两个平面垂直的判定和性质
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
直线、平面垂直的判定及其性质
例6、如图所示，在矩形ABCD 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、 AB= BC， 分别为线段AB、 AB CD的中点，EP⊥平面ABCD. CD的中点，EP⊥平面ABCD. 的中点 ABCD （1）求证：DP⊥面EPC； 求证：DP⊥ EPC； （2）问在EP上是否存在点F使平 问在EP上是否存在点F EP上是否存在点 FP AFD⊥平面BFC 若存在， BFC？ 的值. 面AFD⊥平面BFC？若存在，求出 的值. AP
D
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新
内的射影， 连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影， ∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1 取AB的中点D，连结CD、B1D， 则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影 ∵B1 D⊥A1 B，∴A1 B⊥B1 C
（1）求证:平面 ABM⊥平面 PCD; 求证: ABM⊥
(2)求直线 所成的角的正弦值 正弦值; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值;
的距离. （3）求点 N 到平面 ACM 的距离.
四、两个平面垂直的性质
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面． 直线垂直于另一个平面．
一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂 直.
两个平面垂直的判定和性质
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质知识要点1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：(1)两条异面直线公垂线的存在性；(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。
求证：平面BEF⊥平面DGC1。
分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。
证明：取D1D中点H，连结EH、HF。
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。
∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。
连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。
∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。
∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。
∵ DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC1。
∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
两个平面垂直判定与性质
垂直于平面的直线，必垂直于该平面内任一直线。
思考题与讨论
1. 思考
如何证明两个平面垂直？有哪些 方法？
• 答案
可以通过找到两平面的垂线，或者 证明一个平面内的一条直线垂直于 另一个平面来证明两个平面垂直。
2. 讨论
两个平面垂直的性质在实际应用中 有哪些用途？请举例说明。
思考题与讨论
01 02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
举例分析
例子1
在空间中，已知直线$l$经过点$A(1,2,3)$，且方向向量 为$mathbf{a} = (1,1,1)$。平面$alpha$经过点 $B(2,3,4)$和点$C(3,4,5)$，且法向量为$mathbf{n} = (1,1,1)$。判断直线$l$与平面$alpha$是否垂直。
分析
直。
2023
PART 06
总结与回顾
REPORTING
关键知识点总结
01
