心轴的强度及刚度计算

3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 3-1】 如图 (a)所 】 示，简支梁AB受集中 截荷F=12kN， 试画 出其剪力图和弯矩图。 解 (1) 求A、B的支座反力。
(b) (a)
A x1
2m
F C
1m
B
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NA
x2
NB
C1 NA x1 F s1
M1
例3-1图 图
F C2 NA Fs A (d) 0 x2 Fs2 M2
q M F
纵纵纵纵端 纵纵中 中弯
均布载荷
集中力
NA
弯弯弯梁中弯
图 6.3
NB
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 梁的简化
A B
(a)
简支梁： 简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰链支座。
A (b) B
悬臂梁：梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端。 悬臂梁：
A B
(c)
外伸梁： 外伸梁：梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁。
σ max
①强度校核： 强度校核：
M max = ≤ [σ ] Wz
• 利用强度条件可解决三类强度计算问题：
②截面设计： 截面设计：
M WZ ≥ [σ ]
③确定需用载荷： 确定需用载荷：
M ≤ WZ [σ ]
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【例】 如图所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材料的许用应力 ［σ］=150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
σ c ,max ≤ [σ c ]
•对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图 所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为：
σ
+ max
M max ⋅ y 2 − M max ⋅ y1 = , σ max = IZ IZ
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 4、弯曲正应力强度条件 、
(c) Fs ql A
q
m1 B
l
m
x
m M Fs
q B
m
0 M
l
x
Fs-qx=0 Fs=qx
x M + qx ⋅ = 0 2
(0≤x≤l)
1 2 M = − qx 2
(0≤x≤l)
(d)
0
x
− 1 ql 2 2
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 四、剪力图和弯矩图
利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系， 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画 出剪力图和弯矩图。 出剪力图和弯矩图。
(0≤x1<a)
M
(l －a)· M/l
(c)
A 0
C
B x
M· a/l
例3-2图 图
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
2-2截面，剪力方程为：
M F s 2= − l
M ⋅ x2 l
(a<x2≤l)
弯矩方程为： M 2 = M −
(3) 绘制剪力图和弯矩图。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 3-3】 如图(a)所示，悬 (a) 】 臂梁AB受均布载荷作用,试 绘制其剪力图和弯矩图。 解 设截面m-m与B端之(b) 间的距离为x，取m-m截面的 右段为研究对象，画出受力 图，如图（b）所示。 根据平衡条件：
I y = I yc + b A
2
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、组合截面二次矩 平行移轴公式 、 【例】试求图3-2-27所示T形截面对其形心轴的惯性矩。 解： 1.求T形截面的形心座标yc
yc = A1 y1 + A2 y2 50 × 10 × 5 + 50 × 10 × 35 = = 20mm A1 + A2 50 × 10 + 50 × 10
梁内任一截面上的剪力， 梁内任一截面上的剪力，等于截面任一侧梁上外力的代 数和；梁内任一截面上的弯矩， 数和；梁内任一截面上的弯矩，等于截面任一侧梁上外力对该 截面形心力矩的代数和。 截面形心力矩的代数和。
计算剪力时：截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号； 计算剪力时 截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号； 计算弯矩时：无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下 计算弯矩时：无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
一、心轴弯曲的概念与实例 二、作用在心轴上载荷的分类 三、剪力与弯矩 四、剪力图与弯矩图 五、 平面弯曲梁的强度计算 六、平面弯曲梁的刚度计算 七、提高梁强度和刚度的措施
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例
q
F (a) (b)
心轴：工作时仅承受弯矩而不传递转矩。 心轴：工作时仅承受弯矩而不传递转矩。 受力特点： 受力特点：梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的 外力 作用。 作用。 变形特征：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯 变形特征：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯 曲变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁 曲变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、 工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T 字形和工字形等。 字形和工字形等。
y
y
y
y
z
z
z
z
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 二、作用在心轴上载荷的分类 心轴横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的 轴线组成的平面称为纵向对称平面 纵向对称平面。 纵向对称平面 集中力偶
σ max
式中, 式中
Wz = Iz ymax
M = Wz
称为截面对中性轴z的抗弯截面系数， 称为截面对中性轴 的抗弯截面系数， 其
单位为m 单位为 3或mm3
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
y y y
z d
z
h
d
z
b
D
(a)
(b)
(c)
矩形截面： 矩形截面：
圆形截面： 圆形截面：
圆环截面： 圆环截面：
中中中
Z 1 (c) 2
中中中
1
2
纯弯曲梁的变形
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 2、横截面上的正应力 、
M b
受受受
z h h M M o
σy
y o M
中中中
受受受
(a) (b)
•梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。 梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。 梁受纯弯曲时 只有正应力 •横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中 横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比， 性轴等高度的各点正应力相等， 性轴等高度的各点正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零
