离散数学左孝凌第四章

例：
设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},
：A B的映射(1-1映射)
A 1 2 3 4 B a b c d
例：判断下列函数的类型？
1. A={a,b,c,d} B={1,2,3} f： A B f(a)=1 f(b)=1 f(c)=3 f(d)=2 2. A={a,b} B={2,4,6} f： A B f(a)=2 f(b)=6 3. A={a,b,c} B={1,2,3} f： B A f(1)=a f(2)=b f(3)=c
f1={(a,1),(a,3),(b,2), (c,1)} f2={(a,1),(b,3)} f3={(a,1),(b,3), (c,1)} 定义4-1.2 函数f,g： A B，对于任意的x A有f(x)=
f(y),则称函数f和函数g相等。
思考：函数f ： A B，f也是关系，即f AB，
例：
设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},
：A B (1-1映射)
A 1 2 3 4 B a b c d
-1 B A
a b c d
1 2 3 4
设f是集合Ａ到集合Ｂ内的映射，
定义4-2.2 映射的乘积（复合函数）
内的映射，对任意aA，规定 (g f)(a)＝g( f(a)) 即
f（x）= 0 x x/2
f（x）=2x
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当x=0 x为奇数 x为偶数
§ 4-2 逆函数和复合函数
逆映射(inverse mapping)
当且仅当函数是双射时，作为关系的函数，其逆关系才是函 数，并且是双射函数。 定理4-2.1 设f： A B是一个双射函数，那么fc是 B
A的双射函数。 定义4-2.1 f： A B是一个双射函数，那么fc是 f 的逆函数，记f -1 。 注意：f也是f -1 的逆函数，故f与f -1 互为逆函数； f -1 ： B A; y=f（x） iff x = f -1 （y）
那么是不是所有AB的子集合都能构成函数？
定义4-1.3 单射(INJECTION)或入射
是A到B内的映射，如果对任意aA，bA且ab， 都有(a) (b)，就称是A到B的单射或入射或一对
设
一映射。
也可理解为：
(a) = (b)则 a=b
︳<= ︳B ︳
必要条件：︳A
例：
思考： A={1,2, …,n} 是有限集合，f是A到A的函数，
如果f是入射，f是满射吗？反之呢？如果A是无限 集合，结论又是什么？
结论:
A和B是有限集合， ︳A ︳= ︳B ︳ ， 则f： A B是入射当且仅当它是一个满射。即f为 双射。
例1：A=Z整数，f: Z Z ， 例2：A=Z整数，f: Z Z ，
定理4-2.7 函数f：A B 和函数g：B C为双射函 数，则 g f 1 f 1 g 1
设A={1,2,3},B={a,b,c,d},
：A B的映射(单射)
A 1 2 3 B a b c d
定义4-1.4 满射(SURJECTION)
设是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是 A中某元素的映象，就称是A到B的到上映射（满 射）。 即ranf=B 即对任意的y B，必然存在x A使得y= f(x) 。 必要条件： ︳A ︳>= ︳B ︳
律。
定理4-2.2 两个函数的复合是一个函数。 定理4-2.3 g f 是一个复合函数， 1. g，f 为满射，则g f也是满射。 2. g，f 为入射，则g f也是入射。 3. g，f 为双射，则g f也是双射。 定义4-2.3 函数f：A B 叫做常函数，如果存在某个 对于每一个 有 f ( x) y0 x A y0 B 即 。 f ( A) y0 定义4-2.4 函数f：A A 叫做恒等函数，如果对于每 一个x 有f（x）=x。记f为IA 。

定义4.1.1 函数或映 射(MAPPING)
R f ranf y xx A且 y f x
例：
设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d},
f：A B的映射
A 1 2 3 4 5 6
B a b c d
例：设A ={a,b,c}, B ={ 1，2，3，4 }，下列A到B 的关系中，那一个是函数？
§4.1 函数的概念
A,B是集合，f AB,对于任意的x A,均有唯一的y B，使得 <x,y>f，则称f为A到B的函数关系，简称为A到B的函数或者 A到B的映射。 f 记作f：A B或 A B 若A为有限集合，则f也为有限集合， 且| |=| A |。 <x,y>f，称x为自变元，y称为在f作用下x的像。 <x,y>f亦可记为y=f(x),且记 f（A）={f(x) ︱ x X}。 注意：1.函数的前域（定义域）为A，即dom f=A. 2.一个x A只能对应于唯一的一个y，即如果f(x) =y且f(x) =z， 则y=z。 3.f的值域（像集合）ran f B,也记为Rf 。即
定理4-2.4 函数f：A B ，则 f f I A I B f
定理4-2.5 如果函数f：A B 有逆函数 f 1 : B A ， f f 1 I B 则 f 1 f I A 。 定理4-2.6 函数f：A B 为双射函数，则 f 1 1 f

例：
设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d},
：A B的映射(满射)
A 1 2 3 4 5 6 B a b c d
定义4-1.5
设
1-1映射(双射)
是集合A到集合B内的映射。如果既是A到B的 满射，又是A到B的入射，则称为A到B的1-1映射
(one-to-one correspond-ence),或双射(bijection)。 必要条件： ︳A ︳= ︳B ︳
g是集合Ｂ到集合Ｃ
g f { x, z x A z C (y)( y B y f ( x) z g( y))}
显然g f是集合Ａ到集合Ｃ内的映射，我们称此映射为 映射g与映射f的乘积（g在左边可复合f）。
不难证明：映射的乘积满足结合律，但是不满足交换