数学建模讲义(电子科技大学_徐全智_)

任何一个模型仅为一个真实系统某一方面 的理想化，决不是真实系统的重现. 数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界 为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。
是用数学符号、数学公式、程序、图、表等 刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化 表述.
例 大夫的决策问题
空 间 想 象 能 力
数 学 建 模 能 力
数 据 处 理 能 力
使 用 数 学 软 件 能 力
更 新 数 学 知 识 能 力
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二. 数学模型与数学建模 数学模型（Mathematical Model）：重结果； 数学建模（Mathematical Modeling）：重过程 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事 物中感兴趣的主要性质。 * 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机； * 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象
不同假设
1. 假设净相对增长率r=bd 是常数,得到 Malthus 模型： N(t)= N0ert , t≥0 模型分析 假若净增长率r>0,人口的预测值将 以℮r为公比按几何级数无限增长. 不太符合实际，原因是假设条件过于简单. 模型改进
得到Logistic模型：
N Ke rt 0 K N (t ) rt rt K K N (e 1) 1 ( 1)e 0 N 0 模型分析
两边积分得函数方程：
v W B W B Cv gy ln , 2 C C W B W
若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度 v(300).(试一试) * 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒） * 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增 大,y 也增大,可求出函数y=y(v)
应用数学的过程可概括为以下五个阶段： 1. 科学地识别和剖析问题； 2. 建立数学模型； 3. 对研究中所选择的模型求解数学问题； 4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序；
5. 解释原问题的结论并评判这些结论。
* 建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.
学习数学建模的困难：
(1) “学着用”数学和“学”数学根本不同在于 在于明白在何处用数学，怎样用数学； (2) 掌握成功运用数学建立数学模型所需的 技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所 需的技巧迥然不同。
(1) 应该怎样安排摩托车？ (2) 下一辆到达的车是什么类型？ (3) 怎样描述一辆车的车身长度？ (4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队 中的哪一列中去？ 问题的解决： (1) 认为摩托车不会占有实际空间. (2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法
卡车
0
轿车
0.55 0.95 1
自行车
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。
始于现实世界并终于现实世界
例2.1 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）
美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能 很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？ 联想：安全 、危险 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能. 问题的关键
3. 怎样安排性急的游客？
在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等 待，乐意花钱？ 4. 人的指纹是否惟一？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必 要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个 数学结构.
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世 界
3.请将此例的人口模型与新产品销售模型 （讲义p14例2.2.6）进行类比,它们在建模方 法和模型描述方面有什么异同处?
二. 建模艺术
建模模式千差万别，无法归纳出普遍的 准则与技巧 建立一个数学模型和求解一道数学题目 有极大差别
没有唯一正确答案 有不同的建模方法 具有可转移性 具有不唯一性
1. 建模没有唯一正确的答案：评价模型优劣的 唯一标准是实践检验 2. 不同的建模方法： *机理分析法 根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.
* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)
* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末 速度.（原问题是什么?） 可利用的数据条件：
圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B=470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移 满足的微分方程：
数 学 建 模
徐 全 智
应用数学学院
第一章 序言
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； *产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。
三. 数学建模的教与学 *工程技术人员应具备雄厚的数学基础和良 好的数学素质,应用数学能力是必备的科研能力. * 应用数学是所涉及到的纯数学和其它学科 相互作用的一门学科
影响因素
个 体 的 出 生 、 死 亡
迁 入 、 迁 出
年 龄 结 构
性 别 比 例
……
现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。 在时间段t内，出生和死亡人口数的变化 将依赖于以下因素： 建模过程 1.时间间隔t的长短； 2.时间间隔开始时的人口基数. 1 dN b d N dt
模型分析 等式左端（以及右端）可以理解 为“相对增长率” 对相对增长率做不同的假设可以建立不同 的数学模型，并得到不同的解曲线。
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出 y= 238.4 (英尺)＜300（英尺） 问题的实际解答：美国原子能委员会处理 放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。 例2.2 渡口模型 一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米， 可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样 在甲板上安排过河车辆的位臵,才能安全地运 过最多数量的车辆. 分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运 多少辆各类车.
