高三一轮复习集合的概念与运算(课堂PPT)

决相关的简单问题；
B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定
综合性的问题；
C(掌握)：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性 较强的或较为困难的问题．
第一章 集合与常用逻辑用语
第 1 讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
1．集合与元素 (1)集合元素的特性：_确__定__性___、_互__异__性___、无序性． (2)集合与元素的关系：若 a 属于 A，记作_a_∈__A__；若 b 不属于 A，记作__b_∉_A__． (3)集合的表示方法：_列__举__法___、_描__述__法___、图示法． (4)常用数集的记法：自然数集 N，正整数集 N*或 N＋，整数集 Z， 有理数集 Q，实数集 R，无理数集可表示为∁RQ.
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)利用 Venn 图分析集合间的关系 如图，利用 Venn 图分析集合间的关系，进行集合间的运算更加 直观．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．已知集合 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且 1∈A，则实数 a ＝___0_____． [解析] 由题意可知：a＋2＝1 或(a＋1)2＝1 或 a2＋3a＋3＝1，解 得：a＝－1 或 a＝－2 或 a＝0.据元素的互异性可排除－1 和－2， 所以 a＝0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
5．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋2＝0}，且 A∩B＝B，则实数 m 的取值范围为_m__＝__3_或__－__2__2_＜__m__＜__2__2_． [解析] 化简条件得 A＝{1，2}，A∩B＝B⇔B⊆A，根据集合中 元素个数对集合 B 分类讨论，B＝∅，B＝{1}或{2}，B＝{1，2}． 当 B＝∅时，Δ＝m2－8<0， 所以－2 2＜m＜2 2；
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．必会的 2 种方法 (1)利用集合间关系进行元素分析 两个集合 A 与 B 之间可能具有 A⊆B(B⊆A)、A B(B A)、 AFra Baidu bibliotekB 三种基本关系．而这些关系都是由 A、B 所属的元素来确 定的．因此当问题出现了多个元素，多个集合的复杂关系时， 应利用三种基本关系对元素进行分析．
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第一章 集合与常用逻辑用语
(1)当 a＝0 时，若 A⊆B，此种情况不存在． 当 a<0 时，若 A⊆B，如图，
则4a－>1a－≤122，，所以aa>>00或 或aa<≤－－812，. 又 a<0，所以 a<－8.
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当 a>0 时，若 A⊆B，如图，
第一章 集合与常用逻辑用语
则－4a≤1a≥2，－12，所以aa≥≥22或或aa<<00.， 又因为 a>0，所以 a≥2. 综上知，当 A⊆B 时，a<－8 或 a≥2.
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第一章 集合与常用逻辑用语
第三步：将元素 4、7 定位． 第四步：根据图中的元素位置得 M＝{2，3，4，7}， L＝{1，6，4，7}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
集合的基本概念 (2017·苏州调研)已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为__－__32____． 【解析】 由题意得 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 则 m＝1 或 m＝－32，当 m＝1 时，m＋2＝3 且 2m2＋m＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当 m＝－32时，m＋2＝12，而 2m2＋m＝3，故 m＝－32.
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第一章 集合与常用逻辑用语
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的 限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意 义是什么．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意 检验集合是否满足互异性．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A， y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为___1_0____． [解析] 由 x－y∈A，及 A＝{1，2，3，4，5}得 x>y， 当 y＝1 时，x 可取 2，3，4，5，有 4 个； 当 y＝2 时，x 可取 3，4，5，有 3 个； 当 y＝3 时，x 可取 4，5，有 2 个； 当 y＝4 时，x 可取 5，有 1 个． 故共有 1＋2＋3＋4＝10(个)．
第一章 集合与常用逻辑用语
3. 已知 A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且 A∪B＝A， 则实数 a＝__0_或__13_或__－__2____． [解析] 由 x2－5x－6＝0 得 x＝－1 或 x＝6. 当 x＝－1 时，a＝－2，当 x＝6 时，a＝13， 当 a＝0 时，B＝∅，符合题设． 故所求 a 的值为 0 或13或－2.
空集：空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子 集．符号语言：∅⊆A，∅ B(B≠∅)．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．集合的基本运算 交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的 集合，称为 A 与 B 的交集，记为 A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}． 并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的 集合，称为 A 与 B 的并集，记为 A∪B，即 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}． 补集：设 A⊆S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记为∁SA，即∁SA＝{x|x ∈S 且 x∉A}．
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(2)当 a＝0 时，显然 B⊆A； 当 a<0 时，若 B⊆A，如图，
第一章 集合与常用逻辑用语
则4a－≤1a－ >212，，所以－ －812≤ <aa<<00. ， 又因为 a<0，所以－12<a<0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
当 a>0 时，若 B⊆A，如图， 则－4a≥1a≤2，－12，所以00<<aa≤≤22，. 又因为 a>0，所以 0<a≤2. 综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2. (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B. 由(1)、(2)知，a＝2.
