动力学(动量定理)

？ 蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
几个有意义的实际问题
隔板
抽去隔板后将会
水池
？ 发生什么现象
水
光滑台面
§11-1 动量和冲量的概念
一、动量
m v 1、 质点的动量
质点的质量与质点速度的乘积，称为质点的动量
动量的单位：kg ·m / s
2、质点系的动量 p m v
3、质点系的动量的计算方法
i
m
二、质心运动定理
根据质点系质心的位矢公式
rC
mi ri
i
m
m rC mi ri
i
mvC mivi
i
注意到
p mivi
i
d
mvc
dt
maC
最后得到：
dp
dt
Fi e FRe
maC
Fie FRe
二、质心运动定理
maC
Fie FRe
质点系总质量与质点系质心加速度的 乘积，等于作用在该质点系上外力的矢量 和 （外力主矢）—— 质心运动定理。
dI
将上式积分，得到质点动量定理的积分形式：
mv mv0 I
二、质点系的动量定理 —— 质点系的动量对时间的 一阶导数，等于作用在质点系上所有外力的矢量和
dp dt
Fi e
将上式积分，得到质点系动量定理的积分形式：
p p0
I
e i
在一段时间间隔内，质点系动量的改变量等
于这段时间内作用于质点系上所有外力的冲量的 矢量和。
px m2 e cost py m2 e sin t
由动量定理
dp y
dt
dpx dt
Fxe Fx
Fye Fy m1g m2 g
解得： Fx m2 2 e sin t
Fy m1 m2 g m2 2 e cost
讨论： 电动机底座所受的约束力
Fx m2 2 e sin t
2、系统所受的外力
定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g; 底座所受约束力
B
M = mA+ mB=2m 系统的总动量的大小
x p 2lm
方向与 vC 相同。
§11-2 动量定理
一、质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一
阶导数，等于作用在质点上的力
d mv
F
dt
由牛顿第二定律
ma
F
即可得到。
也可表达为：质点动量的增量等于作用于质点上力 的元冲量
d mv
Fdt
？
结论与讨论
回到一开始的几个问题
例题
电动机的外壳和定子的总质量为 m1 , 质 心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。
若转子以等角速度
ω 旋转
求：电动机底座 所受的约束力。
解：1、选择包括外、 壳、定子、转子的电 动机作为刚体系统
第十一章 动量定理
几个有意义的实际问题 动量和冲量的概念 质点系动量定理 质点系动量守恒定理 质心运动定理 质心运动守恒定理
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
偏心转子电动 机工作时为什么
？ 会左右运动； 这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动；
几个有意义的实际问题
求：该瞬时杆 AB
O1
O2 的加速度 a， 以及
绳的张力
Aθ
B
mg
O1
Aθ
F1
Aθ
O2 解：以杆AB为研究对象
杆AB作平移，且绳子01B刚断
时
a
n A
0
B
由质心运动定理：
m aCt
Ft e
mg
maCt mg cos
n
F2
B
解得： aCt g cos
再由： m aCn
Fne
aAt
曲柄以等角速度 ω 绕O轴旋转；图 示位置时，角度 φ 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
B
解：将滑块A和B看作为两个 质点，整个系统即为两个质点所 组成的质点系。求这一质点系的 动量可以用两种方法：
第一种方法：先计算各个质点
A
的动量，再求其矢量和。
ω Oφ
第二种方法：先确定系统的质 心，以及质心的速度，然后计算 系统的动量。
于零，并且开始时 vC0x 0 ，则在运动过程中
质心在该轴上的坐标值将保持不变。
例题
长为 l 质量为 m 1 的小船，一质量为m 2 的人从 船头走到船尾， 求：船的位移 s
长为 l 质量为 m 1 的小船， 质量为m 2 的人从船头走到船尾，
以人+小船为研究对象
Fxe 0
起始状态时 vC0x 0
冲量：
t
I 0Fd t
冲量的单位：N ·S
动量和冲量的量纲相同。
例题 求：下列各系统的动量。
