高三数学分布列
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（2）求随机变量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率.
练习：
4.袋A和B中装有白球和黑球若干，从A中任 取1个球白球的概率都是为1/3，从A中任取 1个球白球的概率都是为P, 甲先取，乙后取， 然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有 一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取 出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要 的取球次数。
ξ
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
p
此表从概率的角度指出了随机变量在随机 试验中取值的分布情况，称为随机变量ξ的 概率分布.
例如：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ，则ξ可 能取的值有：2，3，4，……，12. ξ的概率分布为：
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(q p) C p q C p q Cpq C p q
n n n 0
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从 二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数， 并记 C k p k q n k ＝b(k；n，p)．
n
例3.（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产 品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续 取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
3 C95 (2) P( 1) 1 P( 0) 1 3 0.144 C100
3、超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件， 其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为
nk N M n N
C C P( X k ) , k 0,1,2, , m, C 其中m=min{M,n},且nN,M N,n,M,N N* . 称分布列
C C C C C C 中奖的概率为： C
3 10 2 20 4 1 10 20 5 30 5 10
0 20
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发 生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ 是一个随机变量．
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么 在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的 k k n k 概率是 Pn ( k ) Cn p q
随机变量：如果随机试验的结果可以用 一个变量来表示，那么这样的变量叫做随 机变量。 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量。 连续型随机变量：随机变量可以取某一区间 内的一切值，这样的随机变量叫作连续型随 机变量。
抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可 能取的值有：1，2，3，4，5，6.由概率 知识可知，ξ取各值的概率都等于1/6
例4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数 记为ξ，求P(ξ>3)． 1 解：依题意，随机变量ξ～B (5, ) 6 25 4 1 4 5 所以P(ζ 4) C 5( ) , 6 6 7776 1 5 1 5 P(ζ 5) C 5( ) 6 7776
．
13 所以P(ζ 3) P(ζ 4) P(ζ 5) 3888
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；AAABBBBB （3）求甲取到白球的概率.
；
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第001章 好姐妹的背叛“北冥，你别怪我，要怪就怪你为何要比我优秀，为什么要比我早先突破，师傅已经打算将幽冥城整个传授给 你了，你知道我为了那个位置有多努力吗？现在好了，只要你死了，师傅就不得不考虑我为继承人了，到时候整个幽冥城就是我的。 弑神蛊就是专门为你找的，天下无药可解，哪怕你现在晋级神之境又如何？你还不是要被弑神蛊给吞噬而死了？现在哪怕是师傅也救 不了你，哈哈哈~”一道略显疯狂的声音从一座华美的庄园传出，在整座庄园最为中心的大殿中，已身中弑神蛊的夜北冥单膝跪在地上 大口地喘着粗气，她现在感觉五脏六腑都已经开始发出一种针扎般的刺痛，就连自己的大脑，也觉得好像被一根棍子给狠狠的敲了一 下似的，一抽一抽的疼，豆大的汗珠从她白皙的脸上滑下，顺着她洁白如玉的脖颈，流进了她饱满的胸膛，如此诱人的一幕，只可惜 陷入癫狂的秋无痕是看不见的。夜北冥忍着剧痛看着从小就与自己一起长大的好姐妹疯狂的模样，嘲讽的勾了勾嘴角，多么讽刺的一 幕啊，最信任的好姐妹，给自己下了无药可解的弑神蛊，这么的想要自己死去，就因为那高高在上的位置，想到这里，夜北冥的眼神 开始变得狠厉起来，被最亲近之人背叛残害真是一种不好受的事啊！夜北冥抬起低垂的头，嘲讽的说道:“真是没想到你竟然会背叛我 们多年的感情，可是如今我就算死了又怎样，你以为我死了师傅就会把幽冥城传授给你吗？你错了，当年是我把你从乞丐窝给带回来， 把你带在身边当自己的亲人一样对待，你以为师傅为什么会收你为徒？因为你的天赋吗？可惜你的天赋还没有濯请师弟的好，因为你 是师父仇人的孩子，当年师父知道了你的身份想杀了你，是我给阻挡的，我以好好修炼为由拜托师傅饶你一命，师傅才改变想法把你 收在她的坐下时时刻刻的监督着你，这次我死了，师傅第一个怀疑的人就是你，你以为你逃得了吗？”听了这话，大笑中的秋无痕立 马难以置信的摇头说着：“不可能，师傅不会的，我怎么可能是师父仇人的孩子呢？不可能。”夜北冥趁着秋无痕没有注意到她，将 自己身上前几天刚斩获的苍龙龙筋给甩出去将秋无痕给捆绑住，不顾秋无痕大惊失色的目光摇着头可惜的说道：“真是可惜了这么好 的龙筋，原本想用它给你做一副鞭子的，可惜你已经没有这么好的福气了，还有，我的实力早就不是是神之境了，而是神尊境，你以 为晋级了神尊境的神人身体会这么容易就被你的一只小虫子给吞噬吗？只要我活着一天，我就总会找到解药的，别忘了，我还有来自 个仙谷的梦瑶师妹呢！”说完盘膝坐在秋无痕眼前闭上眼睛运起精神力集中注意力寻找在自己体内横冲直撞想吞噬她饱含神力的血肉 的弑神蛊。夜北冥几乎用尽所有的精神力