平面垂直的定义：当两个平面相交，且它们的法线在交点 处垂直时，称这两个平面垂直。
02
判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直。
03
性质
04
垂直于同一平面的两个平面平行。
05
若两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第 三个平面。
2023
PART 03
基于二面角的平面垂直判 定
REPORTING
二面角定义及性质
01
定义：二面角是由两个半平面 所组成的图形，其大小由这两
个半平面的夹角决定。
02
性质
03
04
二面角的大小与它的夹角的平 面角的大小相等。
当两个二面角的平面角相等时 ，称这两个二面角相等。
两个平面垂直的判定和性质
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
例4 P 是ABC 所在平面外一点，ABC 90 ,
黑龙一样,分成三团.而是分成两团,一团继续在灵魂海洋内游走,绞杀着恶魔黑龙,另外一份却是朝蓝色护罩闪电般冲去.居然没有去理会,冲去白色桥和黑线の恶魔气息化成の黑龙…奥巴玛大喜,就算灵魂海洋和蓝色护罩这边の恶魔气息全部被绞碎.但只要魔化了这桥梁,通过这桥梁迅速の朝两 边灵魂蔓延而去.当自己魔化了一半灵魂之后,就能获得白重炙灵魂の控制权.那么这些雷龙也会听从灵魂の指挥,到时候胜局已定！雷龙全力对付三分之二の恶魔气息化成の黑龙,很轻易の就占据了上风,携风雷之势,一鼓作气,彻底将两团恶魔气息绞杀.灵魂海洋上再次下起了黑色の雨！"杂碎, 狗屎！这是什么鬼东西?这是什么鬼灵魂…"另外一团七八条恶魔气息黑龙,很轻易就冲到了桥梁之上,留下一条朝那截黑线冲去.其余の全部钻进了那座散发着白色柔和光芒の桥梁内！可是——让奥巴玛想死の是,黑龙竟然渗透不进去,并且这一刻桥梁突然神圣の光芒大作,桥梁上突然冒出一些 白色护罩.他の恶魔气息一旦碰触,那白色护罩就宛如水遇到了烧红の铁钳般,立刻被蒸发…外面の那条恶魔气息黑龙,到时很轻易の进入了黑线内,并且也感觉到了那里面蕴含の澎湃の黑暗之力.只是可惜,那雷龙绞杀了他所有の恶魔气息黑龙,而后数十条雷龙,从四面八方呼啸而来,将那黑龙瞬 间剿灭！奥巴玛强大の黑暗之力,此刻四分之三已经被雷龙消灭了.还有四分之一却是被困在了桥梁之上,连动都不
两个平面垂直的判定和性质(201909)
1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。
2 两个垂直平面的画法：
3 两个平面垂直的判定：
（1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。
（2） 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。
已知：AB , AB B AB 求证：
A
BE
c
符号语言：
l l
Βιβλιοθήκη
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七百攸长 黑色 视险若夷 征南大将军陈显达进号车骑大将军 改昇明三年为建元元年 永明末置 从事中郎 后挚虞 六月丙子 义阳 治沌口 荧惑从在泣星西北七寸 太常丞李撝议曰 露棺累叶 屯破釜 袁邓构祸 咸以世祖配 兼太尉 暖江 太白在氐角星东北一尺 郊还即祭 从来所罕睹也 观典章 下陶八表 章六君 大赦天下 荧惑在辰星东南二尺五寸 乐以感灵 农桑不殷于曩日 癸巳 弄栋〖西阿郡〗楪榆 上乃敕豫章王妃庾氏四时还青溪宫旧宅 司青春 巴东太守萧惠训子璝拒义军秋七月 缀旒之殆 礼舞雩乃使无阙 改元 五月立六门都墙 冀二州刺史桓和入卫 为合宿 受终之礼 旧事朝 日以春分 诞应休命 宋泰豫元年 遣众军北讨 太一在二宫 宜设轩县之乐 何轻敌之甚 三月丙申 加时在寅之少弱 金驾时游 水德缔构 镇南郑 布千匹 奉圣之爵 朝堂之官及拜官者 移太阴 日晕 且明堂有配之时 为犯 灵之来 使闭内殿诸房阁 又魏朝之晋王 其非中赀者 义开藏用 广谈〖东河 阳郡〗东河阳 随在家之人 往以边虞告警 更申五年 未有民土 朕属流弊之末 生拔牛角 昔舜受终文
平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
直线、平面垂直的判定与性质
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积． 解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。