vC
C vC
C
对于刚体，一般使用质心表示法
p m L
2
p m vC
p m vC
O
p0
例题
A
ω Oφ
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l； 滑块A 和B 的质量均为m ，曲柄OC 和连杆AB的质量忽略不计；
质心表示法的说明
由动量的定义：
p
m i
vi
质点系的总质量 m mi
根据质点系质心的位矢公式
rC
mi ri
i
m
m vC mivi
p m vC
二、冲量 1、常力的冲量：作用力和作用时间的乘积
I Ft
冲量：反映了一段时间内，力对物体作用的累积
2、变力的冲量
元冲量：
dI F dt
Fy m1 m2 g m2 2 e cost
当 ω = 0 时， Fx 0
Fy m1 m2 g
动反力 静反力
m2 2 e sin t m2 2 e cost
附加动 反力
动反力 = 静反力 + 附加动反力
三、质点系动量守恒定理
质点系动量定理：
若：
Fie 0
dp
dt
Fi e
p
p
2lmsin
i
2lmcos
j
2lm(-sin i cos j)
vB B
x
p
p
2 x
p
2 y
p
2 z
2ml
解：第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度，然后 计算系统的动量。
y vA
A
vC
质点系的质心在C处，其速度
矢量垂直于OC，数值为vC = l ω
系统的总质量
90o
ωl
Oφ
vB
公式中人的速度为： v2x v1 v cos
得到： m1 m2 v0 m1v1 m2 v1 v cos 300
解得： v1
m1 m2 v0 m2v cos 300 m1 m2
v0
m2v cos 300
m1 m2
例题
物体A 质量为 m A ，置于光滑水平面上。小
球质量为 m B 。杆长为l，质量不计。
质点系动量定理的证明
对于第 i 个质点
d
mi
vi
Fie Fii
dt
对于质点系
d
mi
vi
Fiedt
Fii dt
d
mi
vi
d
mi vi
d
p
i
Fii 0 （系统内力的总和等于零）
i
dp dt
Fi e
动量定理是矢量方程，其投影式为：
dpx
dt
Fxe
dpy
C
mg aCt
aCn 0
0 2F1 mg sin
解得：
F1
F2
1 2
mg
sin
三、质心运动守恒
由质心运动定理
若：
Fie 0
m aC
Fi e
则：aC 0
vC C
若： Fxe 0 则： aCx 0
vCx C
质心运动守恒定理：
1、若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质 心将作匀速直线运动。
B
质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
ω Oφ
解：
第一种方法：先计算各个质点
的动量，再求其矢量和。
p mA vA mB vB
建立Oxy坐标系。在角度 φ为任
意值的情形下
vB
x
B
yA 2lsin xB 2lcos
质点系动量定理应用
于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
解： p mA vA mB vB
dp dt
d dt
(m
vC
)＝ d dt
(
Hale Waihona Puke Baidu
i
mi vC i )
Fi e
mi－ 第i个刚体的质量；
m－ 刚体系统的总质量；
vCi－ 第i个刚体质心的速度； vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第i个刚体质心的加速度； aC－ 系统质心的加速度
例题
质量杆AB 质量为m，由三根等长绳悬挂 在水平位置。若突然割断绳O1 B ，
得到：
v kmBl0 sin kt cos
mA mB
当 时0：
vmax
k mB l 0
mA mB
§11-3 质心运动定理
一、质心
质点系的 总质量
m mi
z
ri
质心的位置 质心的坐标
rC
mi ri
i
m
O x
mi
C rC
y
mi xi
xC
i
m
mi yi
yC
i
m
mi zi
zC
∴ 可直接使用公式：
mx 0
公式中该 为x 绝对位移。
令小船的位移为 s ，有 s
m1s m2 l s 0
解得： s m2 l m1 m2
几个有意义的实际问题
隔板
抽去隔板后将会
水池
发生什么现象
？
水
光滑台面