ξ P
2
4
8
16
…
2
n
…
1 2
1 2 2
1 3 2
1 4 2
…
1 2n
…
所以，P（ξ≤10）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝4） +P（ξ＝8）＝
1 1 1 7 2 3 2 8 2 2
2、两点分布列 利用分布列和概率的性质，可以计算能由 如果随机变量 X的分布列为两点分布列，就称X服 随机变量表示的事件的概率 . 从两点分布，而称 p=P(X=1)为成功概率 . 例1、在掷一枚图钉的随机实验中，令 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X 的分布列. 解：根据分布列的性质，针尖想下的概率是 （1- p ）.于是，随机变量X的分布列是
95 95 1 5 P(ζ 0) C 0.095 0.9025, P(ζ 1) C 2 100 100 100
0 2 2
5 P(ζ 2) C 0.0025 100
2 2
2
因此，次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025
a3
练习：
3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个 球都是白球的概率为1/7，现有甲、乙两人从 袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再 取……，取后不放回，直到两人中有一人取到 白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会 是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次 数。
（1）求袋中原有白球的个数；
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
例1：一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球， 已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个 数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得 1分， 取出绿 球得0分，取出黄球得-1分，试写出从该盒内随 机取出一球所得分数ξ的分布列. 解：设黄球的个数为ｎ，则绿球的个数为2ｎ，红球的个 数为4ｎ，盒中球的个数为7ｎ，所以 2 2n 4n 4 P（ξ＝1）＝ 7 n ＝ 7 ，P（ξ＝0）＝ ＝ ， 7 7n
(其中k＝0,1,2,…，n， q 1 p) 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ P
0
1
…
k
k k nk Cn p q
…
n
n n 0 Cn p q
0 0 n 1 1 n 1 Cn p q Cn pq
…
…
由于 C p q
n k n k n k
k n
k
n k
恰好是二项展开式
0 n 0 n 1 1 n 1 n
x P 0 1-p 1 p
1，针尖向上 X 0，针尖向下
3、超几何分布列
例2、在含有5件次品的100件产品中， 任取3件，试求： （1）取到的次品数的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.
0
0 5 3 95
1
2
3
P
1 2 3 0 2 1 C C C5 C95 C5 C95 C5 C95 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100
练习：
1.一个袋中有6个同样大小的小球，编号为 1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球， 以ξ表示取出的最大号码，求ξ的分布列.
k 2.设随机变量ξ的分布 P ( ) ak (k 1,2,3,4,5) 5 （1）求常数 的值；
（2）求 P (
练习：
); 5 1 7 ) . （3）求 P ( 10 10
n 1 P（ξ＝-1）＝ 7 n＝ 7 ．
所以从该盒中随机取出一球
ξ P
1
0
-1
所得分数ξ的分布列为：
4 7
2 7
1 7
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值 为：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．ξ取 每一个ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率 P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，则称表：
ξ
Ｐ
Ｘ1
Ｐ1
Ｘ2
Ｐ2
…
…
Ｘｉ
Ｐｉ
X P
0 M
k Mwk.baidu.com
0
1
… …
m
C C C
n 0 N M n N
C C C
1 M
n 1 N M n N
C C C
m M
nm N M n N
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称 随机变量X服从超几何分布.
例3、某年级的联欢会上设计了一个摸 奖游戏，在一个口袋中有10个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同.一次 从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中 奖.求中奖的概率.
…
…
为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分 布列.
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）Ｐｉ≥0，ｉ＝1，2，……； （2）Ｐ1+Ｐ2+……＝1
例2.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二， 两次分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止， 设分裂n次终止的概率是 1/2n（n=1，2，3，„„） 记ξ 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目, 求P（ξ ≤10）． 解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的 子块数目ξ的分布列为：
（3）求甲取到白球的概率.
