多元复合函数求偏导数

x
2
1
k k
2
y kx
极限不存在
（二） 求偏导数和全微分:
1. u x yz2 求一阶偏导数及全微分.
2.
设z ln(x2 sin y)，求
2z xy
3. z x, y x2ey (x 1) arcsin y
x
求zx (1, 0).
• 答案
1. u x
y z2
x , yz2 1
…… • 当 P Rn 时，
z f (P) f (x1, x2, xn )为 n 元函数。
2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有
限次的四则运算和复合步骤所构成，可 用一个式子所表示的函数，称为多元初 等函数。
• 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的。
（二）偏导数与全微分
1．偏导数
链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构，可按照 “连线相乘，分线相加”的原则来进行 。
设 z f u,v,u x, y,v x, y,
则 z f x, y, x, y是 x, y 的复合函数.
若1 u
x
, u y
, v , u x y
存在，2 z
f
u, v 可微，
则 z z u z v x u x v x z z u z v . y u y v y
T 1, yx0 zx0
2．曲面的切平面及法线 （1）设曲面方程为（隐函数形式）
F(x, y, z) 0
M 0 (x0 , y0 , z0 ) 为曲面上一点 ，则曲面在 点 M0 处 的法向量为
n Fx, Fy, Fz M0
切平面方程为
Fx(x0 , y0, z0 )(x x0 ) Fy(x0, y0, z0 )( y y0 ) Fz(x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
z Fy(x, y, z) y Fz(x, y, z)
（五）微分法在几何上的应用 1．空间曲线的切线及法平面 （1）设空间曲线：
x x(t)，y y(t)，z z(t) t为参数
M0 (x0 , y0, z0 ) 是曲线上一点，其相应
的参数为t0 ，则曲线在点 M0 处切向量为
T xt0 , yt0 zt0 ,
答案： x2 y2 z2 6
1.方程组
x yz 0
确定隐函数
即曲线 y y(x), z z(x) ，其切向量为
T 1, y(x), z(x) T (1, 0, 1) P0
切线方程： x 1 y 2 z 1 1 0 1
法平面方程：(x 1) (z 1) 0
2.设切点为 P0 x0, y0, z0 , 则法向量为:
2．全微分
微分公式：若z f (x, y)的全微分存在，则
dz z dx z dy x y
（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系
• 一元函数：可导 函数可微，
一元函数：可导 连续，
• 多元函数：偏导数连续
函数可微
函数的偏导数存在
函数连续
多来自百度文库函数连续 函数的偏导数存在。
（四）多元函数微分法 1．多元复合函数求导法 （1）链式法则
u y
x yz2
ln
x,
u z
2zx yz2
ln
x
du y z2 x yz21dx x yz2 ln xdy 2zx yz2 ln xdz
z
2x z cos y 2z
2x cos y
2. x
x2
sin
y
, y
x2
sin
y
, xy
(x2
sin
y)2
.
3.zx
(1,
0)
d dx
z ( x,
变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它
对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
z f (P)
• 当 P R 时， z f (P) f (x) 为一元函数；
• 当 P R2 时，
z f (P) f (x, y) 为二元函数；
• 当 P R3 时，
z f (P) f (x1, x2, x3) 为三元函数；
u
x
z
y
v
x
y
求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.
若z f u,v,u x,v x,
则 dz z du z dv dx u dx v dx
称为全导数.
ux z
vx
设z f u(x),v(x, y), y
则 z f du f v x u dx v x
方法2
n // n1,
x0 2
y0 1
z0 t, 1
x0 2t, y0 t, z0 1,
代入曲面，得
t
2 6
, x0
4 6
,
y0
2 6
, z0
2, 6
所求方程为 即
2
x
4 6
y
2 6
z
2 6
0
2x y z 2 6 0
求
u
x2 a2
y2 b2
z2 c2
在点
M ( x0 ,
1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在 的点的函数值， 2.求出在的边界上可能的最大值﹑最小值, 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者 就是最小值。 • 在实际问题中往往可根据问题本身的性 质来判定驻点是否是最值点。
三 例题分析
（一）求定义域和极限 1. f (x, y, z) arcsin x2 y2
f1
, z
f1
zf
2
x yf2 y
yf
2
（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平 面和法线曲线的切线和法平面
1.求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0
在点 P0 (1, 2,1) 处的切线方程及法平面方程.
xyz0
2.作一平面与直线 2x y 3z 2 0 垂直且
与球面 x2 y2 z2 4 相切.
