几何模型压轴题(提升篇)(Word版 含解析)
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几何模型压轴题(提升篇)(Word 版 含解析)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.
【答案】(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=492
. 【解析】 【分析】
(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =
,1
2
PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;
(2)先判断出ABD ACE ???,得出BD CE =,同(1)的方法得出1
2
PM BD =
,1
2
PN BD =
,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;
(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ?的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ?的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论. 【详解】 解:(1)
点P ,N 是BC ,CD 的中点,
//PN BD ∴,1
2
PN BD =
, 点P ,M 是CD ,DE 的中点,
//PM CE ∴,1
2
PM CE =
, AB AC =,AD AE =, BD CE ∴=, PM PN ∴=, //PN BD ,
DPN ADC ∴∠=∠, //PM CE ,
DPM DCA ∴∠=∠, 90BAC ∠=?,
90ADC ACD ∴∠+∠=?,
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=?, PM PN ∴⊥,
故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;
(2)PMN ?是等腰直角三角形. 由旋转知,BAD CAE ∠=∠,
AB AC =,AD AE =,
()ABD ACE SAS ∴???,
ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =,
利用三角形的中位线得,12PN BD =,1
2
PM CE =,
PM PN ∴=,
PMN ∴?是等腰三角形,
同(1)的方法得,//PM CE , DPM DCE ∴∠=∠,
同(1)的方法得,//PN BD , PNC DBC ∴∠=∠,
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,
MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠, 90BAC ∠=?,
90ACB ABC ∴∠+∠=?, 90MPN ∴∠=?,
PMN ∴?是等腰直角三角形;
(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ?是等腰直角三角形,
MN ∴最大时,PMN ?的面积最大, //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面, MN ∴最大AM AN =+,
连接AM ,AN ,
在ADE ?中,4AD AE ==,90DAE ∠=?,
22AM ∴=
在Rt ABC ?中,10AB AC ==,52AN = 22522MN ∴=最大,
222111149(72)22242
PMN S PM MN ?∴=
=?=?=最大. 方法2:由(2)知,PMN ?是等腰直角三角形,1
2
PM PN BD ==
, PM ∴最大时,PMN ?面积最大, ∴点D 在BA 的延长线上,
14BD AB AD ∴=+=,
7PM ∴=,
2211497222
PMN S PM ?∴=
=?=最大. 【点睛】
此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出
12PM CE =,1
2
PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ???,解(3)的关键
是判断出MN 最大时,PMN ?的面积最大.
2.在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC =6.
(1)如图1,若将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BD ,连接AD ,则△ABD 的面积为 .
(2)如图2,点P 为CA 延长线上一个动点,连接BP ,以P 为直角顶点,BP 为直角边作等腰直角△BPQ ,连接AQ ,求证:AB ⊥AQ ;
(3)如图3,点E ,F 为线段BC 上两点,且∠CAF =∠EAF =∠BAE ,点M 是线段AF 上一个动点,点N 是线段AC 上一个动点,是否存在点M ,N ,使CM +NM 的值最小,若存在,
求出最小值:若不存在,说明理由.
【答案】(1)36;(2)详见解析;(3)存在,最小值为3.
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形,求得AD=2BC=12,根据三角形的面积公式即可得到结论;
(2)如图2,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质,得到PQ =PB,∠BPQ=90°,根据全等三角形的性质得到PH=BC,QH=CP,求得CP=AH,得到∠HAQ=45°,于是得到∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,求得∠EAC=30°,如图3,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,求得AD=AC=6,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AD,
∴AD=2BC=12,
∴△ABD的面积=1
2
AD?BC=
1
2
12×6=36,
故答案为:36;
(2)如图,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,
∴∠H=∠C=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB,∠BPQ=90°,
∴∠HPQ+∠BPC=∠QPH+∠PQH=90°,
∴∠PQH =∠BPC , ∴△PQH ≌△BPC (AAS ), ∴PH =BC ,QH =CP , ∵AC =BC , ∴PH =AC , ∴CP =AH , ∴QH =AH , ∴∠HAQ =45°, ∵∠BAC =45°,
∴∠BAQ =180°﹣45°﹣45°=90°, ∴AB ⊥AQ ;
(3)如图,作点C 关于AF 的对称点D ,过D 作DN ⊥AC 于N 交AF 于M ,
∵∠CAF =∠EAF =∠BAE ,∠BAC =45°, ∴∠CAF =∠EAF =∠BAE =15°, ∴∠EAC =30°,
则此时,CM +NM 的值最小,且最小值=DN , ∵点C 和点D 关于AF 对称, ∴AD =AC =6, ∵∠AND =90°, ∴DN =
1
2AD =12
?6=3, ∴CM +NM 最小值为3. 【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定与性质,旋转的性质,等腰直角三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
3.综合与探究:
如图1,Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点,点A 在y 轴正半轴上,点B 在x 轴正半轴上,4OA =,2OB =,将线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ,过点C 作
CD x ⊥轴于点D ,抛物线23y ax x c =++经过点C ,与y 轴交于点(0,2)E ,直线AC
与x 轴交于点H .