练习：
4.袋A和B中装有白球和黑球若干，从A中任 取1个球白球的概率都是为1/3，从A中任取 1个球白球的概率都是为P, 甲先取，乙后取， 然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有 一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取 出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要 的取球次数。
ξ
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
p
此表从概率的角度指出了随机变量在随机 试验中取值的分布情况，称为随机变量ξ的 概率分布.
例如：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ，则ξ可 能取的值有：2，3，4，……，12. ξ的概率分布为：
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(q p) C p q C p q Cpq C p q
n n n 0
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从 二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数， 并记 C k p k q n k ＝b(k；n，p)．
n
例3.（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产 品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续 取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
3 C95 (2) P( 1) 1 P( 0) 1 3 0.144 C100
3、超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件， 其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为
nk N M n N
C C P( X k ) , k 0,1,2, , m, C 其中m=min{M,n},且nN,M N,n,M,N N* . 称分布列
C C C C C C 中奖的概率为： C
3 10 2 20 4 1 10 20 5 30 5 10
0 20
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发 生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ 是一个随机变量．
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么 在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的 k k n k 概率是 Pn ( k ) Cn p q
随机变量：如果随机试验的结果可以用 一个变量来表示，那么这样的变量叫做随 机变量。 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量。 连续型随机变量：随机变量可以取某一区间 内的一切值，这样的随机变量叫作连续型随 机变量。
抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可 能取的值有：1，2，3，4，5，6.由概率 知识可知，ξ取各值的概率都等于1/6
例4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数 记为ξ，求P(ξ>3)． 1 解：依题意，随机变量ξ～B (5, ) 6 25 4 1 4 5 所以P(ζ 4) C 5( ) , 6 6 7776 1 5 1 5 P(ζ 5) C 5( ) 6 7776
．
13 所以P(ζ 3) P(ζ 4) P(ζ 5) 3888
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；AAABBBBB （3）求甲取到白球的概率.
；
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第001章 好姐妹的背叛“北冥，你别怪我，要怪就怪你为何要比我优秀，为什么要比我早先突破，师傅已经打算将幽冥城整个传授给 你了，你知道我为了那个位置有多努力吗？现在好了，只要你死了，师傅就不得不考虑我为继承人了，到时候整个幽冥城就是我的。 弑神蛊就是专门为你找的，天下无药可解，哪怕你现在晋级神之境又如何？你还不是要被弑神蛊给吞噬而死了？现在哪怕是师傅也救 不了你，哈哈哈~”一道略显疯狂的声音从一座华美的庄园传出，在整座庄园最为中心的大殿中，已身中弑神蛊的夜北冥单膝跪在地上 大口地喘着粗气，她现在感觉五脏六腑都已经开始发出一种针扎般的刺痛，就连自己的大脑，也觉得好像被一根棍子给狠狠的敲了一 下似的，一抽一抽的疼，豆大的汗珠从她白皙的脸上滑下，顺着她洁白如玉的脖颈，流进了她饱满的胸膛，如此诱人的一幕，只可惜 陷入癫狂的秋无痕是看不见的。夜北冥忍着剧痛看着从小就与自己一起长大的好姐妹疯狂的模样，嘲讽的勾了勾嘴角，多么讽刺的一 幕啊，最信任的好姐妹，给自己下了无药可解的弑神蛊，这么的想要自己死去，就因为那高高在上的位置，想到这里，夜北冥的眼神 开始变得狠厉起来，被最亲近之人背叛残害真是一种不好受的事啊！夜北冥抬起低垂的头，嘲讽的说道:“真是没想到你竟然会背叛我 们多年的感情，可是如今我就算死了又怎样，你以为我死了师傅就会把幽冥城传授给你吗？你错了，当年是我把你从乞丐窝给带回来， 把你带在身边当自己的亲人一样对待，你以为师傅为什么会收你为徒？因为你的天赋吗？可惜你的天赋还没有濯请师弟的好，因为你 是师父仇人的孩子，当年师父知道了你的身份想杀了你，是我给阻挡的，我以好好修炼为由拜托师傅饶你一命，师傅才改变想法把你 收在她的坐下时时刻刻的监督着你，这次我死了，师傅第一个怀疑的人就是你，你以为你逃得了吗？”听了这话，大笑中的秋无痕立 马难以置信的摇头说着：“不可能，师傅不会的，我怎么可能是师父仇人的孩子呢？不可能。”夜北冥趁着秋无痕没有注意到她，将 自己身上前几天刚斩获的苍龙龙筋给甩出去将秋无痕给捆绑住，不顾秋无痕大惊失色的目光摇着头可惜的说道：“真是可惜了这么好 的龙筋，原本想用它给你做一副鞭子的，可惜你已经没有这么好的福气了，还有，我的实力早就不是是神之境了，而是神尊境，你以 为晋级了神尊境的神人身体会这么容易就被你的一只小虫子给吞噬吗？只要我活着一天，我就总会找到解药的，别忘了，我还有来自 个仙谷的梦瑶师妹呢！”说完盘膝坐在秋无痕眼前闭上眼睛运起精神力集中注意力寻找在自己体内横冲直撞想吞噬她饱含神力的血肉 的弑神蛊。夜北冥几乎用尽所有的精神力