（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
2．计算公式：若 z f (x, y) 可微，则
f f cos f sin
l x
y
其中 为 x轴正向到方向 l的转角
• 若 u f (x, y, z) 可微,则
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中 ﹑ ﹑ 为方向 l 的方向角。
注意: 方向导数存在 偏导数存在
3. 梯度：
设z f x, y在平面区域D内具有一阶连续
偏导数，则对于每一点(x, y)，向量
gradf
f x
,
f y
称为z f (x, y)在点 (x, y)的梯度。
梯度与方向导数的关系：
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。
第八章 习题课
多元函数微分学
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏
导数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及 法线。
3．条件极值：函数 z f (x, y) 在条件 (x, y) 0 下的极值称为条件极值。
求条件极值的方法： (1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题； (2)可以用拉格朗日乘数法。
拉格朗日函数为
L(x, y, ) f (x, y) (x, y)
4．函数的最大值和最小值 • 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法
M
j
u z
Mk
2 x0 i 2 y0 j 2z0 k,
a2
b2
c2
（四）多元函数的极值和最值
将正数 a 分成三个正数 x, y, z 之和,使
得 u xyz2 最大.
分析 目标函数u xyz2,条件x y z a 方法1 将y a - x - z代入u xyz2得
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx(x0 , y0 , z0 ) Fy(x0 , y0 , z0 ) Fz(x0 , y0 , z0 )
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f (x, y)
则可写为隐函数形式 f (x, y) z 0
曲面上
M
点的法向量为
0
n fx, fy, 1
z
2.讨论极限
lim
x0
1 cos(x (x y)2
y)
y0
xy
lim
x0
x2
y2
y0
• 答案:
1. z 0 z x2 y2 或 z 0, z x2 y2
2. (1) 令 u x y, 1
2
(2)设 沿直线趋近于(0,0)
lim
x0
x2
xy y2
lim
x0
(1
kx2 k2)
z f v f y v y y
ux zv
y
注意： z 与 f 是不同的。 y y
2．隐函数求导法： 方法1 对方程两端求（偏）导数，然后解
出所求（偏）导数 方法2 隐函数的求导公式：
设 z z(x, y) 是由方程 F(x, y, z) 0
所确定的隐函数，则
z Fx(x, y, z) x Fz(x, y, z)
y0 , z0 ) 处沿点
的向径 r0 的方向导数，问 a,b,c 具有什么关系时
此方向导数等于梯度的模?
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
r0
x2 0
y2 0
z2 0
,
cos x0 , cos y0 , cos z0 .
r0
r0
r0
在点 M 处的方向导数为
u r0
M
u x
M
cos
连续的二阶偏导数，记
A fxx (x0 , y0 ) B fxy (x0 , y0 ) C f yy (x0 , y0 )
（1）当AC B2 0时，f (x0 , y0 ) 是极值。
A 0，极小值； A 0 ，极大值；
（2）当 AC B2 0 时，不是极值；
（3）当 AC B2 0 时，不能确定。
n Fx , Fy , Fz P0 2x0, 2 y0, 2z0
所求平面的法向量
i jk
n1 1 1 1 2i j k
2 1 3
方法1 所求平面设为 2x y z D 0
由点到平面的距离公式，有
0 x0 0 y0 0 z0 D 2,即 D 2 6 22 12 12
所求平面： 2x y z 2 6 0
（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。
z lim x z lim f (x x, y) f (x, y)
x x0 x x0
x
z lim y z lim f (x, y y) f (x, y)
y y0 y y0
y
（2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数
的微分法问题，对一个变量求导，暂时将 其余变量看作常数。
曲线在点
M
处的切线方程为
0
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
曲线在点 M0处的法线方程为
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
若曲线的方程表示为
y y x
z
z
x
则在点M0 处切向量为
（七）函数的极值﹑最大值和最小值
1．极值的必要条件：
若 z f (x, y) 在点 x0, y0 处有极值，则
fx(x0 , y0 ) f y(x0 , y0 ) 0
这时称 x0, y0 为驻点。
• 驻点不一定是极值点
2．充分条件：
设z f (x, y)在驻点 x0, y0 的某邻域内有
f 具有连续偏导数，求偏导数.
• 答案:
4. z x
f1 '
1 y
z f2 ', y
x y
f2 ',
2z xy
x
y2
f12 ''
x y3
f22
1 y2
f2 '.
5. dz (2x sin 2x)ex2 cos2 x dx
6. z z , x x z
2z x2
(x
z2 z)3
.
7. z
0)
x1
( x2 )'
|x1
2
zy (1, 0)
d
dy
z(1,
y)
y0
(ey )'
|y0 1
4. z f (x, x ) 求 z , z , 2z .
y
x y xy
5. z ex2 y2，y cos x,求 dz . dx
6.
x ln z zy
求
z x
,
2z x2
.
7.由f (y x, yz) 0确定函数z z x, y
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向
导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法
及最大（小）值的求法。
P
二 要点提示
注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别
（一）函数的概念 1.点函数的定义：
设 是一个点集，如果对于每一点P
u y
M
cos
u z
M
cos
2 x0 x0 2 y0 y0 2z0 z0 a2 r0 b2 r0 c2 r0
2 x2 y2 z2 ( 0 0 0)
r0 a2 b2 c2
2u( x0 , y0 , z0 ) .
x2 0
y2 0
z2 0
在点 M 处的梯度为
gradu
M
u x
Mi
u y