考研数3之差分方程

考研数3之差分方程
（7）一阶差分对任何数列，称数列为原数列的一阶差分．
（8）阶差分阶差分的差分称为数列的阶差分，记为
．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
（9）差分方程含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程．
（10）差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．
（11）差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解．
（12）差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，
则这个解称为此差分方程的通解．
（13）差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．
（14）差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．
例13 求的一阶差分.
解
=
=
=
=
例14 设有一笔投资(本金) ，若利率每年按r 的复利计算，年后的本利和为多少？
解设年后的本利和为，根据题意有
且满足条件：
易得年后的本利和为：
注：如果每年投资，那么年后的本利和为
此时也满足条件：
解得：
例15 求差分方程的解．
解方程可改写为
可得特征方程为
3
特征根为，于是方程的通解为
把初始条件代入通解，得C = 5. 于是方程的解为
例16 求差分方程的通解
解差分方程对应的齐次方程的通解为
（为任意常数）
由于方程中b = 1 ( 即1是特征根 )，为二次多项式，故中 s=1．设特解为
代入非齐次方程得
所以，非齐次差分方程的通解为，为任意常数．
例17 求在初始条件下的解．
解方程可改写为
其对应的齐次方程通解为
（为任意常数）
显然5不是特征根，故可设特解为．
代入非齐次方程得．
所以，非齐次差分方程的通解为，为任意常数．把初始条件代入通解，得，所以原差分方程满足初始条件的解为
五、部分习题选解
1、（习题6－2，3（6））求方程的通解．
解原方程可化为
故这是以为自变量的一阶线性非齐次方程．其通解为
即
2、（习题6－3，1（3））求方程的通解．
解此题虽然不是书中所提三种类型之一，但显然可通过令来降阶，此时原方程变为，其通解为
即
两端积分得
再对上式两端积分即得原方程的通解为
3、（习题6－4, 1（9））求方程的通解．
解原方程可化为，其特征方程的两个根为
．故对应的齐次方程的通解为
下面求的一个特解，可设为，代入方程中可得
，从而．
再求的一个特解，可设为，代入方程
得，从而．
因此原方程的一个特解为．
从而原方程的通解为．
4、（复习题六，5）借助变量代换，（），求微分方程
满足初始条件，的特解．
解令，则
，
，
代入原方程得，即．对其两端连续积分两次得．
从而．
所以．
又，代入上式得．
而，故由得．
因此所求特解为．
5、（复习题六，7）设可微，且满足
试求．
解原方程可改写为
两边求导得
两边再求一次导得，且由上式还可知．
易知的通解为，再由知所求函数为
．
6、（复习题六，11）设有微分方程，其中
试求在（）内的连续函数，使之在（）和（）内都满足所给方程，且满足条件．
解时，方程为．其通解为
由知，故其特解为．
时，方程为．其通解为．要使所求函数在上连续，必须满足
从而．
再补充定义，即得所求函数为
7、（复习题六，13）设方程有两个特解且
，求，并求出方程的通解．
解由知
又由是方程的特解知
从而
所以．进一步地，我们有
由此可得．而方程的通解为．即
．因此．
又，所以．即，解得
．取其中一个特解为．再由知．
综上所述，我们可取，；，；而方程的通解为
，（为任意常数）．
8、（复习题六，15）已知差分方程，其中均为正数，试证：通过变换，可将非齐次方程变换为的齐次方程，并由此求出的通解．
解把代入原方程得
（*）
易知对应齐次方程的通解为，为任意常数．
当时，可令（*）的一个特解为，代入（*）得．从而（*）的
通解为．
当时，可令（*）的一个特解为，代入（*）得．从而（*）的
通解为．
因此原方程的通解为
为任意常数．。