(1)求点C 的坐标及抛物线的表达式;
(2)如图2,已知点G 是线段AH 上的一个动点,过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F (点F 在第一象限),设点G 的横坐标为m . ①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________;
②如图3,当直线FG 经过点B 时,求点F 的坐标,判断四边形ABCF 的形状并证明结论;
③在②的前提下,连接FH ,点N 是坐标平面内的点,若以F ,H ,N 为顶点的三角形与FHC 全等,请直接写出点N 的坐标.
【答案】(1)点C 的坐标为(6,2),21322y x x =-
++;(2)①1
43
m -+;②点F 的坐标为(4,6),四边形ABCF 为正方形,证明见解析;③点N 的坐标为(10,4)或
4226,55?? ???或384,55?? ???
. 【解析】 【分析】
(1)根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌,根据全等三角形的性质得出点C 的坐标,结合点E 的坐标,根据待定系数法求出抛物线的表达式;
(2)①设直线AC 的表达式为y kx b =+,由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式,进而得解;
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ,过点F 作FP y ⊥轴,垂足为点P ,PF 的延长线与
DC 的延长线交于点Q ,根据等腰三角形三线合一得出AG CG =,结合①由平行线分线
段成比例得出点G 的坐标,根据待定系数法求出直线BG 的表达式,结合抛物线的表达式求出点F ;利用勾股定理求出AB BC CF FA ===,结合90ABC ?∠=可得出结论; ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标,设点N 坐标为(,)s t ,根据勾股定理分别求出
2FC ,2CH ,2FN ,2NH ,然后分两种情况考虑:若△FHC ≌△FHN ,则FN =FC ,NH
=CH ,若△FHC ≌△HFN ,则FN =CH ,NH =FC ,分别列式求解即可. 【详解】 解:(1)
4=OA ,2OB =,
∴点A 的坐标为(0,4),点B 的坐标为(2,0),
线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ,
AB BC ∴=,90ABC ?∠=,
90ABO DBC ?∴∠+∠=,
在Rt AOB 中,90ABO OAB ?∴∠+∠=,
=OAB DBC ∴∠∠,
CD x ⊥轴于点D ,
90BDC ?∴∠=, 90AOB BDC ?∴∠=∠=.
AB BC =,
ABO BCD ∴△≌△,
2CD OB ∴==,4BD OA ==, 6OB BD ∴+=,
∴点C 的坐标为(6,2),
∵抛物线2
3y ax x c =++的图象经过点C ,与y 轴交于点(0,2)E ,
236182c a c =?∴?++=?
, 解得,122
a c ?
=-???=?,
∴抛物线的表达式为2
1322
y x x =-
++; (2)①设直线AC 的表达式为y kx b =+, ∵直线AC 经过点()6,2C ,(0,4)A ,
∴624k b b +=??=?
,
解得,134k b ?
=-
???=?
,即143y x =-+,
∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为:1
43
m -+,
故答案为:143
m -+.
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ,
OM m ∴=,1
43
GM m =-+,
AB BC =,BG AC ⊥, AG CG ∴=,
90AOB GMH CDH ?∠=∠=∠=,
OA GM CD ∴,
1OM AG
MD GC
∴
==, 1
32
OM MD OD ∴===,
3m ∴=,1433
m -+=,
∴点G 为(3,3),
设直线BG 的表达式为y kx b =+,将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得,20
33k b k b +=??
+=?
,
3
6k b =?∴?=-?
