数学苏教版必修4向量的数量积(教案)

2.4 向量的数量积（1）

一、课题：向量的数量积（1）

二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念； 2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。

三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四、教学过程： （一）引入：

物理课中，物体所做的功的计算方法：

||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．

（二）新课讲解： 1．向量的夹角：

已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则

AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。 当0θ=时，a 与b 同向；

当180θ=时，a 与b 反向；

当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．

2．向量数量积的定义：

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量

积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．

说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角

有关；

②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：

如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．

||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它

是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -． （2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ

A a

b

θ ）

B

b

1B O

1 1()B

的乘积。

【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-； ②已知||4b =，a 在b 上的投影是1

||b ，则a b ⋅= 8 ；

③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．

（3）数量积的性质：

设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||

a b

a b θ⋅=

；

②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2

||a a a ⋅=或||a a a =⋅；

③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；

若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=． 4．例题分析：

例 1 已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，

∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

1

22()362

=⨯⨯-⨯=-．

例2 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．

解：作AB c =，BC a =，

∵0a b c ++=， ∴CA b =，

∵||||||||||||a b c a b -<<+且222

||||||c a b =+，

∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3

A =

，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．

五、课后练习：

补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ． 六、课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。 七、作业：

C A

B

A

B C

2.4 向量的数量积（2）

一、课题：向量数量积（2）

二、教学目标： 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式； 2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。 四、教学过程： （一）复习：

1．两平面向量垂直的充要条件； 2．两向量共线的坐标表示；

3．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=．

（二）新课讲解：

1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+， ∴2

2

112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+1212x x y y =+.

从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+．

2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度：(,)a x y =⇒ 2

2

2

22||||a x y a x y =+⇒=

+；

②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则(AB x =

③夹角：12cos ||||

a b

a b x θ⋅=

=

⋅+；

④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即12120x x y y +=

（注意与向量共线的坐标表示的区别） 3．例题分析：

例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅． 解：5(6)(7)(4)30282a b ⋅=⨯-+-⨯-=-+=-．

例2 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。

证明：∵(21,32)(1,1)AB =--=，(21,52)(3,3)AC =---=- ∴1(3)130AB AC ⋅=⨯-+⨯=∴AB AC ⊥

所以，ABC ∆是直角三角形。

说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。