微分方程的相关基本知识(电路用).

P ( x )dx Q( x ) e dx
对应齐次方 程的通解
非齐次方程特解
20
线性方程解的叠加性质
设 y ( x), y ( x) 分别是非齐次方程
1 2
y p( x ) y f1 ( x ) 和 y p( x ) y f 2 ( x )
的特解, 则 y ( x) y ( x) 为非齐次方程
所以原方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x )dx [ Q( x ) e dx C ]
17
dy x2 2 xy 2 xe 满足 y ( 0 ) 1 的特解. 例5 求方程 dx
解 通解为
ye
e
2 x dx
[ 2 x e
x2
2 x dx e dx C ]
a , 1, 2 2 1 x 2 x 得到方程(2)的两个特解 y1 e ,y2 e ,
而 y1 ( x ) / y2 ( x ) e
( 1 2 ) x
C , 故它们线性无关,
2 x
30
因此(2)的通解为
y C1e
1 x
C 2e
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 e1 x , 2 需要求另一个特解 y2 , 使 y2 / y1 常数.
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是(2)的解.
y1 ( x ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( x )
28
二、二阶常系数齐次线性方程的解法
y ay by 0 (2) 下面来寻找方程(2)的形如 y ex 的特解.
为可分离变量的方程.
两边积分,
g( y) dy f ( x) dx
设函数G ( y ) 和F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的某个原函数,
则 G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
8
dy 2 2 xy 的通解. 例1 求方程 dx
dy 解 分离变量, 2 2 xdx , y
11
注意：须将u代回.
dy y y 3 tan 的通解. 例3 求方程 dx x x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
y dy du u x , 作变量代换 u , y xu , dx dx x du u 3 tanu , 代入原方程得 u x dx
du dx 3 分离变量得 , tanu x
1 积分 x 2 C , y
所以通解为
1 y 2 . x C
9
1 y2 满足 y(1) 2 的特解. 例2 求方程 y 2 xy(1 x ) y 1 dy dx 解 分离变量， 2 2 1 y x(1 x ) 1 1 1 2 2 d x ln ( 1 y ) 两边积分 2 x 2 (1 x 2 ) 2
将 y ex 代入方程(2), 得 (2 a b) ex 0 ,
而e
x
0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
29
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy y x2 , 例如 dx
dx x sint t 2 , 线性的; dt
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
15
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y
解
设所求曲线为 y y( x )
dy 2 x ， y(1) 2 , dx
y 2 x dx x 2 C ,
得 C 1, 将 x 1, y 2 代入，
所求曲线方程为 y x 1 .
2
6
第二节
一阶常系数线性微分方程的解法
7
一、可分离变量的方程
称
g( y ) dy f ( x ) dx
1 2
y p( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x )
的一个特解.
21
电路中的一阶微分方程应用
22
23
24
25
第三节 解法
二阶常系数线性微分方程的
26
二阶常系数齐次线性方程解的性质
回顾
一阶齐次线性方程
y P( x ) y 0
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x
dy du u x , dx dx du 代入原式得 u x f ( u), dx
分离变量得
du dx , 两边积分即得通解. f ( u) u x
2
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
使用分离 变量法
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x )dx
.
这里记号 P( x) dx 表示P ( x ) 的某个确定的原函数.
16

2. 线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx
常数变易法： 作变换
或写成
u ln | xu | C ,
y y ln | y | C ； 再将 u 代入,得通解为 x x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
y 于是得所求特解为 ln | y | 1 . x
14
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
积分得
ln(sin u) 3 ln x lnC ,
12
y 3 即 得 原 方 程 通 解 为sin Cx . x
dy dy xy 满足初始条件 例4 求方程 y x dx dx y(1) 1 的特解.
2 2
dy y2 ( y / x )2 解 原方程变形为 , 2 dx xy x y x 1 dy du y u x , 作变量代换 u , y xu , dx dx x
y y 0, 通解 y C1 sinx C2 cos x
(2)特解: 不含任意常数的解.
定解条件: 用来确定任意常数的条件.
4
初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: 过定点的积分曲线; y x x0 y 0
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
5
例 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程.
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(2)的解； 4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解 .
设 y ( x) 是方程(2)的一个特解,
Y ( x) 是(1)的通解, 那么方程(2)的通解为
y Y y .

19
设 y ( x) 是方程(2)的一个特解,

Y ( x) 是(1)的通解, 那么方程(2)的通解为
Байду номын сангаасy Y y .
ye
P ( x )dx P ( x )dx [ Q( x ) e dx C ]

Ce
P ( x )dx
e
P ( x )dx
x2
x2
[ 2 x dx C ] e
( x2 C ) ,
由初始条件 y(0) 1 , C 1 ,
即所求特解为 y e
x2
( x 2 1) .
18
线性方程解的性质
齐次线性方程
y P( x ) y 0
(1)
(2)
非齐次线性方程 y P( x) y Q( x)
2 1 1 1 1 x 1 2 ( 2 ) dx ln lnC 2 2 2 x 1 x 2 1 x 2 2 C x 2 , 将 y(1) 2 代入得 C 10 ， 通解为 1 y 2 1 x 2 10x 2 所求特解为 1 y . 2 1 x 10
二、齐次微分方程
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
微分方程基本概念 及相关知识
1
第一节
微分方程的基本概念
在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学 与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关 系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才 有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程. 在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要 学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分 方程的解法以及它们的简单应用.
1 x u x , 即得 y2 x e , u 0 , 取特解
于是 (2)的通解为
y (C 1 C 2 x ) e
1 x
.
31
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
1,2 i
x x y e cos x , y e sinx 可以证明, 1 2
2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
27
一、二阶常系数齐次线性方程解的性质
y ay by 0
(2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；
2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1 ( x ), y2 ( x ) 是方程 (2)的两个解 , 则
设 y2 / y1 u( x ) , 即 y 2 u( x ) e 1 x , 代入方程 (2), 并约去 e
1 x
,得
2 u (21 a)u (1 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
2 故有 1 a1 b 0 , 21 a 0 ,
y xy ,
一阶
y 2 y 3 y e x , 二阶
(t x )dt xdx 0, 一阶
2
3
定义
使方程成为恒等式的函数称微分方程的解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, 通解 y Ce x ;
du u2 代入原方程得 u x , dx u 1
du u2 u u 即 x , dx u 1 u1
13
du u u 即 x u , dx u 1 u1
2
1 dx 分离变量得 (1 ) du , u x 积分得： u ln | u | ln | x | C ,
y u( x ) e
P ( x )dx
P ( x )dx
y u( x ) e
P ( x )dx
u( x ) [ P ( x )] e
P ( x ) dx
,
将y和y代入原方程得u( x ) e
Q( x ),
P ( x )dx 积分得 u( x ) Q( x ) e dx C ,