数学模拟试卷专转本

江苏省普通高校专转本统一考试

高等数学模拟试卷(一)

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）

1．已知当0x →时，函数()arctan f x x x =-是3

x α的等价无穷小，则常数α=（ ）． (A)

13 (B) 13- (C)16 (D) 1

6

- 2．若)(x f 是奇函数，()f x 在点0x =处可导，则0=x 是函数()

0()(0)0

f x x F x x f x ⎧≠⎪

=⎨⎪'=⎩的

（ ）．

(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点 3．对于反常积分

1

1

d p

t x +∞⎰

的收敛性，正确的结论是（ ）． （A ）当1p >时收敛 （B ）当1p <时收敛

（C ）当1p ≠时收敛 （D ）对p 的任意取值均不收敛

4．直线2100260x y y z +-=⎧⎨

+-=⎩

与123

345x y z -++==的位置关系是（ ）． （A ）平行 （B ）重合 （C ）斜交 （D ）垂直

5．设曲线2y x ax b =++与3210xy y --=在点(1,1)-处相切，则,a b 的值分别为（ ）．

（A ）1,1 （B ）1,1-- （C ）1,1- （D ）1,1-

6．．对级数 1

22

1

(1)n n n k +∞

=-+∑，以下说法中正确的是（ ）． (A) 对任意常数k ，级数都发散 (B) 对任意常数k ，级数都条件收敛

(C) 对任意常数k ，级数都绝对收敛 (D) 对不同常数k ，级数的敛散性不同

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）

7．设函数231

1()11x x f x x k x ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

在点1x =处连续的，则k = ．

8．设

20

()x f x t =

⎰

，则(2)f '= ．

9．设23

11x t y t ⎧=+⎨=-⎩，则2

d d t y

x == ． 10．设1cos 0()0

x

x f x x

x -⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩, 则(0)f '= ．

11．设⎪⎭

⎫

⎝⎛=x y f z ，则=∂∂+∂∂y z y

x z x ． 12．将()arctan f x x =展开为x 的幂级数，得()f x = ．

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）

13

．求极限0

x →．

14．设函数()y y x =由方程1y

y xe =+确定，求

22

d d x y

x =．

15．

求不定积分.

16．计算定积分1

ln d e x x x ⎰

．

17．求过点(1,0,2)且与平面 2320x y z ++= 垂直，又与直线11

122

x y z -+== 平行的平面的方程．

18．计算二重积分sin d d D

x

x y x ⎰⎰，其中D 为由直线,,02y x x y π= = =围成的闭区域．

19．设函数)(x f 可导，且满足0

()e ()d x x f x f t t =+⎰

，求()f x ．

20．求微分方程22e x y y ''' -=的通解．

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）

21．设 1)(23+--=x x x x f ，求

(1) 函数)(x f 的单调区间与极值； (2) 曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；

(3) 函数()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值．

22．求常数b a ,的值，使直线 b ax y += 位于曲线x y ln =的上方（即对一切0>x ，

恒有 b ax +≥x ln ），且直线 b ax y +=，1=x ，3=x 和曲线 x y ln = 所围成的平面图形的面积最小．

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）

23．设函数()f u 有二阶连续导数，令22u x y =-，若复合函数22()z f x y =-满足

222222

22()()z z x y z x y x y

∂∂+=++-∂∂， 证明：()f u 满足11

44

f f u ''-=．

24．设)(x f 在],0[a 上可导，且0)(,0)0(>'=x f f ，证明：在),0(a 内存在唯一的点ξ，使0,,)(===y a x x f y 所围平面图形被直线)(ξf y =分成面积相等的两部分．

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高等数学模拟试卷(二)

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）

1．若211

lim()12

x x ax b x →∞+--=+，则,a b 分别为（ ）．

(A) 11,2-

(B) 31,2- (C) 31,2

- (D) 3

1,2

2．点0x =是函数1

111arctan 0

()10

2

x

x e x x f x e x π⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩的（ ）．

(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点

3．设当0x →时，2(1cos )sin x x -是ln(1)n x +的高阶无穷小，而ln(1)n x +又是(1)x x e -的高阶无穷小，则正整数n =( )．

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 4．考虑下列5个函数： ①x

e ； ②2x e ； ③2

x e

-； ④arctan x ； ⑤2

arctan x ．

上述函数中，当x →∞时，极限存在的是 ( )．

(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤

5．设)(u f 二阶可导，)1(x f y =，则22

d d y

x

=( )． （A ）)1

(x

f '' (B) 23

1121

()()f f x x x x

'''+ (C) 431121()()f f x x x x '''+ (D) 431121()()f f x x x x

'''-

6．下列级数中，收敛的是( )．

(A) 111

ln(1)n n

n ∞

=+∑ (B)

1!

3

n

n n ∞

=∑ (C) 121n

n n n ∞

=-⎛⎫ ⎪⎝

⎭∑ (D)

1

1

(1)n

n n n

∞

=+-∑