,即表达式为36y x =-, 点F 为直线BG 和抛物线的交点,
∴得2
132362
x x x -
++=-, 14x ∴=,24x =-(舍去), ∴点F 的坐标为(4,6),
过点F 作FP y ⊥轴,垂足为点P ,PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ,
4PF ∴=,2AP =,2FQ =,4CQ =,
在Rt AFP △中和Rt FCQ △中,根据勾股定理,得25AF FC ==, 同理可得25AB BC ==,
AB BC CF FA ∴===, ∴四边形ABCF 为菱形, 90ABC ?∠=, ∴菱形ABCF 为正方形;
③∵直线AC :1
43
y x =-+与x 轴交于点H , ∴1
403
x -
+=, 解得,x =12, ∴(12,0)H ,
∴222(64)(26)20FC =-+-=,222(126)(02)40CH =-+-=, 设点N 坐标为(,)s t ,
∴222(4)(6)FN s t =-+-,222(12)(0)NH s t =-+-, 第一种情况:若△FHC ≌△FHN ,则FN =FC ,NH =CH ,
∴2222
(4)(6)20(12)40s t s t ?-+-=?-+=?
, 解得,11425265s t ?
=????=??
,226
2s t =??=?(即点C ),
∴4226,55N ??
??
?; 第二种情况:若△FHC ≌△HFN ,则FN =CH ,NH =FC ,
∴2222
(4)(6)40(12)20s t s t ?-+-=?-+=?
, 解得,11385
45s t ?
=????=??
,22104s t =??=?,
∴384,55N ??
??
?或(10,4)N , 综上所述,以F ,H ,N 为顶点的三角形与△FHC 全等时,点N 坐标为(10,4)或4226,55??
???
或384,55??
??
?. 【点睛】
本题是函数与几何的综合题,考查了待定系数法求函数的表达式,全等三角形的判定与性质,菱形与正方形的判定,旋转的性质,勾股定理等知识,其中对全等三角形存在性的分析,因有一条公共边,可对另外两边进行分类讨论,本题有一定的难度,是中考压轴题.
4.我们定义:如图1,在△ABC 看,把AB 点绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”,点A 叫做“旋补中心”. 特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”,AD 是△ABC 的“旋补中线”. ①如图2,当△ABC 为等边三角形时,AD 与BC 的数量关系为AD= BC ;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=23,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)①1
2
;②4;(2)AD=
1
2
BC,证明见解析;(3)存在,证明见解析,
39.【解析】【分析】
(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=1
2
AB′即可解决问题;
②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;
(2)结论:AD=1
2
BC.如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M,首先证
明四边形AC′MB′是平行四边形,再证明△BAC≌△AB′M,即可解决问题;
(3)存在.如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN.连接DF交PC于O.想办法证明PA=PD,PB=PC,再证明∠APD+∠BPC=180°,即可;
【详解】
解:(1)①如图2中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AB=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD=1
2AB′=
1
2
BC,
故答案为1
2
.
②如图3中,
∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD=1
2B′C′=
1
2
BC=4,
故答案为4.
(2)结论:AD=1
2 BC.
理由:如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M
∵B′D=DC′,AD=DM,
∴四边形AC′MB′是平行四边形,
∴AC′=B′M=AC,
∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,
∴∠BAC=∠MB′A,∵AB=AB′,
∴△BAC≌△AB′M,
∴BC=AM,
∴AD=1
BC.
2
(3)存在.
理由:如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN.
连接DF交PC于O.
∵∠ADC=150°,
∴∠MDC=30°,
在Rt△DCM中,∵3,∠DCM=90°,∠MDC=30°,
∴CM=2,DM=4,∠M=60°,
在Rt△BEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°,
∴EM=1
BM=7,
2
∴DE=EM﹣DM=3,
∵AD=6,
∴AE=DE,∵BE⊥AD,
∴PA=PD,PB=PC,
在Rt△CDF中,∵3CF=6,
∴tan∠3
∴∠CDF=60°=∠CPF,
易证△FCP≌△CFD,
∴CD=PF,∵CD∥PF,
∴四边形CDPF是矩形,
∴∠CDP=90°,
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴∠ADP=60°,∵∠BPF=∠CPF=60°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APD+∠BPC=180°,
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”,
在Rt△PDN中,∵∠PDN=90°,PD=AD=6,3,
∴2222
++39.
=(3)6
DN PD
【点睛】
本题考查四边形综合题.
