§95 对弧长的曲线积分

例 3 计算曲线积分 (x2 y2 z2)ds 其中 为螺旋线
xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧
解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2
并且
ds (asin t)2 (acost)2 k2dt a2 k2dt
所以
L
例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1)
解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为
xRcos yRsin ()
于是所求转动惯量I为
I y2ds L
提示
转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
§9.5 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
提示
f (x, y, z)ds f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t)2(t)dt
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
L
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 L
二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为
L f (x, y)ds
另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为
x(t) y (t) (t)
则曲线形构件L的质量为
f [(t),(t)] 2(t)2(t)dt
提示 曲线形构件L的质量元素为
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
(i,i)si
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L
上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的
•曲线形构件的质量就是曲线积分 (x, y)ds的值 L
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线
积分
n
f
(x,
y,
z)ds
lim
0 i1
f
(i ,i , i )si
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
(i,i)si
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
提示
(2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
则曲线积分 L f (x, y)ds 存在 并且
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
B(1 1)之间的一段弧
解 曲线L的参数方程为xx yx2 (0x1) 因此
1
y ds
x2
1(x2)2 dx
L
0
1
x
14x2dx 1 (5
5 1)
0
12
1
x
14x2dx 1 (5
5 1)
0
12
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
于是
f [(t),(t)] 2(t)2(t)dt
f (x, y)ds
f [(t),(t)]
2(t)2(t)dt
L
二、对弧长的曲线积分的计算
❖定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
L
例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1)
解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为
xRcos yRsin ()
于是所求转动惯量I为
I y2ds L R2 sin 2 (Rsin )2 (Rcos )2d R3 sin 2d R3( sin cos)
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f (x, y)ds L
❖对弧长的曲线积分的性质
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f (x, y)c2g(x, y)]ds c1
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i,i)si
i1
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则
称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
L f (x, y)ds 即
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
(i,i)si
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
•整个曲线形构件的质量近似为
M
n
(i,i)si
i1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i1
(i,i)si
❖对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段
>>>光滑曲线
s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t)2(t)dt
二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为
L f (x, y)ds
另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为
x(t) y (t) (t)
则曲线形构件L的质量为
所以
(x2 y2 z2)ds 2 (a2 k2t2) a2 k2dt
0
2 a2 k2 (3a2 4 2k2)
3
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
提示
(1)L的参数方Leabharlann Baidu为xx y(x)(axb)
f (x, y)ds b f [x, (x)] 1 2(x)dx
L
a
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds d f [(y), y] 2(y)1dy
L
c
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？
L
f (x, y)dsc2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
特别地 有
| L f (x, y)ds| L| f (x, y)|ds
(x2 y2 z2)ds 2 (a2 k2t2) a2 k2dt
0
例 3 计算曲线积分 (x2 y2 z2)ds 其中 为螺旋线
xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧
解 在曲线上有 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2
并且
ds (asin t)2 (acost)2 k2dt a2 k2dt