； 故选：D ．3．下列式子中，y 不是x 的函数的是（ ） A ．223y x x =+- B ．21y x =- C ．3y x=D ．y x =【答案】D 【解析】解：A 、223y x x =+-，y 是x 的函数，故此选项不符合题意； B 、21y x =-，y 是x 的函数，故此选项不符合题意；C 、3y x=，y 是x 的函数，故此选项不符合题意； D 、y x =，y 不是x 的函数，故此选项符合题意； 故选：D ．4．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 的值为1-和5时，输出的y 的值相等， 则b 等于（ ）A ．4B ．4-C ．2-D ．2【答案】A 【解析】解：当1x =-时，3y b =-+，当5x =时，651y =-=， 由题意得：31b -+=， 解得：4b =， 故选：A ． 5．函数15y x x=+的定义域是 ． 【答案】5x ≥-且0x ≠ 【解析】解：由题意得：50x +≥且0x ≠， 解得：5x ≥-且0x ≠， 故答案为：5x ≥-且0x ≠．6．在一周内，若欧阳同学饭卡原有208元．在校消费时间为周一到周五，平均每天在校消 费35元，则他卡内余额y （单位：元）与在校天数x （05x ≤≤）（单位：天）之间的关 系式为 ． 【答案】20835y x =- 【解析】解：根据题意，得20835y x =-，故答案为：20835y x =-．7．已知一个梯形的面积为60，上底长是高的2倍，设高为x ，下底为y ，则y 关于x 的函 数解析式为 ． 【答案】1202y xx=- 【解析】 解：设高为x ， ∵上底长是高的2倍， ∴上底长为2x ， ∵一个梯形的面积为60， ∴()2602x y x +=，∴1202y x x=-， 故答案为：1202y x x=-． 8．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，18AB =，36BC =，动点M 从点A 开始沿边AB 向 终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点N 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度 的速度向终点C 移动，如果点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，那么MBN 的面积S 随 出发时间t （s ）如何变化？写出S 关于t 的函数关系式及t 的取值范围．【答案】2436S t t=-+，09t ＜＜【解析】解：由题意出发时间为t （s ）， 则182BM t =-，4BN t =，∴MBN 的面积S 随出发时间t （s ）的解析式为：()2118244362S t t t t =-⋅=-+，09t ＜＜．9．泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距 为3米．（1）根据如图，将表格补充完整． 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度（米）0.23.49.8…（2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（3）设有x 根立柱，护栏总长度为y 米，则y 与x 之间的关系式是什么？ （4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？【答案】（1）6.6，13；（2）自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度；（3） 3.23y x =-；（4）20 【解析】解：（1）根据题意可以计算：当立柱根数为3时，护栏总长度为3.233 6.6⨯-=（米）， 当立柱根数为5时，护栏总长度为3.25313⨯-=（米）， 故答案为：6.6，13．（2）在这个变化过程中，护栏总长度随立柱根数的变化而变化， ∴自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度．（3）由题意得y 与x 之间的关系式为()0.233 3.23y x x =+-=-． 故答案为： 3.23y x =-．（4）当61y =时，3.2361x -=， 解得20x =，答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20．10．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y （元），用水量为x （立方米）．用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米超过的部分每立方米3.5元（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过10立方米时，y = ；②每月用水量超过10立方米时，y = ；（2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1）① 2.5y x =；②3.510x -；（2）15；（3）12 【解析】解：（1）①当010x ≤≤时， 2.5y x =； 故答案为： 2.5y x =；②当10x ＞时，()2.510 3.510 3.510y x x =⨯+-=-； 故答案为：3.510x -；（2）当6x =时， 2.56=15y =⨯（元）， 答：应交水费15元；（3）2.510=25⨯（元），3225＞， 即可得出该户居民月用水量超出10立方米， 当32y =时，3.51032x -=，12x =答：该户居民用水12立方米．【过关检测】1．太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量 是（ ） A ．热水器里的水温 B ．太阳照射时间C ．太阳光强弱D ．热水器的容积【答案】B 【解析】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，太阳照射时间为自变量． 故选：B ．2．下列所述不属于函数关系的是（ ） A ．长方形的面积一定，它的长和宽的关系B ．2x +与x 的关系C ．匀速运动的火车，时间与路程的关系D ．