5.请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=3,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而得到∠BPC=∠AP′B=__________;,进而求出等边△ABC的边长为__________;
问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=5,BP=2,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
【答案】(17;(25
【解析】
试题分析:(1)利用旋转的性质,得到全等三角形.
(2)利用(1)中的解题思路,把△BPC,旋转,到△BP’A,连接PP’,BP’,容易证明△APP’是直角三角形,∠BP’E=45°,已知边BP’=BP2,BE=BP’=1,勾股定理可求得正方形边长.
(17
(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A.
∴AP′=PC=1,BP=BP′2;
连接PP′,在Rt△BP′P中,
∵BP=BP′2,∠PBP′=90°,
∴PP′=2,∠BP′P=45°;
在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP5
∵2
22
125
+,即AP′2+PP′2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°,
∴∠AP′B=135°,
∴∠B PC=∠AP′B=135°.
过点B作BE⊥AP′,交AP′的延长线于点E;则△BEP′是等腰直角三角形,
∴∠EP′B=45°,
∴EP′=BE=1,
∴AE=2;
∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=5;
∴∠BPC=135°,正方形边长为5.
点睛:本题利用题目中的原理迁移解决问题,解题利用了旋转的性质,一般利用正方形,等腰,等边三角形的隐含条件,构造全等三角形,把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
6.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE,AD⊥BE.(2) AD=BE,AD⊥BE.22.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),得AD=BE,∠EBC=∠CAD,延长BE
交AD于点F,由垂直定义得AD⊥BE.
(2)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),AD=BE,∠CAD=∠CBE,由垂直定义得∠OHB=90°,AD⊥BE;
(3)作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,PC=BE,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE;当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE,故22【详解】
(1)结论:AD=BE,AD⊥BE.
理由:如图1中,
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形, ∴AC=BC ,CE=CD , ∠ACB=∠ACD=90°, 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
=== ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F , ∵BC ⊥AD , ∴∠EBC+∠CEB=90°, ∵∠CEB=AEF , ∴∠EAD+∠AEF=90°, ∴∠AFE=90°,即AD ⊥BE . ∴AD=BE ,AD ⊥BE . 故答案为AD=BE ,AD ⊥BE . (2)结论:AD=BE ,AD ⊥BE .
理由:如图2中,设AD 交BE 于H ,
AD 交BC 于O .
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形, ∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°, ∴ACD=∠BCE ,
在Rt △ACD
和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
===, ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠CAD=∠CBE ,
∵∠CAO+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH , ∴∠BOH+∠OBH=90°, ∴∠OHB=90°, ∴AD ⊥BE , ∴AD=BE ,AD ⊥BE .
(3)如图3中,作AE ⊥AP ,使得AE=PA ,则易证△APE ≌△ACP , ∴PC=BE ,
图3-1中,当P 、E 、B 共线时,BE 最小,最小值=PB-PE=5-32, 图3-2中,当P 、E 、B 共线时,BE 最大,最大值=PB+PE=5+32, ∴5-32≤BE≤5+32, 即5-32≤PC≤5+32.
【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形全等的条件,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
7.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.
(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______;
(2)如图2,若将三角板△D EC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时,其余条件均不变,则(1)中的猜想是否还成立,若成立,请证明,不成立请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图3,(1)中的猜想还成立吗?直接写出结论,不用证明.
【答案】(1)相等,垂直.(2)成立,证明见解析;(3)成立,结论是FH=FG,FH⊥FG.
【解析】
试题分析:(1)证AD=BE,根据三角形的中位线推出FH=1
2
AD,FH∥AD,FG=
1
2
BE,
FG∥BE,即可推出答案;
(2)证△ACD≌△BCE,推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案;(3)连接BE、AD,根据全等推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案.试题解析:
(1)解:∵CE=CD,AC=BC,∠ECA=∠DCB=90°,
∴BE=AD,
∵F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点,
∴FH=1
2
AD,FH∥AD,FG=
1
2
BE,FG∥BE,
∴FH=FG,
∵AD⊥BE,
∴FH⊥FG,
故答案为相等,垂直.
(2)答:成立,
证明:∵CE=CD,∠ECD=∠ACD=90°,AC=BC,∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE,
由(1)知:FH=1
2
AD,FH∥AD,FG=
1
2
BE,FG∥BE,
∴FH=FG,FH⊥FG,
∴(1)中的猜想还成立.
