广东深圳中学高中数学必修二导学案8直线平面垂直的判定及其性质

8．直线与平面垂直的判定及其性质

史强 学习目标

1．熟悉直线与平面垂直的定义。

2．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理。

3．熟悉斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念 4．能利用线面垂直的性质解决空间角与距离的有关问题。 5．体会线面垂直与线线垂直的转化。 一、夯实基础 基础梳理

1．直线和平面垂直的定义

直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直。 说明：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 2．判定直线和平面垂直的方法 （1）定义法。

（2）利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_______直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_____这个平面。

3．直线和平面垂直的性质

（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内_____直线。 （2）垂直于同一个平面的两条直线_______． （3）垂直于同一直线的两个平面_____________。 4．直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的_______所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，说它们所成角为_____；直线//l α或l α⊂，则它们成________角。 基础达标 1．若a b c ，，表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是（ ） A ．a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，，， B ．//a b b α⊥， C ．a b A b a b α=⊂⊥，， D ．//a b b α⊥， 2．有如下六个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面内的两条直线是平行直线； ③两条异面直线不可能垂直于同一个平面；

④若两条异面直线垂直，则一定可以过其中的一条直线作一个平面垂直于另一条直线； ⑤若两条异面直线不垂直，则一定可以过其中的一条直线作一个平面垂直于另一条直线； ⑥过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图，ABCD A B C D 1111-为正方体，下面结论错误．．

的是（ ）

D1

B1C1

A1

D

C

B

A

A．//

BD平面CB D

11B．AC BD

1

⊥

C．AC

1⊥平面CB D

11

D．异面直线AD与CB

1

所成的角为60︒

4．平行四边形ABCD所在平面α外有一点P，且PA PB PB PD

===，对角线AC与BD相交于O。求证：PO⊥平面ABC。

P

O

D

C

A

5．AB是O的直线，C是异于A B

，的圆周上任意一点，PA垂直于O所在的平面，在三棱锥P ABC

-的四个面中共有多少个直角三角形？

B

A

二、学习指引

自主探究

1．根据直线和平面垂直的定义回答以下问题：

（1）如果一条直线和平面内的某一条直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？

（2）如果一条直线和平面内的无数条直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？

（3）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？

（4）如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线是否垂直于平面内的所有直线？

2．证明下列结论：

（1）如果两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面．

（2）过空间任意一点作平面的垂线，该垂线有且只有一条．

（3）如果直线和三角形的两个边垂直，则必然和第三条边垂直．

（4）如果直线和平面平行，那么该直线上的各个点到平面的距离相等．

3．下列说法是否正确？如果正确，请证明。

（1）平面内的一条直线如果和斜线在平面内的射影垂直，那么该直线必然和斜线垂直。

（2）平面内的一条直线如果和平面的一条斜线垂直，那么该直线必然和斜线在平面内的射影垂直。

O

P

A α

a

4．如图，SA ⊥面ABC ABC AE SB ∠=90︒⊥，，于E AF SC ⊥，于F ，试判断是否有下列结论：

（1）BC ⊥面SAB ；（2）AE ⊥面SBC ；（3）SC EF ⊥。

F C

B

E

A

S

5．在棱长为1的正方体ABCD A B C D 1111-中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试问在棱DD 1上能否找到一点H ，使BH ⊥平面B EF 1？若能，试确定点H 的位置；若不能，请说明理由。

F

D 1

C 1

B 1

A 1

E

D C

B

A

案例分析

1．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若AB AC BD CD ==，，则BC AD ⊥； ②若AB CD AC BD ==，，则BC AD ⊥； ③若AB AC BD CD ⊥⊥，，则BC AD ⊥； ④AB CD BD AC ⊥⊥，，则BC AD ⊥；

其中真命题的序号是______________。 【解析】①④。 2．（2012年全国，有改动）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥

底面ABCD AC PA E ==2，，是PC 上的一点，PE EC =2。

（1）证明：PC ⊥平面BED ；

（2）若AG 在平面PAB 内，且AG ⊥平面PBC ，求PD 与平面PBC 所成角的大小。