高考地理 利用经纬网计算球面两点间的距离

高考地理利用经纬网计算球面两点间的距离

有的是给出材料，材料中直接或间接给出经纬度；有的是以图的形式展现，一般是经纬线与地形图、地形剖面图、区域地理图相结合。所给条件一般都隐藏在题目中，要认真分析，仔细读图，从而解读计算的距离与经纬线的关系。

地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则的椭球体。根据数学知识可知，地球表面两点间的最短距离不是连接两点的直线距离，而是经过这两点所在的圆心为地心的大圆的劣弧（不超过半圆弧）长度。

一、解题依据

可以根据经纬度差量算两点之间的距离。由于地球表面的经线圈、赤道及所有圆心为地心的大圆长度都为4万千米，所以：

1、同一经线上，全球各地纬度相差1°的间隔长度都相等（因为所有经线圈的长度为大圆，都相等），大约是111km；

2、赤道上经度相差1°对应的弧长大约也是111km；

3、由于各纬线圈从赤道向两极递减，60°纬线上的长度为赤道上的一半，所以在各纬线上经度差1°的弧长就不相等，纬度越高，同一纬线上经度相差1°的弧长就越短。纬度为α的纬线上，经度1°对应的弧长为111×cosαkm。

二、解题方法

1、同一经线上两点间的最短距离：111千米×大圆劣弧纬度差。

如：ABB\\\\\\\'在同一经线，A点纬度为α，B点纬度为β，B\\\\\\\'点纬度为γ，则同一半球AB两点最短距离为111千米×（α－β），不同半球AB两点最短距离为111千米×（α＋γ）。

2、若两点经度差等于180°，则过两点的大圆为经线圈，两点最短距离为大圆中过两极点的劣弧，即111千米×大圆劣弧纬度差。

如：A点纬度为α，B点纬度为β，则AB两点最短距离＝111千米×（90°－α）＋（90°－β）

3、赤道上两点最短距离为111千米×劣弧经度差。

4、在同一条纬线上（假设此纬线的纬度为α）两点较短距离：因为经度相差1°对应的实际弧长大约为111kmcosα，所以两点距离为111kmcosα×纬线劣弧经度差。如图，AB为111×60cos60°km。（需要注意的是，除赤道外，位于同一纬线上两点距离并不是二者的最短距离，因为纬线并不是过圆心的大圆。）

5、不同经纬线上两点最短距离：过两点的大圆不是经线圈，而是以地心为圆心、与经线圈斜交的大圆，两点最短距离不过极点，而是过两极地区的大圆的劣弧。

如图3所示，假如A、B两点既不位于同一纬线上，也不位于同一经线上，即A、B两点的经纬度都不相同，则A、B两点间的最短距离就是以地心为圆心过A、B两点大圆的劣弧长度。只要求出通过A、B两点大圆的圆弧AB对应的球心角或圆心角，就可求出A、B两点间的距离。根据球面三角形余弦定律可以计算出该球心角的大小。

球面三角形余弦定律：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的余弦等于其他两边各自对应球心角的余弦乘积加上这两边各自对应球心角的正弦及任意一边对应球心角的余弦三项乘积。如图所示，已知在球面三角形ABC中，a为A、B两点间的经度差，b为A、B两点间的纬度差，c为A、B两点间其他任意大圆的球心角或圆心角。据球面三角形余弦定律，得公式：cosc＝cosacosb＋sinasinbcos∠ACB。

由于经线NC与纬线CB互相垂直即∠ACB＝90°，上述公式可变为：cosc＝cosacosb。这样就可求出圆弧AB对应的球心角或圆心角c的大小。再根据公式L＝111千米×球心角c，计算出在不同经纬线上任意两点间的距离。

实际在计算中，可以大致进行估算。方法是：如果纬度相差不大，可以认为在同一纬线上，纬度采取与实际纬度最接近的特殊值（如30°、45°、60°等）或者结合勾股定理估算。

三、思路扩展

此类知识的应用——关于两点间最近航线方向的判断，在航海和航空的线路设计中经常应用，要求有空间立体概念。注意以下规律：

1、两点若在同一纬线上，只有东西方向。

2、两点若在同一经线上，只有南北方向。

3、若两点经度差等于180°，过这两点的大圆便是经线圈，最短航程过两极点，具体又分为三种情况。

（1）同位于北半球，最短航程一定是先向北，过极点后，再向南。

（2）同位于南半球，最短航程一定是先向南，过极点后，再向北。

（3）两地位于不同半球，这时需要讨论，要看过北极点的为劣弧，还是过南极点的为劣弧，确定后，再讨论。

4、若两点经度差不等于180°，过这两点的大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，最短航程不过两极点，而是过两极地区（或上空），具体又分两种情况。

（1）甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向西北再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南再向西，最后向西北；位于不同半球时需要讨论，方法同上。

（2）甲地位于乙地的西方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向东北再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南再向东，最后向东北；位于不同半球时需要讨论。

总之，只要掌握了规律，做到真正理解，做题就能得心应手。