反证法

1．反证法证明数学命题的四个步骤 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真．
常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定 义或已被证明了的结论相矛盾；
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤614. 与假设矛盾，因此假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能同时大于14.
一、选择题 1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为( ) A．自然数a，b，c都是奇数 B．自然数a，b，c都是偶数 C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无 偶数，其二是至少有两个偶数．
3．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论 的否定是
() A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多”与“至少”互为否定，“一个”对 应“两个”．
4．a＋b＞c＋d的必要不充分条件是( )
A．a＞c
B．b＞d
[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[证明] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证 明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们 确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线 ɑ.
∴AB⊥BC，AC⊥BC 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平 面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛 盾．综上，经过一点A只能有平面ɑ的一条垂线．
已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b， 求证：过a、b、m有且只有一个平面．
[证明] ∵a∥b， ∴过a、b有一个平面α. 又m∩α＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b， ∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α. 即过a、b、m有一个平面α 假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α. 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有 一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．
[辨析] 结论中的三个数可能有一个数或两个数大于14，或 者三个数都大于14三种情况，而其对立面只有一种情形，即三个 数同时大于14，采用反证法证明只需解决这一种情形即可．假设 三个数的积大于614，事实上不大于614，出现矛盾，从而否定假 设，此外，本题中错把(1－a)·a≤(1－a2＋a)2＝14，(1－b)b≤14， (1－c)c≤14写成(1－a)a＜(1－a2＋a)2＝14，(1－b)b＜14，(1－c)c ＜14.
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛 盾 ， 或 与定义、公理、 定理 、 事实 矛盾等．
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α 相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而 要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面 两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α， 与题设矛盾．
4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否 定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易 错之处是“假设”错写成“设”．
1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过 正确的推理 ， 最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ， 从 而 证 明了原命题 成立 ，这样的证明方法叫做反证法．反证 法是 间接证明 的一种基本方法．
[点评] 本题已知为p，q的三次幂，而结论中只有p， q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩 法，但很难证，故考虑采用反证法.
[例 2] 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π， b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋6π. 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
[证明] 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 则 a＋b＋c≤0.而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－ 2x＋6π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因为 π－3>0，且(x －1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故假设错误． 因此 a，b，c 中至少有一个大于 0.
(2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也 与题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交． [点评] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考 虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳 倒，才能推出命题结论正确．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [证明] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝ 8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋ 6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所 以p＋q≤2.
[例4] 求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实 数根时，bc≠0.
[证明] 假设bc＝0，则有三种情况出现： (1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是方程x2 ＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛 盾． (2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋ c2≠0与x2＋c2＝0矛盾．
[点评] 该命题中有“至少……”，直接方法很难证 明，故可采用反证法．
类 题 解 法 揭 示 ： 当 命 题 中 出 现 “ 至 少 ……” 、 “ 至 多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、 “唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一 个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一 个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
1．知识与技能 了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法 的思考过程、特点． 2．过程与方法 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．
本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步 骤．
本节难点：应用反证法解决问题． 用 反 证 法 证 明 问 题 ， 一 般 由 证 明 p⇒q ， 转 向 证 明 ¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到 判断¬q为假，得出q为真．反证法，不是从已知条件去直接 证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演 绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α， a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两 条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只 能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交 直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
[误解] 假设三个数都大于14， 即(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14， 三个数相乘，得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a＞614. 又因为(1－a)·a＜(1－a2＋a)2＝14，(1－b)·b＜14，(1－c)·c ＜14，
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＜614. 这与假设矛盾，因此假设不成立． 所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a 不可能同时大于14.
C．a＞c且b＞d
D．a＞c或b＞d
[答案] D
[解析] A，B是既不充分也不必要条件，C是充分不
必要条件，只有D正确，可用反证法证明；若a＞c或Leabharlann Baidu＞d
不成立，则a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，与a＋b＞c＋d
矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知
条件是不充分的．
二、填空题 5．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点 必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不 共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边相等 的四边形是平行四边形．其中真命题是________． [答案] ① 6．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、 BD的位置关系是________． [答案] 异面
2．设 a、b、c 都是正数，则三个数 a＋1b，b＋1c，c＋1a( ) A．都大于 2 B．至少有一个大于 2 C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2
[答案] C [解析] 假设都小于 2 则(a＋1b)＋(b＋1c)＋(c＋1a)＜6，而
a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾
(2)与假设矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾．
2．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一 个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．
3．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥” 的反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为 “≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”； “＝”的反面为“≠”或“>及<”．
三、解答题 7．如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的 高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上． [证明] 假设点M在线段CD上，则BD<BM＝CM<CD， 且 AB2 ＝ BD2 ＋ AD2 ， AC2 ＝ AD2 ＋ CD2 ， 所 以 AB2 ＝ BD2 ＋ AD2<BM2＋AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，AB<AC.这 与AB>AC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小 于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个 内角不小于60°.
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1 ＝ 0 ， x2 ＝ － b ， 这 与 已 知 条 件 ： 方 程 有 两 个 非 零 实 根 矛 盾．
综上所述，bc≠0.
[例 5] 设 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证(1－a)b，(1 －b)c，(1－c)a 三个数不可能同时大于14.
[正解] 假设三个数同时大于14，即(1－a)b＞14，(1－b)c
＞14，(1－c)a＞14，三个数相乘，
得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a＞614，
即(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＞614
又
因
为
(1
－
a)·a≤(
1－a＋a 2
)2
＝
1 4
，
(1
－
b)·b≤
1 4
，
(1
－
c)·c≤14，