组合数学第四卢开澄标准答案第四章Word版

习题四

4.1.若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a= x m，则称这个群为循环群。若群

的元素交换律成立，即a , b G满足

a b = b a

则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

[证].设循环群(G, )的生成元是x0ÎG。于是，对任何元素a , b G，m，nÎN，使得a= x0m , b= x0n ,从而

a b = x0m x0n

= x0m +n (指数律)

= x0n +m (数的加法交换律)

= x0n x0m(指数律)

= b a

故运算满足交换律；即(G, )是交换群。

4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：

C={e,x,x2, ,x m-1}

是G的一个子群。

[证].(1)非空性C ：因为eÎG；

(2)包含性C G：因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ,x m-1,(x m=)eÎG，故C G；

(3)封闭性 a , b C a b C： a , b C，k，lÎN (0k

a b = x k x l = x(k+l) mod m C (因为0 (k+l) mod m < m) ；

(4)有逆元 a C a -1C： a C，kÎN (0k

a -1= x m-k C (因为0 m-k < m) 。

综合(1) (2) (3) (4)，可知(C, )是(G, )的一个子群。

4.3.若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。

[证].对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x,x2, ,x m-1}，则由习题4.2.可知(C, )是(G, )的一个子群，故具有包含性C G。因此有

m = |C| £ | G | = n

所以群G的所有元素的阶都不超过n。

4.4.若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幂：

a,a2, ,a n

的元素a的数目。

[证].设(G, )是循环群，a是其一个母元素(生成元)，a的阶为n(也是G的阶)，则

G ={a,a2, ,a n(=e) }。

(1).我们来证：对任何自然数rÎN (0< r

为此，只需证a r的阶为n即可。

首先，设a r的阶为k，因此有a r k = (a r)k= e，由于a的阶为n，故根据引理*可得n | r k 。已知0< r

其次，

(a r)n= a r n(指数律)

= a n r (数的加法交换律)

=(a n)r (指数律)

= e r

= e 。

因而，由k是元素a r的阶，具有最小性，所以k n。

综合这两方面，可得k = n。

(2).根据(1)的结论，可得，群G的母元素的数目为(n) (欧拉函数，小于n且与n 互素的数的个数)。

注.引理*.设(G,)是群。"xÎG，若x的阶为k，从而x k =e。则 "mÎN,x m＝eÛ k | m。

[证].先证Þ)：

若x m＝e，则必有k | m。

否则k∤m，于是，由带余除法，可设m=kq+r (0< r< k)，故可得r=m-kq，从而

x r＝x m-kq

＝x m+(-kq)

＝x m (x k)-q (指数律)

＝e e-q (x m＝e, x k =e)

＝e e

＝e

故与x的阶为k，具有最小性，矛盾。

次证Ü):

若k | m，则m = kq。于是

x m ＝x kq

＝(x k)q (指数律)

＝e q (x k =e )

=e。

4.5.试证循环群G的子群仍是循环群。

[证].设(H, )是循环群(G, )=的一个子群，则H中的元素都可表示成a的一些正方幂。设a m是H中指数最小的正方幂，我们来证(H, )=。为此只要证明H中任一元素都可表示成a m的正方幂即可。

任取H中一个元素a k，根据带余除法，可知有非负整数q及r，使

k=qm+r且 0r

于是由(H, )构成群，可知(a m)q H，从而(a m)-q H，于是

a r=a k (a m)-q H

由m的选择(最小性)必须有r=0，所以a k=(a m)q，这说明(H, )=，因而(H, )循环群。

4.6.若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xH yH或为空，或xH = yH。

[证].对任何x,yÎG，若xHÇ yH=Æ，则问题已证。

否则若xHÇ yH¹Æ，则必至少有一元素x0ÎxHÇ yH，从而

x0Î xHÇ yH

Þ x0Î xHÙ x0Î yH

Þ x0=x h1Ù x0 =y h2 (这里h1, h2ÎH)

Þ x h1 = y h2

Þ x = y h2h1-1Ù y = x h1h2–1 (*)

下面我们来证：xH = yH。为此，要分证：

(1)xHÍ yH；

(2)yHÍ xH；

我们只证(1) ；(2)同理可证；

对任何元素a，

aÎ xH