聚焦二元一次方程组中参数问题的求解

聚焦二元一次方程组中参数问题的求解

李培华

广东省化州市文楼中学 525136

二元一次方程组中的参数一般是指在二元一次方程组中，除了x 与y 之外，其它用字母表示的数。对于二元一次方程组中的参数问题怎样求解呢下面本文将结合例题介绍三种常见的重要方法，供大家参考：

一 变参为主法：

即把二元一次方程组中的参数当作主要未知数来处理，建立新的关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组来求解的方法。

例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k

y x k

y x 95=-=+的解也是二元一次方程

632=+y x 的解，则k 的值是______

解：由 k y x k y x 95=-=+得

k y k

x 27-==

∵

k

y k

x 27-==是二元一次方程632=+y x 的解

∴68)2(372==-⨯+⨯k k k 解得4

3=

k 例2：若二元一次方程组 1

23

23=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______

解:∵x 与y 互为相反数

∴0=+y x 即x y -= 从而有32323==-=+x x x y x 则3-=y

把 33-==y x 代入12=+ay x 得3

5=a

例

3：若二元一次方程组 12354=-=+y x y x 和 1

3=-=+ny mx ny mx 有相同的解，则

=m ______，=n ______

解：由 12354=-=+y x y x 得 11

==y x

∵12354=-=+y x y x 和 1

3

=-=+ny mx ny mx 有相同的解

∴ 11==y x 也是 13=-=+ny mx ny mx

的解，从而有 )

2(1)1(3 =-=+n m n m

由⑴+⑵得2=m 把2=m 代入⑴得1=n 故2=m ，1=n 例

4：若二元一次方程组

426

52-=--=+by ax y x 和 8

3653-=+=-ay bx y x 有相同的解，求

2010)2(b a +的值。

解：∵ 42652-=--=+by ax y x 和 8

36

53-=+=-ay bx y x 有相同的解

∴设 00

y y x x ==是 4

2652-=--=+by ax y x 和 836

5-=+=-ay y x 的公共解，则有

426520000-=--=+by ax y x 和

8

36530000-=+=-ay bx y x ，从而知

0y y x x ==也是

36

5326520000=--=+y x y x 和

8

40000-=+-=-ay bx by ax 的公共解

由

36

5326520000=--=+y x y x 得

6

200-==y x

把 6200-==y x 代入 84

0000-=+-=-ay bx by ax 得 )

2(862)

1(462 -=--=+a b b a

由⑴×3+⑵得2020-=b 解得1-=b 把1-=b 代入⑴得1=a ∴1)112()

2(20102010

=-⨯=+b a

例5：甲乙两个学生解二元一次方程组 32

16=-=+by cx by ax ，甲正确地解出

2

16

-==y x ，乙因为把c

看错而得到的解是 7.16

.7-==y x ，求c b a ,,的值。

解：依题意知， 2

16

-

==y x 和

7.16

.7-==y x 都是16=+by ax 的解

∴ 16

7.16.16

2

1

=-=-b a b a 解这个关于b a ,的二元一次方程组得 4

3==a 把4,2

1,6=-==b y x 代入32=-by cx 得

32)21(46=-⨯-c 解得5=c 故5,4,3===c b a

小结：变参为主法是处理二元一次方程组中的参数问题的重要工具。像例1——例3

结合题意，直接利用变参为主法，把有关参数问题转化为解关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组问题，从而快速得到答案；而例4和例5则结合等价转化思想，先通过重组新的二元一次方程组，并求出此二元一次方程组的解，然后利用变参为主法把有关参数问题转化为解关于此参数的二元一次方程组问题，从而把参数问题简单化。

二 整体化参法：

即结合所要求解的目标参数式的特点，利用转化思想，对二元一次方程组中的参数作整体化处理的方法。

例6：若二元一次方程组 54=+=+ay bx by ax 的解12

==y x ，则b a +的值为______

解：∵ 54=+=+ay bx by ax 的解是1

2

==y x

∴ )2(52)1(42 =+=+a b b a 由⑴+⑵得9)(3=+b a 则3=+b a

例7：已知 1

2242+=+=+k y x k

y x ，且01<-<-y x ，则k 的取值范围为（ ）

A 2

11-<<-k B 021<<-

k C 210<

1

<

2(122)

1(42 +=+=+k y x k y x

由⑵﹣⑴得k k k y x 214)12(-=-+=-

∵01<-<-y x

∴

21121<-->-k k 解得121

<

小结：整体化参法是处理二元一次方程组中的参数问题的最快捷途径。像例6和例7

结合所要求解目标代数式的特点，利用代入法和加减消元法，对二元一次方程组中的参数作整体化处理，从而使得解题过程既简便又快捷。

三 待定系数法：