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．已知集合 A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则 A∪B＝ _{_1_，__2_，__4_，__6_}__． [解析] 由集合的并集定义得 A∪B＝{1，2，4，6}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．设集合 A＝{－1，2，3}，B＝{a＋2，a2＋3}，A∩B＝{3}， 则实数 a＝___1_____． [解析] 由已知 3∈B，故 a＋2＝3 或 a2＋3＝3 解得 a＝1 或 a＝ 0.验证 a＝0 时不合题意，所以 a＝1.
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．已知 P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为__(5_，__6_]__． [解析] 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P＝{3，4，5}，故 k 的取 值范围为 5<k≤6.
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第一章 集合与常用逻辑用语
则 a>4，即 c＝4.
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第一章 集合与常用逻辑用语
集合的基本运算 (1)(2016·高考江苏卷)已知集合 A＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，则 A∩B＝_{_－__1_，__2_}． (2)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则 A∩B＝_{_1_，__2_}__. 【解析】 (1)由交集的定义可得 A∩B＝{－1，2}． (2)易知 B＝{x|－3＜x＜3}，又 A＝{1，2，3}， 所以 A∩B＝{1，2}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．已知集合 A＝{3，4}，集合 B 满足 A∪B＝{3，4}，则满足条 件的集合 B 的个数为__4__． [解析] 因为 A＝{3，4}，B∪A＝{3，4}， 所以 B⊆A，故满足条件的集合 B 的个数为 22＝4 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语
内容 集合及其表示
要求 A BC √
1．集合 子集
√
交集、并集、补集
√
命题的四种形式
√
2．常用逻 充分条件、必要条件、充分必要条件 √
辑用语 简单的逻辑联结词
√
全称量词与存在量词
√
第一章 集合与常用逻辑用语
内容
要求 A BC
其中 A(了解)：要求对所列知识的含义有基本的认识，并能解
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第一章 集合与常用逻辑用语
4．已知 U＝{x|x2＜50，x∈N}，(∁UM)∩L＝{1，6}，M∩∁UL＝ {2，3}，∁U(M∪L)＝{0，5}，求 M 和 L. [解] 题目中出现 U、M、L、∁UM、∁UL 多种集合，就应想到用 Venn 图． 第一步：求全集 U＝{x|x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6， 7}． 第二步：将(∁UM)∩L＝{1，6}，M∩∁UL＝{2，3}， ∁U(M∪L)＝{0，5}中的元素在图中依次定位．
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第一章 集合与常用逻辑用语
4．集合的运算性质 并集的性质： A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔__B_⊆_A___． 交集的性质： A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔__A_⊆__B___． 补集的性质： A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝__A__．
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第一章 集合与常用逻辑用语
(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口． (2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析． (3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．
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第一章 集合与常用逻辑用语
已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是(c，＋∞)，其中 c＝___4_____． [解析] 由 log2x≤2，得 0<x≤4， 即 A＝{x|0<x≤4}， 而 B＝(－∞，a)， 由于 A⊆B，如图所示，
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第一章 集合与常用逻辑用语
当 B＝{1}或{2}时，Δ1－＝m0，＋2＝0或4－2m＋2＝0， m 无解； 当 B＝{1，2}时，11＋ ×22＝ ＝m2，，所以 m＝3. 综上所述，m＝3 或－2 2＜m＜2 2.
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．必明辨的 3 个易错点 (1)忽视集合中元素的特性致错； (2)不能正确识别集合中的元素致错； (3)忽视空集的特殊性致错．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2. 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝x＋1}，则 M∩N ＝_{_y_|y_≥__1_}_． [解析] M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{x|y＝x＋1}＝{x|x∈R}，所以 M∩N＝M＝{y|y≥1}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．集合间的基本关系 子集：A 中任意一个元素均为 B 中的元素．符号语言：A⊆B 或 B⊇A. 相等：集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同．符号语言：A⊆B 且 B⊆A⇔A＝B. 真子集：A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一 个元素不是 A 中的元素．符号语言：A B 或 B A.
4．A、B 是非空集合，定义 A×B＝{x|x∈A∪B，且 x∉A∩B}．若 A＝{x|y＝ x2－3x}，B＝{y|y＝3x}，则 A×B＝_(_－__∞__，__3_)__. [解析] A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R， A∩B＝[3，＋∞)．所以 A×B＝(－∞，3)．
集合与集合的基本关系(高频考点) 已知集合 A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合 B＝x|－12<x≤2. (1)若 A⊆B，求实数 a 的取值范围； (2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理由．
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 A 中不等式的解应分三种情况讨论： ①若 a＝0，则 A＝R； ②若 a<0，则 A＝x|4a≤x<－1a； ③若 a>0，则 A＝x|－1a<x≤4a.