某人的身高和体重的关系 【答案】D解：A 、∵S ab =，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； B 、∵2x +中随x 的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；C 、∵S vt =，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；D 、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：D ．3．根据下面的列表，y 关于x 的函数表达式正确的是（ ）x…… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y……﹣3﹣1135……A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．1y x =-D ．21y x =+【答案】A 【解析】解：A ．对应的数值都满足21y x =+，故此选项符合题意；B ．对应的数值中，只有0x =，1y =满足21y x =-+，故此选项符合题意；C ．对应的数值中，只有2x =-，3y =-满足1y x =-，故此选项不符合题意；D ．对应的数值中，只有0x =，1y =和2x =，5y =满足21y x =+，故此选项符合题意； 故选：A ．4．按照如图所示的运算程序计算函数y 的值，若输入x 的值是5，则输出y 的值是14，若 输入x 的值是4-，则输出y 的值是（ ）A ．14-B ．13-C ．6-D ．4-【答案】C 【解析】解：把5x =，14y =代入32y x b =-中得：14152b =-，∴12b =， 把4x =-，12b =，代入24y x b =+中可得： 826y =-+=-，5．已知函数2x y +=x 的取值范围是 ，若10x =，则y 的值 是 ．【答案】2x ≥-且2x ≠3【解析】解：由已知得2020x x -≠⎧⎨+≥⎩，∴2x ≥-且2x ≠； 当10x =时，1023y +=．故答案为：2x ≥-且2x ≠，34． 6．某市倡导低碳生活，节约用电节能环保，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月 用电量不超过150度时，按0.5元/度计费；月用电量超过150度时，其中的150度仍按0.5 元/度计费，超过部分按0.65元/度计费．设每户家庭月用电量为x （150x ＞）度时，则应 交电费y 与x 之间的关系式为 ． 【答案】0.6522.5y x =- 【解析】解：由题意得，()1500.50.65150y x =⨯+-0.6522.5x =-，故答案为：0.6522.5y x =-．7．甲、乙两人准备在一段长为1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和6m/s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m 处，两人同时同向起跑． （1）两人出发后 s 乙追上甲；（2）从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y （m ）与时间t （s ）的函数关系为 ． 【答案】（1）50；（2）()12100050y t t =-+≤≤，()2210050200y t t =-≤＜【解析】解：（1）设出发t s 乙追上甲，据题意得，64100t t -=，解方程得：50t =． （2）141006y t t =+-()2100050t t =-+≤≤， ()()2650450y t t =---()210050200t t =-≤＜．8．声音在空气中传播的速度y （m/s ）（简称音速）与气温x （℃）的关系式为33315y x =+． （1）根据所给关系式填写下表： 气温x （℃） 0 5 10 15 20 25 音速y （m/s ）343346（2）随气温x （℃）的升高，音速变 ；（填“快”或“慢”）（3）气温25x =℃时，小红看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么小红和燃放烟花的所在地相距多远？【答案】（1）331，334，337，340；（2）快；（3）1730米 【解析】解：（1）当0x =时，331y =； 当5x =时，334y =； 当10x =时，337y =； 当15x =时，340y =；故答案为：331，334，337，340；（2）观察表格，随气温x （℃）的升高，音速变快， 故答案为：快；（3）当25x =时，346y =，3465=1730⨯（米），答：小红和燃放烟花的所在地相距1730米．9．将长为40cm ，宽为15cm 的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽均为 5cm ．（1）6张白纸粘合后的总长度为 cm ．（2）设x 张白纸粘合后的总长度为y cm ，求y 与x 之间的表达式． （3）你认为白纸粘合起来总长度可能为2022cm 吗？请说明理由．【答案】（1）215；（2）355y x =+；（3）不能，理由见解析【解析】解：（1）()()4040561+-⨯-40355=+⨯ 40175=+ 215=（cm ），故答案为：215；（2）()40351355y x x =+-=+； （3）不能，理由如下：3552022x +=，解得：201735x =， ∵x 是整数， ∴不能．10．某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张4A 大小 的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分 组成．制版费与印数无关，价格为：彩色页200元/张，黑白页50元/张； 印刷费与印数的关系见下表印数a （单位：册） 15000a ≤＜ 500010000a ≤＜ 彩色（单位：元/张） 2.2 2.0 黑白（单位：元/张）0.60.5（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元； （2）若印制6000册，那么共需多少费用？（3）若印制x （110000x ≤＜）册，所需费用为y 元，请写出y 与x 之间的关系式． 【答案】（1）1100元；（2）67100元；（3）见解析 【解析】解：（1）20045061100⨯+⨯=（元），（2）()6000240.56110067100⨯⨯+⨯+=（元）， ∴共需费用67100元．（3）当15000x ≤＜时，1100 2.240.6612.41100y x x x =+⨯+⨯=+， 当500010000x ≤＜时，1100240.56111100y x x x =+⨯+⨯=+。