发展观察力，形成洞察力 培养交流与表达的能力 熟练使用技术手段
科技论文写作能力
第二章 数学与现实世界
一. 从现实世界到数学模型 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁 面对各类问题： 1. 世界的末日？ 当一个直径约为1000米的小行星正好在南极 与南极洲大陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？ 2. 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免 水雾浸湿游客的衣衫？
1. 若r 0, 随着t , 则有N (t ) 0; 2. 若r 0, 对N 0的任意值， 当t 时均有
N (t ) ; 3. 若 r 0 时， N (t ) N 0 .
思考 请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征, 据此讨论： 1. Logistic模型具有哪些特点？ 2. 比较两个人口模型的优缺点.
状态（可能） 治愈 行动 等待 （人能控制）治疗 瘫痪 死亡
此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果. 可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定 及治疗原则等.
数学模型是思考的工具
构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 获得理解、加强对所采取的行动及结果的 预测能力，它应有助于思考过程.
数学建模：创立一个数学模型的全过程 是运用数学的思维方法、数学的语言去近似 地刻画实际问题，并加以解决的全过程。 数学建模方法是一种数学的思考方法，是 解决实际问题的一种强有力的数学工具。
准备工作： 观察数日，发现每次情况不尽 相同，得到下列数据和情况： (1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列； (2) 来到车辆中,轿车约占40％，卡车约占55％, 摩托车约占5％； (3) 轿车车身长为3.5～5.5米,卡车车身长为8～ 10米. 这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循 “先到先服务”的随机排队问题。 解决方法 采用模拟模型方法. 分析 需考虑以下问题：
建立的模型常有明确的物理或现实意义 *测试分析法 将研究对象视为一个内部机理 无法直接寻求的“黑箱”系统. 采用系统辨识方法
输入 x(t) 黑箱系统 求y=y(x)
输出y(t)
建立输出和输入间的关系 测量系统的输入、 输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合. *计算机模拟 借助于计算机的快速运算， 对实际研究对象的属性或变量进行模拟。 计算机模拟可视为对研究对象进行的 “实验”或“观察”
* 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学 方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立.
21世纪科技人才应具备的数学素质与能力
抽 象 思 维 能 力
逻 辑 推 理 能 力
数 学 运 算 能 力
需多次重复模拟, 再进行统计分析
例2.3 人口增长模型 据人口学家们预测，到2033年,世界人口将突 破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长. 人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否 能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口 的增长. 分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个 地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？
(2) 确定随机到达车辆的身长车。 汽车类型及车身长模拟原理分析
(3) 关于车辆的排放. 甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为 32×2=64米 排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？） 结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身 长度，仅得到一个解答. 将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次 实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义 的.
解决思路：避开求t0的难点
令
v(t)=v(y(t)), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
将
dv dv dy . 代入（1）得 dt dy dt
dv dy m . W B Cv , dy dt
或 v dv g , W B Cv dy W v (0) 0, y(0) 0.
如何解决？
建议：
去做！去实践！ 学着用，干中学！
课程和教材特点：以介绍数学建模的一般方 法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模 型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。
理解数学知识的基础上，重点是数学方法 的掌握、数学思维的建立。
教 学 目 标
培养“翻译”能力 培养用数学思想方法的 综合应用分析能力 培养想象力
计算机模拟技术成为三大科研方法之一 3. 模型具有可转移性：一个抽象的数学模型 可用来解决不同领域的不同实际问题. 4. 建模具有不唯一性：一个实际问题可利 用多种建模方法、多种数学工具建立完全不同的 数学模型。
m
其中
d y dt
2
2
W B D
(1)
w dy m , D Cv , v g dt
或
g dv cg v (W B ), W dt W V (0) 0.
( 2)
方程的解为
W B v(t ) (1 e C
Cg t W
),
t 0
计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 分析：考虑圆桶的极限速度 W B 527.436 470.327 limv ( t ) t C 0.08 ≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒） 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的.