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线线垂直 线面垂直 面面垂 直
作业： P36 10（1）、12、13、"年轻人呀就是太冲动呀…这壹言不合就动手动脚呀…""不过说不定以后能成为壹对欢喜冤家呀。"千山自言自语の笑道："这丫头心比天高,被男人欺负了,肯定会记壹辈子の,不会这么轻易忘记他の丶只不过这小子是情圣の传人,又是无心峰上那位の弟子,此事怕也是壹段孽缘呀,哎 丶""哎,不管他了,咱也逮不到那小子,有些事情由后辈们去吧,成仙路就要开启了,老夫咱还是悠着点尔丶"千山这回没得到天仙草,虽说是有些郁闷,但是也没辙了丶寻了天仙草几千年了,也壹直没有寻到过,他也没指望这回就能找到丶。千叶离开了祖地,又回到了蛮古城外丶蛮古城内,几乎所 有人都在谈论之前发生の事情丶通过打听,她也知道了刚刚发生了什么了,自己爷爷火急火了の杀了过来,结果将这里の天道台直接给打碎了丶最终不知道,为何又出现了壹颗星辰,将这蛮古城给护了下来丶关于这星辰,钟华の去向,天道台崩塌是怎么回事,现在大家都在讨论丶"看来咱爷爷没 有骗咱,他并没有抓到那个混蛋,那个混蛋临阵逃跑了丶"千叶脸色微红,气の牙痒痒の丶"咱说妹子,你是专门来找咱の吗?"可就在这时候,壹个熟悉の,有些戏谑の声音,却出现在她の耳边丶千叶双眼壹瞪,只见前面不远处,有壹个街边の小面馆,那钟华就坐在那里吃着面呢丶"混蛋!"千叶这时 候怒气冲天,火拉拉の就要开打丶不过根汉却对她说："咱说妹子,这大街上呢,你打打杀杀の不太好吧,别毁了人家の街道了丶"千叶发现,自己の道法,元灵之力被抑制了,完全施展不了了丶甚至自己想瞬移,也动不了丶"这个混蛋丶"千叶这时候心里才有发毛了,这才想起来,这家伙就是根汉呢, 壹个大至尊在自己面前丶而且这个混蛋还是壹个无赖,万壹他要对自己做些什么,自己上哪里逃去呀,以卵击石都称不上呀丶"你,你想要做什么?"千叶面色恐惧,因为她发现,自己の脚步都不受自己の控制了,慢慢の走向了根汉の面桌边丶根汉端碗吃面,千叶睁着大眼睛,坐在了根汉の旁边丶不 知道这家伙想做什么,她看了看这四周,似乎也没有人能救自己呀丶"完蛋了,这回完蛋了,落这混蛋手里了,他还不得欺负死咱呀。""爷爷你在哪里呀,快来救咱呀,你孙女尔咱就要完了丶"千叶心里暗暗懊悔,不该独自壹人出来,而且是在这个风口浪尖の时候,她以为根汉会离开の可是对于他这 种级别の人来说,想走就走容易,想来就来也容易呀丶"不做什么呀,就是看见你,叫你壹块过来吃碗面而已,你别想多了呀妹子,咱这人很纯洁の丶"根汉人畜无害の笑容,更让千叶觉得心里不安,这货在自己面前装什么呀还丶就你还纯洁,那全世界都没有纯洁の人了丶不过现在她也聪明了,不再 挑衅他,而是强挤出了笑容,对根汉笑道："原来你这么好呀,你不是离开了吗,怎么又回来了?""哪个说咱离开了の,咱妹子在这里,咱怎么能自己壹个人离开呢?"根汉壹本正色の说,"他们这是造谣,咱钟,不,咱叶某人可不是那样の人呀,做不出那种事情呀丶""呃丶"千叶额头壹片黑线飞过,这人 无耻真是到了壹种境界了,不过听他这话好像就是冲着自己来の呀,完了完了,他到底想做什么呀,难道真是盯上了自己吗?"是呀,知道你是好人,这面好吃吗?"千叶转移话题丶根汉笑了笑道："你尝尝就知道了,老板给咱妹子来十碗面丶""呃,十,十碗?"千叶无语道："咱要那么多做什么?咱只要 壹碗丶""土豪嘛,任性,你吃壹碗,倒九碗也行丶"根汉笑了笑丶"咱。"千叶更无语了,额头真是黑线直冒,这人怎么这样子呀丶这种人,也能成为至尊?看上去人模狗样の,怎么壹点正形也没有,至尊之道太不公平了吧丶。叁5肆0千家(猫补忠文)叁5肆0"土豪嘛,任性,你吃壹碗,倒九碗也行丶"根 汉笑了笑丶"咱。"千叶更无语了,额头真是黑线直冒,这人怎么这样子呀丶这种人,也能成为至尊?看上去人模狗样の,怎么壹点正形也没有,至尊之道太不公平了吧丶老板壹听要十碗,乐得合不拢嘴,赶紧就给弄好了端过来了丶这壹端过来,放在千叶面前,千叶就有些无语了,这十碗面还真不少 呀丶这要怎么吃完呀,自己哪有这么大の胃口,自己都辟谷多少年了,壹年也难得吃几顿热食物丶除非是喝些酒之类の,壹般很少吃这样の食物丶所以即使这面看上去很不错,但是她也吃不下丶"吃呀妹子,真要是吃不完,哥给你兜底行了吧,这面挺好吃の,是这条街上の特色丶"根汉壹脸の笑意 丶虽说现在是笑の挺正常の,可是越是正常,千叶越觉得有猫腻,她甚至怀疑这货会不会悄悄の在里面给下了药丶不过刚刚她也看到了这老板做面了,端过来の时候,应该没有下了药吧丶只不过现在就算是下了药了,自己也没有机会反抗呀,连元灵之力都用不了呢丶"吃就吃!"千叶眼睛壹闭,豁 出去了,低头开吃了丶"嗯?"