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变量与函数知识梳理1、常量和变量的定义在一个变化过程中：发生变化的量叫做___________；不变的量叫做__________________；2、函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是_______，y是x的______．如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的__________．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的____________．3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．4、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
5、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
参考答案：1、变量常量2、自变量函数函数值解析式典例讲练1、变量和常量的定义【例1】（上海月考）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A、沙漠B、体温C、时间D、骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．点评：函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．练1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A、明明B、电话费C、时间D、爷爷分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应．解答：∵电话费随着时间的变化而变化，∴自变量是时间，因变量是电话费； 故本题选B ．点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，其中x 叫自变量，y 叫x 的函数．练2、（河师大附中期中）在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形面积S=12ah ，当a 为定长时，在此式中（ ）A 、S ，h 是变量，12，a 是常量 B 、S ，h ，a 是变量，12是常量 C 、S ，h 是变量，12，S 是常量D 、S 是变量，12，a ，h 是常量分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应；来解答即可．解答：∵三角形面积S=12ah ，∴当a 为定长时，在此式中S ，h 是变量，12，a 是常量；故本题选A ．点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作y=f （x ）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．练3、人的身高h 随时间t 的变化而变化，那么下列说法正确的是（ ）A 、h ，t 都是不变量B 、t 是自变量，h 是因变量C 、h ，t 都是自变量D 、h 是自变量，t 是因变量分析：因为函数的定义中，因变量y 随自变量x 的变化而变化，利用这一关系即可作出判断． 解答：因为人的身高h 随时间t 的变化而变化，所以t 是自变量，h 是因变量；故本题选B ． 点评：本题的解决需灵活掌握函数的定义．【例2】在圆的面积计算公式S=πR 2中，变量是（ ）A 、SB 、RC 、π，RD 、S ，R分析：在圆的面积计算公式S=πR 2中，π是圆周率，是常数，变量为S ，R ． 解答：解：在圆的面积计算公式S=πR 2中，变量为S ，R ． 故选D ．点评：圆的面积S 随半径R 的变化而变化，所以S ，R 都是变量，其中R 是自变量，S 是因变量． 练4、（华科附期中）在圆的周长公式C=2πr 中，下列说法错误的是（ ）A 、C ，π，r 是变量，2是常量B 、C ，r 是变量，2π是常量C 、r 是自变量，C 是r 的函数D 、将C=2πr 写成r=C2π，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应来解答即可．解答：在圆的周长公式C=2πr 中，C 是r 的函数，C ，r 是变量，2π是常量，将C=2πr 写成r=C2π，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数，故说法错误的是A ．故选A ．点评：本题考查了常量与变量的知识，注意掌握函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f （x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．练5、（深大附中期中）在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是__________，变量是__________．分析：因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，再结合函数的概念即可作出判断．解答：解：因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数），所以v0、2是常量，s、t是变量．点评：解答此题的关键是熟知以下概念：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．常量与变量：在某一变化过程中始终保持不变的量叫常量；不断变化的量叫变量．练6、（理工附中期中）多边形内角和α与边数之间的关系是α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是__________，常量（不变的量）是__________．分析：根据常量与变量的定义进行解答．解答：解：α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是n，α，常量（不变的量）是2，180．故答案为：n，α；2，180．点评：本题考查了常量与变量的定义，一般情况下，常量是常数不变的量，变量是变化的量，是基础题，比较简单．2、函数定义和解析式【例3】（雅礼中学期中）齿轮每分钟转120转，如果用n表示转数，t表示时间(分)，那么用t表示n的关系式是___________，其中常量是__________，变量是___________。
