高中数学优质课件精选——人教版必修五： 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题

3.线性规划 一般的，在线性约束条件下求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解.
【即时练习】 （1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利 3万元，每生产一件乙产品获利2万元，则如何安 排生产才能获得最大利润？ （2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间 的关系吗？
【变式练习】
y x 1,
已知
x,
y
满足
x
5y
3,
求 z x2y 的
5x 3 y 15.
最大值和最小值.
解：作出如图所示的可行域， 由z x 2y得y 1 x z . 22
上述问题就转化为：当x,y满足不等式组并且 为非负整数时，z的最大值是多少？
把z 2x 3 y变形为y 2 x z ,这是斜率为 2 ,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
提示:
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
故可先作出过原点的直线l
0:
y
2 3
x，再作l 0的平行线.
当点P在可允许的取值范围内变化时， 求截距 z 的最值,即可得z的最值.
3
y
2 l0 : y 3 x
4
3
由图可知
当直线y 2 x z
O
33
经过直线x 4与直线x 2 y 8
y=3
M(4, 2)
4
x4
x 8
x2y 8
的交点 M(4, 2) 时，截距
z 3
的值最大，最大值为134 .
即 z的最大值为 z 24 3 2 14.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工
A
2
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
令 z 0 ，作直线 l : 2x 3y 0 . x 3
当把直线 l 向下平移 时，所对应的 z 2 x 3 y 的函数值 随之减小，
所以，当直 线 l 经过可行域的顶点 B 时，z 2 x 3 y 取 得最小值.
顶点 B 为直线 x 3 与直线 y 4 的交点， y
解方程组
4x 3y 12, 4x 3y 36.
可以求得顶点 D 的坐标为 3,8 ．
y D4 x 3 y 12
4
l:2x3y 0
A
2
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
x 3
此时，顶点Ｂ 3, 4 和顶点 D 3,8 为最优解．
所以
zmin 2 (3) 3 (4) 18, zmax 2 3 3 8 30.
设生产甲产品x件,乙产品y件时，工厂获得的利 润为z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
22
2
在y轴上的截距为 z 的直线. 2
y
3 l0 : y 2 x
4
3
y=3
M(4, 2)
由图可知
x
当直线y 3 x z O 22
4
x4
8
x2y 8
设甲、乙两种产品分别生产x,y件，由已知条件
可得二元一次不等式组：
x 2 y 8，
44
x y
16， 12，
x
0，
y 0.
将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有
坐标为整数的点 P( x, y) 时 ,安排生产任务 x, y 都
是有意义的.
y
4 y=3
3
x
O
4
8
x2y 8
x4
上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，
探究点2 简单线性规划问题的图解方法
例 1.设 x, y 满足约束条件 x 3, y 4, 4x 3y 12, 4x 3y 36.
求目标函数 z 2x 3y 的最小值与最大值.
解 ：作 出 可 行 域（ 如 图 阴 影 部 分 ）.
y 4x 3y 12
D
4
l :2x 3y 0
经过直线x 4与x 2 y 8
的交点M(4, 2)时，截距的值最大，最大值为 8.
即 z的最大值为 z 34 2 2 16.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工 厂获得最大利润16万元.
【提升总结】
在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用 图解法求最优解的步骤为：
（1）在平面直角坐标系内画出可行域；
其坐标为 3, 4 ；
4
l :2x 3y 0
A
2
o
y 4 B
D
4
x
3
y
12
x
C
4x 3y 36
x 3
当把直线 l 向上平移时，所对应的 z 2x 3y 的函数值随之增大，
所以，当直线 l 经过可行域的顶点 D 时， z 2x 3y 取得最大值.
顶点 D 为直线 4x 3y 12 与直线 4x 3y 36 的交点，
厂可获得最大利润14万元.
1.线性约束条件
x 2 y 8，
上述问题中，不等式组
44 xy
16， 12，
是一组对Байду номын сангаас量
x
0，
y 0
x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y
的一次不等式，所以又称为线性约束条件.
2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标
函数.又因为z=2x+3y是关于变量x,y的一次解析 式，所以又称为线性目标函数.
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产 一件乙产品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多 可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工 作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目 标函数、可行域、可行解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简 单的问题.(重点、难点）
探究点1 简单线性规划问题及有关概念
进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产 一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最 大? 提示：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获 得的利润为z,则z=2x+3y.
（2）将目标函数
z ax by(b 0) 变形为
ya
x
z ,
bb
将求z的最值问题转化为求直线 y a x z 在 y
轴上的截距 z 的最值问题；
bb
b
（3）画出直线 ax by=0并平行移动，平移过程中最先
或最后经过的点为最优解；
（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函 数的最值.