函数11(xy)

知
x x 2 x f ( x) f ( ) f ( ) f ( ) 0 2 2 2
x 0,1
f (1) 2
1
1 1 1 1 1 f (1) f ( ) f ( ) f ( ) [ f ( )] 2 2 2 2 2 2
1 f( )2 . 2
1 2
又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R
∴f（－x）= f（2－x）
将上式中－x以x代换，得 f（x）=f（x+2）.
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三. 判断函数奇偶性对称性
1. 已知函数 y=f(x) ，(x∈R)，若 f(2+x)=f(2-x) ， 则函数y=f(x)图象关于直线 对称。 X= 2 2. 已 知 函 数 y=f(x) ， (x∈R) ， 则 y=f(2+x) 与 y=f(2-x) 的图象关于直线 对称。 X=0
（A ）0 ； （B ）2 ；
y x3
（C ）4 ；
（D ）8 。
x1
2
x2
x4
x
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四．单调性问题
1．已知函数f(x)定义域为R，且满足任意x∈R，f(x＋ 2)= － f(x), 又 x∈[4,6] 时 ， f(x) 单 调 递 增 ， 试 比 较 f(ln4)与f(ln2)的大小。 2．设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在[0，1)上 是增函数，又f(a-2) -f(4-a2) ＜0,求实数a的范围。
同理可得
1 f ( ) 24 4
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5. 设 f （ x ）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直 线x=1对称。
求证：f（x）是周期函数。 分析：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故 f（x）=f（1+1－x）， x∈R 即f（x）=f（2－x），
4.设函数f（x）对任意
=f(x1)f(x2)
1 1 ), f ( ); ,已知f（1）=2，求f（ 2 4
1 x1 , x 2 0, 2
1 x1 , x 2 0, 2
,都有f(x1+x2)
分析：由 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
因此y=f（x）为偶函数. 说明：这类问题应抓住 f （ x ）与 f （ -x ）的关系， 需要更完整的资源请到 新世纪教 通过已知条件中等式进行变量赋值。 育网 - www.xsjjyw.com
4． 函数y=f(x) 对一切实数x满足f(4+x)=f(-x)， 若方程f(x)=0 恰好有4个不同的实根、则这些实根 之和为 （ D ）。
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3．设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足：
f（x+2）=－f（x），当0≤x≤1时,f(x)=x 则f（7.5）等于 （A）0.5 (B)-0.5 (C)1.5 ( )
(D)-1.5
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3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，
当a+b≠0，都有
（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
f ( a ) f (b ) ＞0 ab
（2）.若f（k 3 x ) f (3 x 9 x 2)＜0对x∈
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3. 设 f （ x ）是定义在 R 上的函数，对任意 x ，y∈R， 有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.
（1） 求证f（0）=1； （2） 求证：y=f（x）为偶函数.
分析:令x=y=0,2f(0)=2f 2(0), 由f（0）≠0知 f（0）=1 令x=0, 得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y）， 且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），
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二. 周期性问题与求函数值
1.若f(x+2)=－f(x)对一切x恒成立，则周期为 4
1 f ( x)
若f(x+2)=－
对一切x恒成立，则周期为 4
2．已知函数f(x)(x∈Z) 满足f(x)=f(x+1)+f(x-1), 则f(x) 是周期为 6 的周期函数 ； 如：已知定义在 Z 上的函数 f(x) 对任意 x ∈ Z 都有 f(x+1996)=f(x+1995)+f(x+1997)成立，f(x)是周期为 6 的函数.
2 x 1 2 2 x 1 2
解得
1 x 1
例 2. 已知函数 f （ x-1 ）的定义域是 [-1 ， 1] ，则 函数f(x+1)的定义域是 -3≤x≤-1 。 说明：这类问题只要紧紧抓住复合函数的特点： 即将函数 f[g （ x ） ] 中的 g （ x ）看作 f （ x ）中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解。 需要更完整的资源请到 新世纪教
抽象函数的性质研究
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源自文库
我们将没有具体给出函数解析式但给出某 些函数特性或相应条件的这类函数称为抽象 函数。近几年来连续在高考题中出现抽象函 数问题（如 2001 年高考题第（ 22 ）题）。这 类问题抽象性较强，灵活性大。解抽象函数 重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过 局部性质或图象的局部特征，利用常规数学 思想方法（如化归法、数形结合法等），这 样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有 成竹。
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一. 求定义域
例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则 函 数 y = f （ x+1 ） +f （ x － 1 ） 的 定 义 域 为 。 分析：因为 x+1 和 x-1 相当于 f （ x ）中的 x ，所 以