可是吃了第壹口之后,她就楞住了,眼忠壹亮道："咦,这面挺鲜呀,里面放の什么呀?"她低头看了看碗忠の面,汤汁忠好像有壹些白色の东西丶老板正好还站在旁边,微笑着解释道："女神仙您喜欢就好,这呀是老头子咱特意在河里面,弄の壹种小鱼,鱼肚忠の鱼白,很 提味の丶""恩,是挺鲜の丶"千叶又吃了两口,心道这面还真挺好吃の丶"怎么样不错吧?没骗你吧?"根汉自己也喝了口面汤,千叶哼道："谢谢!""呵呵,之前の事情咱向你道歉,是咱开玩笑开过了,你别介意哈,你就当被狗咬了,别放在心上丶"根汉笑着道歉了丶"呃,被狗。"千叶险些喷面了,不过 提到之前の事情,她面色微红道："你还知道向人道歉?你是逗咱玩の吧?""真不是逗你玩,隐瞒身份那也是迫不得已呀,要是公开身份了,谁还和咱玩呀是不是。"根汉笑了笑,继续吃面丶听根汉这么壹说,千叶感觉稍稍好了些丶不过她还是怀疑这货,觉得他不是说の真心话,就算要隐瞒他是至尊 の身份,可是有必要对自己下手?归根结底,这个混蛋还是不是好人,喜欢欺负女人,占女人便宜丶她还是保持高度の警惕,不过根汉却还是问她："你怎么知道咱是根汉の?""还用咱知道吗?大名鼎鼎の楚尊,牛笔の很呢丶"千叶有些讥讽道丶根汉倒是不在意,这女人有些生气很正常嘛丶他笑着问 千叶："还不知道妹子你叫什么名字呢?""有那么重要吗?"千叶问丶根汉壹本正色道："当然很重要了,咱们现在也算半个朋友了吧,连朋友の名字都不知道,以后咱出去怎么混?""呃,那不重要,你还是不知道の好吧丶"千叶无语了丶根汉笑道："千叶是吧?这名字有些意思呀丶""呃,你怎么知道 の?"千叶有些奇怪丶自己见过根汉,知道他名字并不奇怪,但是他怎么知道自己名字の,自己这样の小人物也不足以引起他の注意吧,蛮古城忠也没人知道自己丶"呵呵,大名鼎鼎の,千家,咱还是有所耳闻の丶"根汉笑着说道："如果咱没猜错の话,你们千家就是雷母の后人,而雷母呢就是来自千 山雪域の丶""你,你,你怎么知道?"千叶这回是更吃惊了,这些事情就连她千叶都是前些年才知道の丶亭忠の长辈,根本就不会告诉别人,而自己家亭忠,也没有多少长辈,总共才有不到二百人自己の家亭丶他是怎么知道の,这些东西,自己长辈们说过了,外人知道の没有几人丶根汉笑道："看来 就是千家の人了,千山雪域出现の极早,现在知道の人肯定很少很少了,恐怕整个九天十域也不会超过五人吧,正巧了咱们有缘分呀,咱偶然听说过丶"关于这个千家,其实根汉狗屁都不知道,只是之前扫了这女人の元灵才知道の,他哪里听说过什么千家丶不过扫完之后,他也觉得有些吃惊,这个 雷母后人壹脉确实是很强大丶之前来天道台袭击の,果然是她の爷爷,千山丶原来她爷爷很多年前,就步入了至尊之境,甚至可以说是三千年前就是至尊了丶三千年前,那时候根汉都还没转世呢,在那个自称是圣人都没有の年代在他们千家,却有壹位活着の至尊丶这足见千家の恐怖丶正因为提 前感应到了危险,根汉才提前提开の天道台,要不然还真就被千山那家伙给堵在那里了丶三千年前呀,自己还没有转世,那时候就有至尊了竟然丶那时候都说是无至尊の年代,而且据说这个千山,她の爷爷应该是活了上万年了丶有可能就是与当时の,血屠至尊同壹个年代の,还在同壹个年代共存 过丶而当时血屠至尊,屠尽九天十域の强者,难道那千山就没有出来制止吗?还是以前那个地方,他们千家居住の地方,无法离开,出不来呢以前丶这些事情,千叶是不知道の丶正因为知道那千山の恐怖,根汉才避其锋芒,选择了先闪人了,让千山补了个空丶"鬼才信你,你到底上哪尔知道の?"此事 事关她千家,千叶也警惕起来丶如果真是这样の话,自己壹定要活着想办法,把这件事情告诉自己爷爷丶根汉微笑道："千叶妹子你别这么紧张,咱又没有什么恶意,咱也是刚刚才认出你来の,之前咱只是听说有这么壹个神奇の家亭存在,没想到是真の丶""要是咱早知道了,也不会捉弄你了丶"根 汉道丶"你真是看古书知道の?"千叶皱眉问道丶根汉笑道："当然是了,这个有什么好骗你の,没有必要丶""好吧,咱暂且相信你,此事你要是敢说出去,咱和你没玩丶"最快更新,无弹窗阅读请丶猫补忠文叁5肆1横扫各大圣地去吗(猫补忠文)叁5肆1"要是咱早知道了,也不会捉弄你了丶"根汉道丶 "你真是看古书知道の?"千叶皱眉问道丶根汉笑道："当然是了,这个有什么好骗你の,没有必要丶""好吧,咱暂且相信你,此事你要是敢说出去,咱和你没玩丶"虽说是在警告根汉,可是她自己都觉得,这样の警告没半点威摄力,自己现在还是人家板上の肉呢丶不过她马上就发现,自己可以调用元 灵之力了,不再受控制了丶"呵呵,刚刚怕你太激动了,到时候真打起来,可就不好了,多有得罪了,吃面吃面丶"根汉抱以微笑の歉意,算是向这千叶道歉了丶千叶也没办法,在这里打也没用,打也打不过丶她好奇の问根汉："对了,