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
地面拔河 与太空拔河， 谁胜谁负
质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运 动状态(系统质心的运动)。
但是，内力可以改变系统内各个质点的运动状态。
质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动 与力之间的关系
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体 运动与质点系外力之间的关系
m aC
Fi e
质心运动定理的投影形式
m 2 = 50 kg ，若人相当于小车以 v
度跳离小车， 300 。
1 ms
的速
求：人跳离后，小车的速度
v0 2
v0
2
m s
θ
v
v0 2
θ
v1
v0
2
m s
解：设人跳离时小
v 车的速度为 1
以人+小车为研究对象
v
Fxe 0 px px0
得到：
mvx mvx0
注意到：动量定理中的速度均为绝对速度
建立Oxy坐标系。在角度φ为任
意值的情形下
yA 2lsin xB 2lcos
ω Oφ
vB B
vA yA 2lcos 2lcos x vB xB 2lsin 2lsin
y vA
A
ω Oφ
解：
p mA vA mB vB
vA yA 2lcos 2lcos
vB xB 2lsin 2lsin
2、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等 于零，质心速度在该轴上的投影将保持不变。
特别地： 若：t = 0 时， vC0x 0
运动中 vCx 0
xC C 质心无位移
由 xC
mx0 mx 得到：
m
m
mx x0 0
质点系中各个质
mx 0
点发生位移，但 质心保持不动。
3、若作用于质点系的外力在某轴上的投影恒等
初始时，系统静止， 0
A
释放后杆以 规律摆动
0 cos kt 的
l φ
求：物体A的最大速度
B
Av
l φ
解：研究对象：物块A + 小球B
Fxe 0 px px0 0
令：物块A 的速度为v
得到： mAv mBvBx 0
B 注意到：动量定理中的速度均为绝对速度
公式中的小球B速度为： vBx v lk0 sin kt cos
m v 常矢量
若作用于质点系上所有外力的主矢 = 0，质点系的 动量将保持为常矢量
特别地，若：
Fxe 0
px m vx 常量
若在某一方向上，质点系上的外力投影的代数和 = 0， 则在该方向上，质点系动量的投影将保持不变。
例题
载人小车在光滑地面上以
v0
2
m s
的速度向
右匀速运动，小车质量 m 1 = 100 kg ，人的质量
dt
Fye
dpz
dt
Fze
质点系的动量在某轴上 的投影对时间的导数等于 作用在质点系上的外力在 该轴上投影的代数和
px p0x
I
e x
py p0 y
I
e y
pz p0z
I
e z
质点系的动量在某 轴上的投影的改变量等 于外力冲量在该轴上投 影的代数和
例题
电动机的外壳和定子的总质量为 m1 , 质心C1与 转子转轴 O1 重合 ；
（1）几何法：质点系的动量等于各个质点动
量矢的合矢量
p
m v
2、直角坐标法
px mvx py mvy p pz mvz
px2
p
2 y
pz2
cos
p,
i
px
p
cos
p,
j
py
p
cos
p,
k
pz
p
3、质心表示法
p m vC
质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的 乘积。
直角坐标系：
maCx Fxe maCy Fye
自然坐标系：
m vC2
Fne
m dvc
dt
Fe
maCz Fze
0 Fbe
对于单个刚体，其质心容易确定，应用动量定
理时，主要采用质心运动定理。
m aC
Fi e
对于刚体系统，采m用i以a下Ci形式更为F简ie便：
公式来源：
转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ， 偏心距 O1O2 = e 。
转子以等角速度 ω
旋转
求：电动机底座所 受的约束力。
解：1、选择包括外壳、定子、转子的电动 机作为研究系统
2、系统所受的外力
定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g; 底座所受约束力
Fx、Fy、M。
质点系的动量： p m2 e 设：t = 0 时，O1 O2 处于铅垂位置， t