ξ P
2
4
8
16
…
2
n
…
1 2
1 2 2
1 3 2
1 4 2
…
1 2n
…
所以，P（ξ≤10）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝4） +P（ξ＝8）＝
1 1 1 7 2 3 2 8 2 2
2、两点分布列 利用分布列和概率的性质，可以计算能由 如果随机变量 X的分布列为两点分布列，就称X服 随机变量表示的事件的概率 . 从两点分布，而称 p=P(X=1)为成功概率 . 例1、在掷一枚图钉的随机实验中，令 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X 的分布列. 解：根据分布列的性质，针尖想下的概率是 （1- p ）.于是，随机变量X的分布列是
95 95 1 5 P(ζ 0) C 0.095 0.9025, P(ζ 1) C 2 100 100 100
0 2 2
5 P(ζ 2) C 0.0025 100
2 2
2
因此，次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025
a3
练习：
3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个 球都是白球的概率为1/7，现有甲、乙两人从 袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再 取……，取后不放回，直到两人中有一人取到 白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会 是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次 数。
（1）求袋中原有白球的个数；
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
例1：一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球， 已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个 数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得 1分， 取出绿 球得0分，取出黄球得-1分，试写出从该盒内随 机取出一球所得分数ξ的分布列. 解：设黄球的个数为ｎ，则绿球的个数为2ｎ，红球的个 数为4ｎ，盒中球的个数为7ｎ，所以 2 2n 4n 4 P（ξ＝1）＝ 7 n ＝ 7 ，P（ξ＝0）＝ ＝ ， 7 7n
(其中k＝0,1,2,…，n， q 1 p) 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ P
0
1
…
k
k k nk Cn p q
…
n
n n 0 Cn p q
0 0 n 1 1 n 1 Cn p q Cn pq
…
…
由于 C p q
n k n k n k
k n
k
n k
恰好是二项展开式
0 n 0 n 1 1 n 1 n
x P 0 1-p 1 p
1，针尖向上 X 0，针尖向下
3、超几何分布列
例2、在含有5件次品的100件产品中， 任取3件，试求： （1）取到的次品数的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.
0
0 5 3 95
1
2
3
P
1 2 3 0 2 1 C C C5 C95 C5 C95 C5 C95 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100
练习：
1.一个袋中有6个同样大小的小球，编号为 1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球， 以ξ表示取出的最大号码，求ξ的分布列.
k 2.设随机变量ξ的分布 P ( ) ak (k 1,2,3,4,5) 5 （1）求常数 的值；
（2）求 P (
练习：
); 5 1 7 ) . （3）求 P ( 10 10
n 1 P（ξ＝-1）＝ 7 n＝ 7 ．
所以从该盒中随机取出一球
ξ P
1
0
-1
所得分数ξ的分布列为：
4 7
2 7
1 7
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值 为：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．ξ取 每一个ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率 P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，则称表：
ξ
Ｐ
Ｘ1
Ｐ1
Ｘ2
Ｐ2
…
…
Ｘｉ
Ｐｉ
X P
0 M
k Mwk.baidu.com
0
1
… …
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C C C
n 0 N M n N
C C C
1 M
n 1 N M n N
C C C
m M
nm N M n N
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称 随机变量X服从超几何分布.
例3、某年级的联欢会上设计了一个摸 奖游戏，在一个口袋中有10个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同.一次 从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中 奖.求中奖的概率.
…
…
为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分 布列.
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）Ｐｉ≥0，ｉ＝1，2，……； （2）Ｐ1+Ｐ2+……＝1
例2.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二， 两次分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止， 设分裂n次终止的概率是 1/2n（n=1，2，3，„„） 记ξ 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目, 求P（ξ ≤10）． 解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的 子块数目ξ的分布列为：