解析：根据题意可知齿轮的速度为120转/分，则知n=120t。
有定义可知，变化的量是t，n。
其中n随着时间的变化而变化，不变的是齿轮的速度。
答案：n=120t 120 n、t练7、某种商品的单价是每只5元，它的销售额y(元)与所售商品数量x(只)之间的关系式是，其中__________是变量，__________是常量．答案：y＝5x y、x 5练8、若某一汽车速度为每小时100千米，则行驶路程s(千米)与所用时间t(小时)的关系式是，其中___________是常量，_____________是变量．答案：s＝100t 100 s、t练9、下列命题中错误的是( )A．在等速运动公式s＝vt中，v是常量B．在用公式C＝2πR计算不同的半径所对应的周长C时，C,R是变量，2π是常量C．练习本定价0．5元／个，买x个本子付款y元，它们的关系可以表示成y＝0．5x，这里的x为自然数D．今有360本图书借给学生阅读，每人9本，则余下书数y(本)与学生数x(个)间的关系为y=360－9x，其自变量x的取值范围是0≤x<40答案：D练10、（巴蜀中学期中）某商店在售货时，其售货数量x(千克)与所得金额y(元)如下表所示．(1)写出y 与x 之间的关系式．(2)当售货量为12．5千克时，所得金额为多少元? 答案： (1)y=8.4x (2)105当堂检测1、从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（ ）A 、物体B 、速度C 、时间D 、空气2、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（ ） A 、π、R 是变量，2是常量 B 、R 是变量，π是常量 C 、C 是变量，π、R 是常量D 、R 是变量，2、π是常量3、在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）A 、太阳光强弱B 、水的温度C 、所晒时间D 、热水器4、重百大楼的销售量随商品价格的高低而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ） A 、销售量 B 、顾客 C 、商品D 、商品的价格5、在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形面积S=12ah ，当a 为定长时，在此式中（ ） A 、S ，h 是变量，12，a 是常量 B 、S ，h ，a 是变量，12是常量 C 、S ，h 是变量，12，S 是常量D 、S 是变量，12，a ，h 是常量6、人的身高h 随时间t 的变化而变化，那么下列说法正确的是（ ）A、h，t都是不变量B、t是自变量，h是因变量C、h，t都是自变量D、h是自变量，t是因变量7、在圆的面积计算公式S=πR2中，变量是（）A、SB、RC、π，RD、S，R8、某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A、数100和η，t都是变量B、数100和η都是常量C、η和t是变量D、数100和t都是常量9．某商店进一批货，每件10元，售出时，每件加利润2元，如售出x件，应收货款y元，则y与x之间的关系式为__________，其中__________是常量，___________是变量．当x＝12时，y＝_______。
家庭作业1、正方体体积V和棱长a之间的关系是___________，其中的变量是．2、在匀速运动公式s=vt中，v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程，则变量是__________，常量是__________．3、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，__________是因变量．4、在公式s=50t中常量是__________，变量是__________．5、在y=ax2+h（a、h是常量）中，因变量是__________．6、多边形内角和α与边数之间的关系是α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是__________，常量（不变的量）是__________．7、在匀速运动公式S=3t中，3表示速度，t表示时间，S表示在时间t内所走的路程，则变量是__________，常量是__________．8、在关系式V=30﹣2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是__________，因变量是__________，当t=__________时，V=0．9、直角三角形两锐角的度数分别为x，y，其关系式为y=90﹣x，其中变量为__________，常量为__________．10、圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化．在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．11、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就是说x是__________，y是x的__________．12、为了测量一种皮球的弹起高度与下落高度之间关系，通过试验，测得下列一组数据：(单位：厘米)试根据两组数据的关系写出下落高度H与弹跳高度h之间的关系式．13、某城市出租车收费按路程计算．3km之内(包括3km)收费6元，超过3km每增加1km加收1．6元，则路程x≥3km时，车费y(元)与路程x(km)之间的关系式为_______________________。