多元函数的条件极值.

m k L f k 0, i 1,2, x i x i k 1 x i
, n; , m.
L k ( x1 , x2 , k
, xn ) 0, k 1, 2,
当n = 2, m = 1 时 引入辅助函数 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 目标函数: u
x2 y2 z2 ;
2 2 z x y , x y z 1. 约束条件:
定义 设目标函数为
y f ( x1 , x2 , , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) D R n ;
约束条件为如下一组方程:
z f ( x , y ) 与 ( x , y ) 0. (1)
若由 ( x , y ) 0 确定了隐函数 y y( x ), 则使得目
标函数成为一元函数 z f ( x , y( x )). 再由
x dz dy fx f y fx f y 0, y dx dx
: k ( x1 , x2 ,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m ( m n).
为简便起见, 记 P ( x1 , x2 , 若存在 P0 , 0, 使得
, xn ), 并设 , m }.
{ P | P D, k ( P ) 0, k 1, 2,
设 F ( x, y, z , ) f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
f ( P0 ) f ( P ) , P U ( P0; ) ( 或 P ),
则称 f ( P0 ) 是 f ( P ) 在约束条件 之下的极小值 称 P0 是相应的极小值点
二、拉格朗日乘数法
先从 n = 2, m =1 的最简情形说起,即设目标函数 与约束条件分别为
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, 解出 x , y , ， ( x , y ) 0.
推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形. 例如, 求函数 u f ( x, y, z )在条件 ( x, y, z ) 0, ( x, y, z ) 0 下的极值.
1 xn m xn
m,
P0
则存在 m 个常数 1(0) , 2(0) ,
( x1(0) , x2(0) ,
(0) , m , , xn(0) , 1(0) , 2(0) ,
使得
, m(0) )
为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 n m 个方程的解:
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x )
求一元函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法.
要找函数 z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0下的可能极值点. 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ，其中 为常数, 可由
§4
条件极值
一、问 题 引 入
例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试
问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: S 2 z ( x y ) x y ; 约束条件: x yz V .
例2 设曲线 z x 2 y 2 , x y z 1. 求此曲线上
F 0
★求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域内限制.
条 件 极 值 : 对自变量除定义域内限制外, 还有其它条件限制.
条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
求出稳定点 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y( x0 )), 在此点处满足
( f x y f y x )
P0
0.
记
fx
x

fy
y

极值点必满足
f x x 0
f y y 0
( x, y) 0
L 0
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L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) ,
拉格朗日乘数法 引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
f ( x1 , x2 ,
称此函数为拉格朗日函数, 其中 1, 2, 为拉格朗日乘数.
k 1
k k ( x1 , x2 ,
m
, m )
, xn ). (3)
, m 称
在点 ( x0 , y0 , 0) 处恰好满足:
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Ly f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, L ( x , y ) 0.
(2)
通过引入辅助函数 L( x , y , ), 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 k
( k 1, 2, , m ) 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若
, xn(0) ) 是该条件极值问
(0) (0) D 的内点 P0 ( x1 , x2 ,
题的极值点, 且
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