∑m
C2
= M 2 + F × ( x2 − 2 ) − N A × x 2 = 0 ( 2 ≤ x2 ≤ 3)
M 2 = 24 − 8 x2
(3) 绘制剪力图和弯矩图。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 3-2】 如图（a）所 】 示，简支梁AB上作用一 集中力偶M，试绘出梁 AB的剪力图和弯矩图。
的外力取负号。 的外力取负号。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 四、剪力图和弯矩图 工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。 梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs 和弯矩M可以写成x的函数：
A NA x1
M 1 C 1 2 NB a x2 l 2 B
(a)
解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得
M N A = NB = l
(2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面，剪力方程为： F
Fs (b) 0 M/l B x
M s1 = − l M M ⋅ x1 弯矩方程为： 1 = − l
s1 A
Fs1 = N A = 4kN
∑m
C1
= M1 − N A ⋅ x = 0
M 1 = 4 x1 (0 ≤ x1 ≤ 2) ②对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图(c)所
示。列平衡方程：
Fs 2 + F − N A = 0 Fs 2 = N A − F = 4 − 12 = −8kN
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 三、剪力与弯矩
A (a) NA x a l A NA
M′
m m
F B
NB
(b)
C1 m m Fs
Fs′
M
m m
F
(c)
B NB
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为：
l−a NA = ⋅ F, l
a NB = ⋅ F l
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 五、平面弯曲梁的强度与刚度计算 1、纯弯曲试验 、
A B C l P P D
纯弯曲：只有弯矩没有剪力。 纯弯曲：只有弯矩没有剪力。
Fs A
l
P B C D x
剪切弯曲：既有剪力又有弯矩。 剪切弯曲：既有剪力又有弯矩。
0
－P
M Pl A 0
B
C
D
x
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
1 2
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 4、弯曲正应力强度条件 、
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
• 对于一般塑性材料其抗拉强度与抗压强度相等时，［σ］采用材料的许用拉(压) 应力。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同（脆性材料），应分别校核抗拉强度 与抗压强度。 σ ≤ [σ ]
t , max t
mB = − N A × 3 + F × 1 = (c) 0 ∑ 1 N A = F = 4kN 3 N B = F − N A = 8kN
4 kN C B x
－8 kN
M 8 kN·m (e) A 0
C
B
x
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 (2) 列剪力方程与弯矩方程。 ① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图(b) 所示。列平衡方程： F −N =0
用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段 取左段进行分析： 取左段
l−a ∑ F = N A − Fs = 0 Fs = N A = l ⋅ F l −a ∑ mC1 = M − N A ⋅ x M = l ⋅ F ⋅ x
若取m-m截面右段 右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左 右段 段截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力 Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系。
Fs=Fs(x) M=M(x)
剪力方程 弯矩方程
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变 化规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标 表示梁的横截 用横坐标x表示梁的横截 面的位置, 纵坐标分别表示剪力F 和弯矩M的大小而画出的图形 的大小而画出的图形， 面的位置 纵坐标分别表示剪力 s和弯矩 的大小而画出的图形， 剪力图和 分别称为剪力图 弯矩图。 分别称为剪力图和弯矩图
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 •可以证明距离中性轴为 处点的正应力计算公式为： 可以证明距离中性轴为y处点的正应力计算公式为 可以证明距离中性轴为 处点的正应力计算公式为： σy=My ·y/Iz 式中， 式中，Iz为横截面对中性轴的惯性矩 对矩形截面：Iz=bh3/12，圆形截面：Iz=πd4/64。 矩形截面： ，圆形截面： 。 •离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大，最大正应力用 离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大， 离中性轴最远的梁的上 符号σ 表示，其值为： 符号 max表示，其值为：
bh 2 Wz = 6
Wz =
πd 3
32
Wz =
πD 3
32
(1 − α 4 )
d α= D
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、组合截面二次矩 平行移轴公式 、 若梁的截面形状复杂，并可分解为几个简单图形的组合， 则可用平行移轴公式计算某截面对任意轴的截面二次矩：
Iz = Izc + a A
2
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 剪力符号规定：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的 剪力符号规定 剪力方向为正，反之为负； 弯矩符号规定： 弯矩符号规定：使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反 之为负。 (＋) (－)
Fs
Fs
Fs
Fs
剪力符号规定
M
(＋)
M
(－)
M
弯矩符号规定
M
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
2.求截面对形心轴z轴的惯性矩
50 ×103 I z = I z1 + a1 A1 = + ( 20 − 5 ) × 50 ×10 = 1.17 × 105 mm 4 12 10 × 503 I z 2 = I z 2 + a2 2 A2 = + ( 35 − 5 ) × 50 × 10 = 2.16 ×105 mm 4 12 I z = I z1 + I z 2 = (1.17 + 2.16 ) ×105 = 3.33 ×105 mm 4
1 2 a b 1 M a b 1 1 2 a b 2 2 M
纯弯曲梁的变形特征： 纯弯曲梁的变形特征：
(a)
a b
①横向线仍是直线且仍与梁的 轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成 了弧线； (b) ③梁横截面的宽度发生了微小 变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区 则变窄了些。