(3)答:成立,结论是FH=FG ,FH ⊥FG . 连接AD ,BE ,两线交于Z ,AD 交BC 于X , 同(1)可证
∴FH=
12AD ,FH ∥AD ,FG=1
2
BE ,FG ∥BE , ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形, ∴CE=CD ,AC=BC ,∠ECD=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠BCE ,
在△ACD 和△BCE 中
AC BC ACD BCE CE CD ??
∠∠???
=== , ∴△ACD ≌△BCE , ∴AD=BE ,∠EBC=∠DAC ,
∵∠DAC+∠CXA=90°,∠CXA=∠DXB , ∴∠DXB+∠EBC=90°, ∴∠EZA=180°﹣90°=90°, 即AD ⊥BE , ∵FH ∥AD ,FG ∥BE , ∴FH ⊥FG , 即FH=FG ,FH ⊥FG , 结论是FH=FG ,FH ⊥FG.
【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理,旋转的性质等知识点的理解和掌握,能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.
8.(操作发现)
(1)如图1,△ABC 为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB 重合,再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ,在三角板斜边上取一点F ,使CF=CD ,线段AB 上取点E ,使∠DCE=30°,连接AF ,EF .
①求∠EAF 的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
(类比探究)
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出
∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,
∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,
∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD 中,
∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
解析几何(大题)
21.(本小题满分12分)[2017皖南八校]如图,点()2,0A -,()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点,,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点,直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ,且121 4 k k =- ,AP OM ∥,BP ON ∥. (1)求椭圆C 的方程; (2)判断OMN △的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. 【答案】(1)2 2:14 x C y +=;(2)定值1. 【解析】(1)22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ,椭圆22:14x C y +=. (2)设直线MN 的方程为y kx t =+,()11,M x y ,()22,N x y , ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??, 122841 kt x x k +=-+,2122 44 41t x x k -=+, ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=, ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=, ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? , ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??
解析几何压轴大题专题突破
解析几何压轴大题专题突破 1. 已知命题 p :方程 x 22m + y 29?m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :双曲线 y 25 ? x 2m =1 的离心率 e ∈( √6 2 ,√2),若命题 p ,q 中有且只有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. 2. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα, y =sinα,(α 为参数),以坐标 原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π 4 )=2√2. (1)写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 3. 在直角坐标系 xOy 中,直线 C 1:x =?2,圆 C 2:(x ?1)2+(y ?2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C 1,C 2 的极坐标方程; (2)若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π 4(ρ∈R ),设 C 2 与 C 3 的交点为 M ,N ,求 △ C 2MN 的面积. 4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x =?1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A ,B 两点. (1)求抛物线的标准方程; (2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ????? ?OB ????? 的值; (3)如果 OA ????? ?OB ????? =?4,直线 l 是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由. 5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x ?√2y +4=0 相切. (1)求该抛物线的方程; (2)在 x 轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M ,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A ,B 两点,使得 1 ∣AM∣ +1∣BM∣ 为定值.如果存在,求出点 M 坐标;如果不 存在,请说明理由. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 A 的坐标为 (2?3sinα,3cosα?2),其中 α∈R .在极坐标系(以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 C 的方程为 ρcos (θ?π 4 )=a . (1)判断动点 A 的轨迹的形状; (2)若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数 a 的值. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :x 2a + y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √6 3 .且 过点 (3,?1). (1)求椭圆 C 的方徎; (2)动点 P 在直线 l :x =?2√2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M ,N 两点,使得 PM =PN ,再过 P 作直线 l?⊥MN ,直线 l? 是否恒过定点,若是,请求出该定 点的坐标;若否,请说明理由. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,C 1:{x =t, y =k (t ?1) (t 为参数).以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ?6ρsinθ+33=0. (1)求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 P ,Q 分别为 C 1,C 2 上的动点,且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2,求 k 的值.
高考数学总复习 专题七 解析几何 7.3 解析几何(压轴题)精选刷题练 理
7.3 解析几何(压轴题) 命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向 1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足 为N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t -n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. (1)证明由题知F. 设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R.
记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)解设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由题设可得|b-a|, 所以x1=0(舍去),x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1. 新题演练提能·刷高分 1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上. (1)求点B的轨迹E的方程; (2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0. ∵C(0,1),则, 在☉C中,∵DC⊥DB, ∴=0,∴-+y=0, 即x2=4y(y>0). ∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0). (2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y, 设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则